Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 11

Soru 201Soru →

Bir e-devlet portalının sunucu yanıt süresini (milisaniye) optimize etmek amacıyla, bir bakanlığın bilgi işlem dairesi tarafından iki faktörlü bir deney tasarlanmıştır. Bu tasarımda "Sunucu Kapasitesi" (A faktörü) $3$ farklı seviyede ve "Veritabanı İndeksleme Yöntemi" (B faktörü) $4$ farklı seviyede incelenmektedir. Her bir faktör kombinasyonu için $5$ tam rassal tekrar (replikasyon) yapılmış ve toplam $60$ gözlem elde edilmiştir.

Yapılan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda aşağıdaki değerler hesaplanmıştır:
- Genel Kareler Toplamı ( $SST$ ): $1512$
- A Faktörü için Kareler Ortalaması ( $MSA$ ): $120$
- B Faktörü için test istatistiği ( $F_B$ ): $4.50$
- Hata Kareler Toplamı ( $SSE$ ): $768$

Buna göre, A ve B faktörleri arasındaki etkileşim etkisinin ( $A \times B$ ) anlamlılığını test etmek için kullanılacak $F_{AB}$ istatistiğinin değeri kaçtır?

1.50

4.50

3.00

5.25

18.00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3.00

Cevap

Doğru cevap

3.00

değeridir.

Doğru hesaplama yapıldığında etkileşim test istatistiği

3.00

çıkmaktadır. İşlemlerde sırasıyla serbestlik dereceleri bulunmalı, verilen F istatistiği yardımıyla B faktörünün kareler toplamı elde edilmeli ve varyans analizinin toplanabilirlik ilkesi kullanılarak etkileşime düşen varyans hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

DF_A = 2

,

DF_B = 3

,

DF_{AB} = 6

,

DF_E = 48

.

Varyans analizi hesaplamaları için her bir varyans kaynağının serbestlik derecesi bilinmelidir. Toplam

N=60

gözlem,

a=3, b=4, n=5

için;

DF_A = a-1 = 2

,

DF_B = b-1 = 3

,

DF_{AB} = (a-1)(b-1) = 6

ve

DF_E = a \times b \times (n-1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

olarak bulunur.

2

A Faktörü ve Hata için Kareler Toplamı ve Ortalamalarının bulunması

SSA = 240

ve

MSE = 16

.

MSA = 120

olarak verildiğinden,

SSA = MSA \times DF_A = 120 \times 2 = 240

bulunur. Hata kareler ortalaması ise

MSE = SSE / DF_E = 768 / 48 = 16

olarak elde edilir.

3

B Faktörü Kareler Toplamının bulunması

SSB = 216

.

Test istatistiği

F_B = MSB / MSE

formülünden hesaplandığı için,

MSB = 4.50 \times 16 = 72

bulunur. Kareler toplamına geçmek için serbestlik derecesi ile çarpılır:

SSB = MSB \times DF_B = 72 \times 3 = 216

.

4

Etkileşim Kareler Toplamı ve F istatistiğinin hesaplanması

SS_{AB} = 288

,

MS_{AB} = 48

, ve

F_{AB} = 3.00

.

SST değerinin toplanabilirlik özelliğinden yola çıkılarak

SS_{AB} = SST - SSA - SSB - SSE

denklemi kurulur.

SS_{AB} = 1512 - 240 - 216 - 768 = 288

elde edilir. Kareler ortalaması

MS_{AB} = 288 / 6 = 48

olur. Son olarak

F_{AB} = MS_{AB} / MSE = 48 / 16 = 3.00

olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda ANOVA Tablosunun Oluşturulması ve Etkileşim Etkisinin Test Edilmesi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 202Soru →

Bir bilişim şirketi, personeline dağıtmak üzere almayı planladığı $3$ farklı dizüstü bilgisayar markasının batarya dayanım sürelerini (saat) karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla her markadan rastgele $15$ 'er adet bilgisayar test edilmiştir.

Yapılan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda, Genel Kareler Toplamı $600$ ve Gruplar Arası Kareler Toplamı $180$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, batarya dayanım süreleri arasında anlamlı bir fark olup olmadığını test etmek için kullanılacak hesaplanan $F$ test istatistiği değeri kaçtır?

9,00

6,00

6,30

9,43

0,11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9,00$

Cevap

Hesaplanan F test istatistiği değeri

9,00

'dır.

ANOVA'da Genel Kareler Toplamı, Gruplar Arası ve Grup İçi Kareler Toplamlarının birleşimidir. Buna göre Grup İçi Kareler Toplamı

600 - 180 = 420

olur. Toplamda

45

gözlem ve

3

grup olduğundan, gruplar arası serbestlik derecesi

3-1=2

, grup içi serbestlik derecesi

45-3=42

'dir. Gruplar Arası Kareler Ortalaması

180 / 2 = 90

ve Grup İçi Kareler Ortalaması

420 / 42 = 10

olarak bulunur. F değeri ise bu iki ortalamanın bölümü olan

90 / 10 = 9,00

'dır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısı (N) ve grup sayısını (k) belirleme.

k = 3

(marka sayısı) ve

N = 3 \times 15 = 45

(toplam bilgisayar sayısı).

Serbestlik derecelerini hesaplamak için örneklem büyüklüklerine ihtiyaç vardır.

2

Serbestlik derecelerini (sd) hesaplama.

Gruplar Arası

sd = k - 1 = 3 - 1 = 2

. Grup İçi

sd = N - k = 45 - 3 = 42

.

Kareler ortalamalarını bulmak için kareler toplamlarını ilgili serbestlik derecelerine bölmek gerekir.

3

Grup İçi Kareler Toplamını bulma.

Grup İçi Kareler Toplamı = Genel Kareler Toplamı - Gruplar Arası Kareler Toplamı =

600 - 180 = 420

.

Varyans analizinde toplam sapma, gruplar arası ve grup içi sapmaların toplamına eşittir.

4

Kareler Ortalamalarını (KO) hesaplama.

Gruplar Arası

KO = 180 / 2 = 90

. Grup İçi

KO = 420 / 42 = 10

.

F test istatistiği, gruplar arası ve grup içi varyans tahminlerinin oranına dayanır.

5

F test istatistiğini hesaplama.

F = 90 / 10 = 9,00

.

ANOVA'da test istatistiği

F = \frac{\text{Gruplar Arası } KO}{\text{Grup İçi } KO}

formülü ile bulunur.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu Bileşenleri ve F İstatistiği Hesaplaması

Soru 203Soru →

Bir büyükşehir belediyesi temizlik işleri dairesi, çöp toplama sürelerini minimize etmek amacıyla $4$ farklı rota optimizasyon algoritmasının performansını test edecektir. Toplama süresi üzerinde; 'hizmet verilen bölgenin trafik yoğunluğu' ( $4$ farklı bölge) ve 'işlemin yapıldığı gün' ( $4$ farklı gün) olmak üzere iki dışsal kaynağın etkili olduğu saptanmıştır.

Bu iki dışsal değişkenin yol açtığı varyasyonu eş zamanlı olarak kontrol altına almak için, her algoritmanın her bölgede ve her gün tam olarak bir kez kullanıldığı bir deney tasarlanmıştır.

Buna göre, bu deney tasarımına ait varyans analizi (ANOVA) modelinde hata serbestlik derecesi kaçtır?

3

6

9

12

15

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$

Cevap

Modeldeki hata serbestlik derecesi

6

'dır.

Soruda bahsedilen deney tasarımı, iki bağımsız bloklama faktörünün (bölge ve gün) etkisini kontrol altına alan Latin Karesi Deney Tasarımıdır. Bu tasarımda muamele sayısı (

k

), satır sayısı (

r

) ve sütun sayısına (

c

) eşittir (

n=4

). Latin Karesi ANOVA tablosunda hata serbestlik derecesi

(n-1)(n-2)

formülüyle elde edilir. Bu formülde

n

yerine

4

konulduğunda hata serbestlik derecesi

3 \times 2 = 6

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Soru metnindeki deney tasarımının türünü belirleme.

İki dışsal faktörün (bölge ve gün) kontrol edildiği ve muamele sayısının bu kısıtların seviye sayısına eşit olduğu (

n=4

) tasarım, Latin Karesi Deney Tasarımıdır.

Her algoritmanın her satır (bölge) ve sütunda (gün) yalnız bir kez yer alması bu modelin temel tanımıdır.

2

Latin Karesi tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü belirleme.

Hata Serbestlik Derecesi =

(n-1)(n-2)

formülü kullanılır.

Toplam serbestlik derecesinden (

n^2-1

); satır (

n-1

), sütun (

n-1

) ve muamele (

n-1

) serbestlik dereceleri çıkarıldığında geriye

(n-1)(n-2)

kalır.

3

Verilen

n

değerini formülde yerine koyarak sonucu hesaplama.

Hata SD =

(4-1)(4-2) = 3 \times 2 = 6

elde edilir.

Matematiksel işlemin tamamlanması ve test istatistiğinin paydasının bulunması için gereklidir.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımında Serbestlik Dereceleri

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar