Sistematik Örnekleme Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

Bir kalite kontrol mühendisi, bir üretim bandındaki ürünlerin ağırlıklarının her 10 üründe bir benzer şekilde dalgalandığını (periyodik yapı) fark etmiştir. Mühendis, sistematik örnekleme yaparken örnekleme aralığını $k=10$ olarak belirlerse, bu durumun tahminlerin hassasiyeti (etkinliği) üzerindeki etkisi aşağıdakilerden hangisidir?

Tahminlerin varyansı artar ve örnekleme hatası büyür.

Tahminlerin varyansı düşer ve daha hassas sonuçlar elde edilir.

Sistematik örnekleme, basit rastgele örnekleme ile tamamen aynı varyansı verir.

Periyodik yapı sadece kitle ortalamasının yanlı olmasına neden olur.

Üretim bandındaki dizilişin örnekleme hatası üzerinde bir etkisi bulunmaz.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Tahminlerin varyansı artar ve örnekleme hatası büyür.

Cevap

Tahminlerin varyansının artacağı ve örnekleme hatasının büyüyeceğini belirten seçenek doğrudur.

Sistematik örnekleme yönteminde, kitle birimleri periyodik bir düzende sıralanmışsa ve örnekleme aralığı (

k

) bu periyodun tam katıysa, seçilen örneklem birimleri kitlenin sadece belirli bir özelliğini (örneğin sadece zirve noktalarını veya sadece dip noktalarını) temsil eder. Bu durum, örneklem içindeki birimlerin birbirine çok benzemesine (pozitif otokorelasyon) ve dolayısıyla tahmin edicilerin varyansının aşırı derecede artmasına neden olur. Bu durumda sistematik örnekleme, basit rastgele örneklemeden bile daha az etkin hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Kitle yapısını analiz etme

Kitlede her 10 birimde bir tekrarlanan periyodik bir yapı mevcuttur.

Sistematik örnekleme kitle dizilişinden doğrudan etkilenen bir yöntemdir.

2

Örnekleme aralığı (

k

) ile periyot ilişkisini kurma

k=10

seçildiğinde, seçilen her birim periyodun aynı noktasına (örneğin hep en yüksek veya hep en düşük değerlere) denk gelir.

Aralık periyodun tam katı olduğunda örneklem içi homojenlik maksimuma çıkar.

3

Varyans üzerindeki etkiyi değerlendirme

Örneklem içi birimlerin birbirine çok benzemesi (yüksek korelasyon), kitledeki değişimin yakalanamamasına ve tahmin varyansının artmasına yol açar.

Sistematik örneklemede kitle içi varyasyonun örnekleme yansımaması hata payını büyütür.

Anahtar Kavram

Sistematik Örneklemede Periyodik Diziliş ve Etkinlik Kaybı

İpuçları

1

Kitledeki periyodik dalgalanmanın bir sinüs dalgası gibi olduğunu ve örneklemin hep aynı dalga tepelerini seçtiğini hayal edin.

2

Eğer seçtiğiniz örneklerin hepsi birbirine çok benziyorsa (örneğin hepsi çok yüksek değerlerse), kitlenin geri kalanındaki düşük değerleri kaçırmış olmaz mısınız?

Tahmini Süre:45s

Soru 82Soru →

Bir e-ticaret platformu, son bir ay içerisinde gerçekleşen $N = 6000$ adet siparişin teslimat süreçlerini incelemek amacıyla sistematik örnekleme yöntemiyle bir araştırma yapmayı planlamaktadır. Kalite kontrol ekibi, teslimatında sorun yaşanan siparişlerin oranını tahmin etmek istemektedir.

Bu oran hakkında herhangi bir ön bilgi bulunmamaktadır. Ekip, elde edilecek tahminin $\%95$ güven düzeyinde ve en fazla $0,035$ hata payı ( $d$ ) ile yapılmasını hedeflemektedir. ( $Z_{0,025} = 1,96$ alınız.)

Buna göre, bu araştırma için belirlenmesi gereken minimum örneklem hacmi ( $n$ ) ve ardışık seçimler için kullanılacak sistematik örnekleme aralığı ( $k$ ) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

n = 694, \quad k = 9

n = 784, \quad k = 7

n = 694, \quad k = 8

n = 506, \quad k = 11

n = 622, \quad k = 9

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $n = 694, \quad k = 8$

Cevap

Gerekli minimum örneklem hacmi 694 ve sistematik örnekleme aralığı 8'dir.

Araştırmada oran tahmini yapılacağı ve ön bilgi bulunmadığı için öncelikle

p=0,5

ve

q=0,5

alınarak

n_0

hesaplanır:

n_0 = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,25}{(0,035)^2} = 784

. Elde edilen

n_0

,

N=6000

değerine bölündüğünde oran

\%5

'ten büyük çıktığı için Sonlu Kitle Düzeltmesi (SKD) uygulanır:

n = \frac{784}{1 + \frac{784}{6000}} \approx 693,39

. Örneklem hacmi daima bir üst tam sayıya yuvarlanacağı için

n=694

olur. Daha sonra sistematik aralık hesaplanır:

k = \frac{6000}{694} \approx 8,64

. Sistematik örneklemede belirlenen kitle sınırını aşmamak adına aralık değeri istisnasız olarak aşağı yuvarlanır, bu nedenle doğru aralık

k=8

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Başlangıç örneklem hacminin (

n_0

) hesaplanması.

n_0 = 784

bulunur.

Ön bilgi bulunmadığı için varyansı maksimize etmek adına

p = 0,5

ve

q = 0,5

alınır. Formül:

n_0 = \frac{Z^2 \cdot p \cdot q}{d^2} = \frac{1,96^2 \cdot 0,25}{0,035^2} = \frac{0,9604}{0,001225} = 784

.

2

Sonlu Kitle Düzeltmesi (SKD) uygulanması.

n \approx 693,39

bulunur ve yukarı yuvarlanarak

n = 694

elde edilir.

n_0 / N = 784 / 6000 \approx 0,13

değeri

0,05

'ten büyük olduğu için SKD zorunludur. Formül:

n = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}} = \frac{784}{1 + \frac{784}{6000}} \approx 693,39

. Örneklem hacmi eksik kalmaması için daima bir üst tam sayıya yuvarlanır.

3

Sistematik örnekleme aralığının (

k

) belirlenmesi.

k \approx 8,64

bulunur ve aşağı yuvarlanarak

k = 8

olarak belirlenir.

k = \frac{N}{n} = \frac{6000}{694} \approx 8,64

hesaplanır. Sistematik örneklemede kitle sınırını (

6000

) aşmamak ve tam

n

adet birime ulaşabilmek için

k

değeri her zaman aşağı yuvarlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Sistematik Örneklemede Oran Tahmini İçin Örneklem Büyüklüğünün ve Seçim Aralığının Belirlenmesi

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 83Soru →

Bir büyükşehir belediyesinde, meskenlerin aylık su tüketim miktarlarını incelemek amacıyla $N=130$ binadan oluşan bir mahallede, çerçeve üzerinden sistematik örnekleme yöntemiyle $n=26$ hacimli bir örneklem seçilecektir. Binaların çerçeve üzerindeki sıralanışından kaynaklanan kitle içi korelasyon katsayısı $\rho = -0,02$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kitle ortalaması tahmin edicisi için sistematik örnekleme varyansının, iadeli basit rastgele örnekleme varyansına oranını ifade eden tasarım etkisi ( $deff$ ) kaçtır ve bu iki yöntemin etkinliği nasıl karşılaştırılmalıdır?

deff = 0,50

olup sistematik örnekleme daha etkindir.

deff = 0,40

olup sistematik örnekleme daha etkindir.

deff = 0,50

olup iadeli basit rastgele örnekleme daha etkindir.

deff = 1,50

olup iadeli basit rastgele örnekleme daha etkindir.

deff = 0,48

olup sistematik örnekleme daha etkindir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $deff = 0,50$ olup sistematik örnekleme daha etkindir.

Cevap

Tasarım etkisi 0,50'dir. Değerin 1'den küçük olması, sistematik örneklemenin varyansının daha düşük olduğu anlamına gelir, bu nedenle sistematik örnekleme daha etkindir.

Sistematik örneklemenin iadeli basit rastgele örneklemeye göre varyans oranı (tasarım etkisi)

deff = 1 + (n-1)\rho

formülü ile hesaplanır. Sorudaki veriler yerine konduğunda

1 + (26-1)(-0,02) = 0,50

elde edilir. Tasarım etkisinin 1'den küçük olması (0,50 < 1), sistematik örneklemenin varyansının daha düşük olduğunu ve dolayısıyla iadeli basit rastgele örneklemeye göre daha etkin olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1

Tasarım etkisi (deff) formülünü belirleme

Sistematik örneklemenin iadeli basit rastgele örneklemeye göre tasarım etkisi formülü

deff = 1 + (n-1)\rho

olarak ifade edilir.

Tasarım etkisi, bir örnekleme yönteminin varyansının basit rastgele örnekleme varyansına oranıdır.

2

Verilen değerleri formülde yerine koyarak hesaplama yapma

n = 26

ve

\rho = -0,02

değerleri için:

deff = 1 + (26-1)(-0,02) = 1 + 25(-0,02) = 1 - 0,50 = 0,50

bulunur.

Kitle içi korelasyonun varyans üzerindeki net etkisini matematiksel olarak hesaplamak için gereklidir.

3

Etkinlik karşılaştırmasını yorumlama

deff = 0,50 < 1

olduğundan sistematik örneklemenin varyansı basit rastgele örneklemenin yarısı kadardır. Dolayısıyla sistematik örnekleme daha etkindir.

Düşük varyansa sahip olan tahmin edici her zaman daha etkindir.

Anahtar Kavram

Sistematik Örneklemede Tasarım Etkisi ve Kitle İçi Korelasyon

Soru 84Soru →

Bir fabrikada üretilen $N = 400$ adet makine parçasının ortalama dayanıklılık süresini tahmin etmek amacıyla kalite kontrol departmanı tarafından tekrarlı sistematik örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Departman, kitleyi listelemiş ve birbirinden bağımsız $m = 4$ farklı rastgele başlangıç noktası seçerek her bir başlangıç için $n_i = 10$ hacimli $4$ ayrı sistematik örneklem elde etmiştir. (Toplamda $n = 40$ birimlik örneklem seçilmiştir.)

Dört sistematik örneklemden elde edilen ortalama dayanıklılık süreleri (saat cinsinden) sırasıyla şöyledir:
$\bar{y}_1 = 21$ , $\bar{y}_2 = 27$ , $\bar{y}_3 = 15$ , $\bar{y}_4 = 25$

Buna göre, kitle ortalamasının tahmin edicisi için hesaplanması gereken yansız varyans tahmini $\widehat{V}(\bar{\bar{y}})$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,63

6,30

7,00

8,40

28,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6,30

Cevap

Doğru değer 6,30'dur.

Tekrarlı sistematik örneklemede kitle ortalamasının yansız varyans tahmini

\widehat{V}(\bar{\bar{y}}) = \frac{1-f}{m} s_{\bar{y}}^2

formülü ile bulunur. Dört grubun ortalamalarının varyansı

s_{\bar{y}}^2 = 28

'dir. Sonlu kitle düzeltme çarpanı

1 - (40/400) = 0,9

olarak hesaplanır. Formülde değerler yerine konulduğunda

\frac{0,9 \times 28}{4} = 6,30

doğru cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dört bağımsız örneklemin genel ortalamasını (

\bar{\bar{y}}

) hesapla.

\bar{\bar{y}} = (21 + 27 + 15 + 25) / 4 = 88 / 4 = 22

Tekrarlı sistematik örneklemede kitle ortalamasının yansız tahmin edicisi, alt örneklem ortalamalarının basit aritmetik ortalamasıdır.

2

Örneklem ortalamalarının kendi aralarındaki varyansını (

s_{\bar{y}}^2

) hesapla.

s_{\bar{y}}^2 = \frac{(-1)^2 + 5^2 + (-7)^2 + 3^2}{4 - 1} = \frac{1 + 25 + 49 + 9}{3} = \frac{84}{3} = 28

Ortalamanın varyansına geçebilmek için öncelikle

m

adet alt grubun serbestlik derecesine (

m-1

) bölünmüş varyansı bulunmalıdır.

3

Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını hesapla.

f = n / N = 40 / 400 = 0,1

ve

SKD = 1 - 0,1 = 0,9

Örneklem çekimi iadesiz yapıldığı ve kitle sonlu olduğu için, varyans düzeltme çarpanı ile daraltılmalıdır.

4

Kitle ortalamasının yansız varyans tahminini (

\widehat{V}(\bar{\bar{y}})

) bul.

\widehat{V}(\bar{\bar{y}}) = \frac{0,9 \times 28}{4} = 6,30

Tekrarlı sistematik örneklemede tahmin edicinin varyansı

s_{\bar{y}}^2

'nin bağımsız grup sayısına (

m

) bölümünün SKD ile çarpılmasıyla elde edilir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı Sistematik Örneklemede Ortalamanın Varyans Tahmini

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 85Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetmeni, belirli bir sektörde faaliyet gösteren işletmelerin prim ödeme düzenliliklerini incelemek amacıyla, sicil numarasına göre sıralanmış $N = 3150$ adet işletme dosyasından oluşan bir çerçeve üzerinden standart (doğrusal) sistematik örnekleme yöntemiyle $n = 80$ birimlik bir örneklem seçecektir. Denetmen, örnekleme aralığını hesapladığında kitle büyüklüğünün örneklem hacmine tam bölünemediğini ( $k = 3150 / 80 = 39.375$ ) tespit etmiştir.

Sistematik örnekleme yönteminin temel teorik özellikleri ve $N \neq n \cdot k$ durumunun sonuçları dikkate alındığında, bu araştırma süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Örnekleme aralığı (

k

) tamsayıya yuvarlanarak doğrusal sistematik seçim yapıldığında, elde edilecek fiili örneklem hacmi başlangıç noktasına bağlı olarak değişen rastlantısal bir değişken halini alır.

Bu problem dairesel sistematik örnekleme ile aşılabilir; dairesel yaklaşımın temel amacı kitledeki olası periyodik (döngüsel) dalgalanmaların neden olacağı varyans artışını engellemektir.

İşletme dosyalarının sicil numaralarına göre belirli bir periyodik düzende sıralanmış olması, kitleyi temsil gücünü artırarak sistematik örneklemenin etkinliğini yükseltir.

Araştırmacının tam 80 birime ulaşmasını garanti altına alması için

k

değerini 39'a yuvarlaması ve seçilemeyen son birimi çerçevenin sonundan kasıtlı olarak örnekleme dâhil etmesi gerekir.

Kitle büyüklüğünün örneklem hacminin tam katı olmamasından kaynaklanan ve eşit seçilme olasılıklarını bozan bu durum, istatistik literatüründe örnekleme hatası yerine örnekleme dışı hata olarak sınıflandırılır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Örnekleme aralığı ( $k$ ) tamsayıya yuvarlanarak doğrusal sistematik seçim yapıldığında, elde edilecek fiili örneklem hacmi başlangıç noktasına bağlı olarak değişen rastlantısal bir değişken halini alır.

Cevap

Doğrusal sistematik örneklemede kitle hacmi örneklem hacminin tam katı olmadığında, aralığın tamsayıya yuvarlanması fiili örneklem büyüklüğünün (n) seçilen rastgele başlangıç noktasına bağlı olarak değişen rastlantısal bir değişken halini almasına neden olur.

Doğrusal sistematik örneklemenin temel matematiksel kısıtlarından biri, kitle büyüklüğünün (

N

) örneklem hacminin (

n

) tam katı olmaması durumudur. Aralığın (

k

) tamsayıya yuvarlanmasıyla seçilecek elemanların indis dizisi (

r + i \cdot k

) değişir. Bu durumda, rastgele çekilen

1

ile

k

arasındaki başlangıç sayısına (

r

) bağlı olarak serinin son terimi kitlenin sınırını (

N

) erken ya da geç aşabilir. Bu nedenle fiili olarak ulaşılan örneklem hacmi önceden hedeflenen

n

sayısından farklı olabilir ve

r

'ye bağlı rastlantısal bir değişken niteliği kazanır.

Adım Adım Çözüm

1

Örnekleme aralığı kavramını teorik olarak değerlendirme

k = N/n = 3150 / 80 = 39.375

küsuratlı bir değerdir. Doğrusal sistematikte

k

tamsayı olmak zorundadır.

Sıra numarasına göre atlama yapılabilmesi için birimlerin tamsayı indislerle ifade edilmesi gerekir.

2

k değerinin tamsayıya yuvarlanmasının sonucunu analiz etme

Örneğin

k=39

alınırsa, seçim aralığı

1 \leq r \leq 39

olur. Seçilen birimler

r, r+39, r+2(39), \dots

şeklinde ilerler.

Başlangıç noktası (

r

) rastgele belirlenir ve tüm seri bu başlangıç noktasına göre şekillenir.

3

Farklı başlangıç noktaları için örneklem büyüklüğünü (n) test etme

Eğer

r=30

seçilirse 81. birim

30 + 80 \times 39 = 3150

olur ve kitle sınırında kalır, örneklem hacmi 81 olur. Eğer

r=31

seçilirse 81. birim

31 + 80 \times 39 = 3151

olur ve kitle sınırını aşar, bu nedenle örneklem hacmi 80'de kalır.

Çerçevenin sonuna gelindiğinde kitle dışına çıkılmaması prensibi, farklı başlangıç noktalarında farklı sayıda birimin seçilmesine yol açar.

4

Teorik sonucu çıkarma

Nihai örneklem büyüklüğü (n) sabit bir değer değil, çekilen başlangıç noktasına bağlı bir rastlantısal değişkendir.

Sistematik örneklemenin temel tanımlayıcı özelliklerinden biri olan bu durum, N=nk eşitliğinin sağlanamadığı durumlarda ortaya çıkar.

Anahtar Kavram

Doğrusal Sistematik Örneklemede Kesirli Aralık ve Örneklem Büyüklüğü Varyasyonu

Tahmini Süre:2m 0s

Sistematik Örnekleme

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar