Deney Tasarımı ve Varyans Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 10

Soru 181Soru →

Bir endüstri mühendisi, üç farklı montaj hattı tasarımının işçilerin günlük üretim miktarı üzerindeki etkisini incelemektedir. İşçilerin mesleki tecrübe sürelerinin (yıl) üretim miktarını etkileyebileceği bilindiğinden, bu değişken "ortak değişken" (kovaryat) olarak belirlenmiş ve Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulanması planlanmıştır. Mühendis, modelin temel varsayımlarını kontrol etmek amacıyla faktör (montaj hattı tasarımı) ile ortak değişken (mesleki tecrübe) arasındaki etkileşim terimini modele ekleyerek bir ön analiz gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda bu etkileşim terimi istatistiksel olarak anlamlı ( $p < 0,05$ ) bulunmuştur.

Buna göre, mühendisin yürüttüğü bu analiz süreci ve elde ettiği bulguyla ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Etkileşim teriminin anlamlı çıkması, mesleki tecrübenin üretim miktarı üzerindeki etkisinin her üç montaj hattında da aynı olduğunu kanıtlar.

Modelde istatistiksel anlamlılık sağlandığı için, ana etkilerin farklılıklarını belirlemek amacıyla doğrudan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilmelidir.

Faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimin anlamlı olması, regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini gösterir ve standart ANCOVA uygulanamaz.

Bu bulgu, modelde çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorunu olduğuna işaret ettiğinden ortak değişken analizden tamamen çıkarılmalıdır.

Etkileşim teriminin modele eklenmesi hata kareler ortalamasını hesaplarken kullanılan serbestlik derecesini artırarak testin gücünü yükseltmiştir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimin anlamlı olması, regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini gösterir ve standart ANCOVA uygulanamaz.

Cevap

Faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimin anlamlı olması, regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği varsayımının ihlal edildiğini gösterir ve standart ANCOVA uygulanamaz.

ANCOVA modelinde, ortak değişken ile faktör arasındaki etkileşimin modele dahil edilmesi, 'regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği' varsayımını test etmek için standart bir prosedürdür. Eğer bu etkileşim istatistiksel olarak anlamlı çıkarsa (

p < 0,05

), bu durum eğimlerin gruplar arasında paralel olmadığını (homojen olmadığını) kanıtlar. Bu varsayımın ihlali durumunda klasik ANCOVA modelinin kullanılması istatistiksel olarak uygun değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans Analizi'nin (ANCOVA) temel varsayımlarını değerlendirme

ANCOVA'nın en önemli varsayımlarından biri 'Regresyon Doğrularının Eğimlerinin Homojenliği' (Homogeneity of Regression Slopes) varsayımıdır.

Ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin tüm işlem gruplarında sabit (paralel doğrular) olması gerekir.

2

Varsayımın nasıl test edildiğini belirleme

Bu varsayım, bağımsız değişken (faktör) ile ortak değişken (kovaryat) arasındaki etkileşim teriminin modele dahil edilmesiyle test edilir.

Etkileşim, kovaryatın etkisinin faktörün seviyelerine göre değişip değişmediğini ölçer.

3

Etkileşim teriminin istatistiksel anlamlılığını yorumlama

Etkileşim teriminin

p < 0,05

bulunması, grupların regresyon eğimlerinin birbirinden farklı (paralel olmadığını) gösterir.

Anlamlı etkileşim, eğimlerin homojenliği varsayımının ihlal edildiği anlamına gelir. Bu durumda standart ANCOVA uygulanamaz.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) Regresyon Eğimlerinin Homojenliği Varsayımı

Soru 182Soru →

Bir klinik psikolog, üç farklı terapi yönteminin hastaların tedavi sonrası depresyon skorları üzerindeki etkisini incelemektedir. Hastaların tedavi öncesi başlangıç depresyon skorlarının farklı olabileceğini göz önünde bulunduran araştırmacı, bu başlangıç skorlarını "ortak değişken" (covariate) olarak modele dahil ederek bir Kovaryans Analizi (ANCOVA) uygulamıştır. Analiz sonucunda, terapi yöntemlerinin etkinliklerini karşılaştırmak için grupların gözlenen (ham) ortalamaları yerine "düzeltilmiş ortalamaları" (adjusted means) dikkate alınmıştır.

Buna göre, araştırmacının gözlenen ortalamalar yerine düzeltilmiş ortalamaları kullanmasının temel istatistiksel gerekçesi aşağıdakilerden hangisidir?

Grupların başlangıç depresyon skorlarındaki olası farklılıkların bağımlı değişken üzerindeki etkisini matematiksel olarak arındırarak, terapi yöntemlerinin net etkisini karşılaştırmak.

Terapi yöntemleri ile başlangıç depresyon skorları arasındaki etkileşimin (interaction) istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını tespit etmek.

Hata kareler toplamına ait serbestlik derecesini ortak değişken sayısı kadar artırarak analizin istatistiksel gücünü yükseltmek.

Ortak değişkenin modele dahil edilmesiyle belirlilik katsayısını yapay olarak artırıp, gruplar içi varyansın açıklanma oranını doğrudan maksimize etmek.

Başlangıç skorlarının neden olabileceği değişen varyans (heteroskedastisite) sorununu gidererek tedavi gruplarının varyanslarını homojen hale getirmek.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Grupların başlangıç depresyon skorlarındaki olası farklılıkların bağımlı değişken üzerindeki etkisini matematiksel olarak arındırarak, terapi yöntemlerinin net etkisini karşılaştırmak.

Cevap

Başlangıç skorlarındaki olası farklılıkların etkisini matematiksel olarak arındırarak terapi yöntemlerinin net etkisini karşılaştırmak.

Düzeltilmiş ortalamalar (adjusted means), analiz edilen tüm grupların ortak değişken (başlangıç depresyon skorları) bakımından eşit genel ortalamaya sahip olduğu matematiksel varsayımıyla hesaplanır. Bu işlemin temel amacı, araştırmadaki grupların başlangıç koşullarındaki olası eşitsizliklerinden kaynaklanan yanlılığı (bias) ortadan kaldırmak ve yalnızca kategorik bağımsız değişkenin (terapi yönteminin) bağımlı değişken üzerindeki saf (net) etkisini doğru bir şekilde karşılaştırmaktır.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans analizi (ANCOVA) modelinde ortak değişkenin (covariate) işlevini tanımlamak.

Ortak değişken, bağımlı değişken üzerinde etkisi olduğu bilinen ve deney gruplarına rastgele dağılmayan sürekli bir değişkendir (bu örnekte başlangıç depresyon skoru).

Başlangıç skorları gruplar arasında farklılık gösteriyorsa, tedavi sonrası skorlardaki farklılığın ne kadarının terapiden, ne kadarının başlangıç durumundan kaynaklandığını ayırmak gerekir.

2

Düzeltilmiş ortalama (adjusted mean) kavramını değerlendirmek.

Düzeltilmiş ortalamalar, tüm grupların ortak değişken bakımından aynı değere (genel ortalamaya) sahip olduğu varsayımı altında hesaplanan teorik bağımlı değişken ortalamalarıdır.

Gözlenen (ham) ortalamalar kullanılsaydı, başlangıçta daha düşük depresyon skoruna sahip olan grubun başarısı yanıltıcı bir şekilde yüksek çıkabilirdi.

3

Düzeltilmiş ortalamaların kullanılmasının temel istatistiksel gerekçesini belirlemek.

Temel gerekçe, deney birimlerinin başlangıçtaki eşitsizliklerinden kaynaklanan yanlılığı ortadan kaldırmak ve sadece terapi yönteminin (bağımsız değişkenin) saf etkisini elde etmektir.

Bu sayede ANCOVA, sadece varyans analizi yapmakla kalmaz, aynı zamanda regresyon tekniklerini kullanarak grupları istatistiksel olarak eşitler.

Anahtar Kavram

Kovaryans Analizi (ANCOVA) ve Düzeltilmiş Ortalamalar

Soru 183Soru →

Bir zirai ilaç firması, geliştirdiği yeni bir gübre formülünün buğday verimi (muamele faktörü) üzerindeki etkisini inceleyecektir. Deneyde muamele faktörünün yanı sıra, tarla parsellerinin eğim yönü, toprak nem oranı ve tohum varyetesi olmak üzere sisteme etki edebilecek farklı değişkenlerin de varyans analizi modelinde blok faktörü olarak kontrol edilmesi hedeflenmektedir. Bu doğrultuda tüm faktörlerin aynı $p$ seviyesine sahip olduğu bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı kurulması planlanmaktadır.

Bu deney tasarımının istatistiksel yapısı ve serbestlik derecesi (SD) hesaplamalarıyla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model üç yönlü kısıtlama içerir, toplam gözlem sayısı

p^2

kadardır, ortogonalliğin sağlanabilmesi için en az

p=3

seviyesi gerekir ve deney

p=7

seviyeli kurulursa hata serbestlik derecesi 24 olur.

Model Latin karesinde olduğu gibi iki yönlü kısıtlama temelinde kurulur, gözlem sayısı

p^2

olup

p=7

seviyeli bir deneyde hata serbestlik derecesi 30 olarak hesaplanır.

Model üç yönlü kısıtlama içerse de, faktörlerin tüm düzeylerinin tam ortogonal kesişimi için

p^3

sayıda gözleme ihtiyaç duyulur ve

p=7

için hata serbestlik derecesi 24'tür.

Model muamele faktörü dahil toplam dört yönlü kısıtlama içerir, geçerli bir kare matris için en az

p=4

şarttır ve

p=7

seviyeli deneyde hata serbestlik derecesi 36'dır.

Model üç yönlü kısıtlama ve

p^2

adet toplam gözlem içerir, ancak blok faktörleri arasındaki etkileşimlerin de modele katılması zorunlu olduğundan

p=7

için hata serbestlik derecesi 30'a düşer.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Model üç yönlü kısıtlama içerir, toplam gözlem sayısı $p^2$ kadardır, ortogonalliğin sağlanabilmesi için en az $p=3$ seviyesi gerekir ve deney $p=7$ seviyeli kurulursa hata serbestlik derecesi 24 olur.

Cevap

Model üç yönlü kısıtlama içerir, toplam gözlem sayısı

p^2

kadardır, ortogonalliğin sağlanabilmesi için en az

p=3

seviyesi gerekir ve deney

p=7

seviyeli kurulursa hata serbestlik derecesi 24 olur.

Grek-Latin Karesi deney tasarımı; satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere dışsal değişkenleri üç yönden bloklayarak (üç yönlü kısıtlama) varyans analizine dahil eder. Bu tasarımda tüm faktörlerin seviye sayısı eşittir (

p

) ve toplam gözlem ihtiyacı faktörlerin tam bileşimi olan

p^3

değil, yalnızca

p^2

'dir. Tasarımın geçerli ortogonal karelerle kurulabilmesi için asgari

p=3

şartı aranır. Modele ait hata serbestlik derecesi genel

(p^2-1)

toplamından dört adet temel etkinin çıkarılmasıyla

(p-1)(p-3)

formülü ile elde edilir.

p=7

seviyeli bir deney kurgulandığında bu değer

(7-1)(7-3) = 24

olarak doğru hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Grek-Latin Karesi modelinin temel kısıt (blok) sayısını ve gerektirdiği toplam gözlem sayısını belirlemek.

Tasarımda satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere 3 yönlü kısıtlama (bloklama) vardır. Latin harfleri ise muameleyi temsil eder. Toplam gözlem sayısı her zaman

p^2

kadardır.

Modelin Latin karesinden (2 kısıt) temel farkını ortaya koymak ve faktör-gözlem ilişkisini tanımlamak.

2

Tasarımın kurulabilmesi için gereken teorik minimum

p

(faktör seviyesi) değerini tespit etmek.

Grek-Latin Karesi oluşturabilmek için ortogonal Latin karelerine ihtiyaç vardır ve bu matematiksel olarak en az

p=3

için mümkündür (pratikte genellikle

p \ge 4

tercih edilse de minimum şart 3'tür).

Seçeneklerdeki model kurma şartlarını doğrulamak.

3

p=7

seviyesi için ANOVA tablosundaki hata serbestlik derecesini formülle hesaplamak.

Hata Serbestlik Derecesi =

(p-1)(p-3)

formülünden

(7-1)(7-3) = 6 \times 4 = 24

olarak bulunur.

Seçeneklerde verilen serbestlik derecesi (SD) hesaplamalarının doğruluğunu test etmek.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımının Yapısal Özellikleri ve Serbestlik Derecesi Hesabı

Soru 184Soru →

Bir lojistik firması, 3 farklı dağıtım stratejisinin (A, B ve C) kuryelerin günlük teslim ettikleri paket sayısı üzerindeki etkisini incelemektedir. Analizde, kuryelerin mesleki deneyim süreleri (yıl) modele ortak değişken (covariate) olarak dahil edilmiştir. Verilerin analizi öncesinde yapılan varsayım kontrollerinde, dağıtım stratejileri (faktör) ile mesleki deneyim süresi (ortak değişken) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim olduğu ( $p < 0,05$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, araştırmacının izlemesi gereken en uygun istatistiksel yaklaşım aşağıdakilerden hangisidir?

Mesleki deneyim süresi modelden çıkarılmalı ve veriler üzerinde yalnızca standart Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) uygulanmalıdır.

Varyansların homojenliği bozulduğundan, bağımlı değişkene uygun bir dönüşüm yapılarak klasik ANCOVA tekrarlanmalıdır.

Klasik Kovaryans Analizi (ANCOVA) kullanılamaz; faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimi dikkate alan genişletilmiş bir model kullanılmalıdır.

Eğrilerin paralelliği varsayımı sağlandığı için, doğrudan düzeltilmiş ortalamalar (adjusted means) hesaplanarak gruplar arası farklar yorumlanmalıdır.

Modelin ana etkilerine bakılmaksızın doğrudan çoklu karşılaştırma (post-hoc) testlerine geçilerek stratejiler karşılaştırılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Klasik Kovaryans Analizi (ANCOVA) kullanılamaz; faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimi dikkate alan genişletilmiş bir model kullanılmalıdır.

Cevap

Klasik Kovaryans Analizi (ANCOVA) kullanılamaz; faktör ile ortak değişken arasındaki etkileşimi dikkate alan genişletilmiş bir model kullanılmalıdır.

Kovaryans Analizi'nde (ANCOVA), ortak değişken ile bağımsız değişken (faktör) arasında istatistiksel olarak anlamlı bir etkileşim bulunmaması gerekir. Bu durum literatürde 'regresyon doğrularının eğimlerinin homojenliği' (paralelliği) varsayımı olarak adlandırılır. Etkileşimin anlamlı çıkması (p < 0,05), ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin faktörün her bir düzeyinde farklılaştığını gösterir. Bu durumda klasik ANCOVA modeli taraflı sonuçlar vereceğinden geçersiz kabul edilir. Çözüm olarak modelden değişken çıkarmak veya dönüşüm yapmak yerine, analiz sürecine etkileşim terimini de kapsayan genişletilmiş doğrusal modellerle (örneğin etkileşimli regresyon modelleri) devam edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Kovaryans Analizi'nin (ANCOVA) temel varsayımlarını değerlendir.

ANCOVA'nın en önemli varsayımlarından biri 'Regresyon Doğrularının Eğimlerinin Homojenliği' (paralellik) varsayımıdır.

Ortak değişkenin bağımlı değişken üzerindeki etkisinin, faktörün tüm düzeylerinde aynı (sabit) olup olmadığını kontrol etmek için bu varsayım gereklidir.

2

Senaryodaki etkileşim bulgusunu (p < 0,05) varsayımlar ışığında yorumla.

Faktör (dağıtım stratejisi) ile ortak değişken (deneyim süresi) arasında anlamlı bir etkileşim bulunması, eğimlerin gruplar arasında farklı olduğunu gösterir.

Etkileşim, ortak değişkenin etkisinin grup düzeyine göre değiştiğinin matematiksel bir kanıtıdır ve bu durum paralellik varsayımının ihlal edildiği anlamına gelir.

3

Varsayım ihlali durumunda atılması gereken en uygun istatistiksel adımı belirle.

Klasik ANCOVA modeli kullanılamaz; yerine etkileşim terimini barındıran Genel Doğrusal Modeller (GLM) veya Johnson-Neyman tekniği gibi yöntemler seçilmelidir.

Verideki mevcut etkileşim göz ardı edilerek zorla ANCOVA yapılması veya değişkenin modelden atılması taraflı ve hatalı sonuçlar üretecektir.

Anahtar Kavram

ANCOVA Varsayımları: Regresyon Eğimlerinin Homojenliği

Soru 185Soru →

Bir halk sağlığı araştırmacısı, 3 farklı diyet programı ( $A$ faktörü) ve 2 farklı egzersiz türünün ( $B$ faktörü) katılımcıların kilo kaybı üzerindeki etkilerini incelemek amacıyla iki faktörlü tam şansa bağlı bir deney tasarımı kurmuştur. Her bir deney kombinasyonunda (hücresinde) 4 katılımcı yer almaktadır.

Araştırma sonucunda elde edilen verilere ait varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)
Diyet ( $A$ )	2	60
Egzersiz ( $B$ )	1	40
Etkileşim ( $A \times B$ )	50
Hata	18	90
Genel	23	240

Buna göre, diyet ve egzersiz faktörlerinin **etkileşim etkisinin ( $A \times B$ ) istatistiksel anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken F test istatistiği** değeri aşağıdakilerden hangisidir?

12.5

10

8

6

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5$

Cevap

Hesaplanması gereken F test istatistiği değeri

5

'tir.

Varyans analizinde (ANOVA) istatistiksel anlamlılığı test etmek için F değeri, test edilmek istenen etkinin Kareler Ortalaması'nın (KO) Hata Kareler Ortalaması'na (Hata KO) bölünmesiyle elde edilir. Tablodaki eksik verilerden Etkileşim (

A \times B

) serbestlik derecesi

23 - (2 + 1 + 18) = 2

olarak bulunur. Buradan Etkileşim Kareler Ortalaması

50 / 2 = 25

olur. Hata Kareler Ortalaması ise

90 / 18 = 5

'tir. Etkileşim için F istatistiği

25 / 5 = 5

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Etkileşim (

A \times B

) serbestlik derecesinin (

sd_{AB}

) bulunması.

sd_{AB} = 2

Genel serbestlik derecesi (

23

), diğer tüm kaynakların serbestlik dereceleri toplamına eşittir.

23 - (2 + 1 + 18) = 2

. Alternatif olarak faktörlerin SD'leri çarpılabilir:

sd_{AB} = sd_A \times sd_B = 2 \times 1 = 2

.

2

Etkileşim kareler ortalamasının (

KO_{AB}

) hesaplanması.

KO_{AB} = 25

Kareler ortalaması, kareler toplamının serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

KO_{AB} = KT_{AB} / sd_{AB} = 50 / 2 = 25

.

3

Hata kareler ortalamasının (

KO_E

) hesaplanması.

KO_E = 5

Hata kareler toplamı (

90

), hata serbestlik derecesine (

18

) bölünür.

KO_E = KT_E / sd_E = 90 / 18 = 5

.

4

Etkileşim etkisine ait F test istatistiğinin hesaplanması.

F_{AB} = 5

Varyans analizinde herhangi bir etkinin F istatistiği, o etkinin kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranıdır.

F_{AB} = KO_{AB} / KO_E = 25 / 5 = 5

.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tasarımlarda ANOVA Tablosu ve Etkileşim F-Testi

Soru 186Soru →

Bir 3D yazıcı üretim tesisinde, farklı üretim parametrelerinin basılan parçaların çekme mukavemeti üzerindeki etkisini incelemek amacıyla bir deney tasarlanmıştır. 'Ekstrüder sıcaklığı' faktörü değiştirildiğinde makinenin termal dengeye ulaşması uzun zaman aldığından, bu faktör ana parsel (whole-plot) faktörü olarak belirlenmiş ve $3$ farklı seviyede incelenmiştir. 'Baskı hızı' faktörü ise daha kolay değiştirilebildiğinden alt parsel (sub-plot) faktörü olarak seçilmiş ve $4$ farklı seviyede incelenmiştir.

Deney, rastgele bloklar tasarımı temel alınarak $4$ blokta (tekrarda) yürütülmüştür.

Buna göre, bu deney tasarımına ait varyans analizi tablosunda Ana Parsel Hatası (Hata A) ve Alt Parsel Hatası (Hata B) için serbestlik dereceleri sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

6

ve

27

6

ve

33

8

ve

25

9

ve

24

2

ve

3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6$ ve $27$

Cevap

Ana parsel hatası

6

ve alt parsel hatası

27

serbestlik derecesine sahiptir.

Bölünmüş parsel (split-plot) deney tasarımında, rastgele bloklar kullanıldığında Ana Parsel Hatası (Hata A) serbestlik derecesi

(r-1)(a-1)

formülüyle hesaplanır. Blok sayısı (

r=4

) ve ana parsel faktör seviyesi (

a=3

) yerine konduğunda

(4-1)(3-1) = 6

elde edilir. Alt Parsel Hatası (Hata B) serbestlik derecesi ise

a(r-1)(b-1)

formülüyle bulunur. İlgili değerler (

a=3

,

r=4

,

b=4

) yerine konduğunda

3 \times (4-1) \times (4-1) = 27

sonucuna ulaşılır. Doğru eşleşme

6

ve

27

'dir.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımındaki faktör seviyelerinin ve blok sayısının belirlenmesi

Blok sayısı

r=4

, Ana parsel faktör seviyesi

a=3

, Alt parsel faktör seviyesi

b=4

olarak tanımlanır.

Serbestlik derecesi formüllerinde yerine koyulacak değerlerin tespiti için.

2

Ana parsel hatası (Hata A) serbestlik derecesinin hesaplanması

Hata A

sd = (r-1)(a-1)

formülü ile

(4-1)(3-1) = 3 \times 2 = 6

olarak bulunur.

Varyans analizi tablosunda ana parsel düzeyindeki hata kaynağının serbestlik derecesini bulmak için.

3

Alt parsel hatası (Hata B) serbestlik derecesinin hesaplanması

Hata B

sd = a(r-1)(b-1)

formülü ile

3 \times (4-1) \times (4-1) = 3 \times 3 \times 3 = 27

olarak bulunur.

Alt parsel düzeyindeki hata teriminin varyansını analiz edebilmek için.

Anahtar Kavram

Bölünmüş parsel deney tasarımında varyans analizi tablosu serbestlik dereceleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 187Soru →

Bir Devlet Demiryolları araştırma birimi, raylarda kullanılacak $5$ farklı korozyon önleyici kaplama türünün (işlem) dayanıklılığını test etmek istemektedir. Bu amaçla, Türkiye'deki $4$ farklı iklim bölgesi (blok) seçilmiş ve her bölgede tüm kaplama türleri test edilmiştir. Deney sonucunda elde edilen korozyon direnç skorlarına ilişkin kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi	Kareler Toplamı
Kaplama Türü
İklim Bölgesi	$120$
Hata	$120$
Genel	$19$	$480$

Buna göre, kaplama türlerinin korozyon direnci üzerindeki etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken $F$ test istatistiği değeri kaçtır?

1.50

3.00

3.75

6.00

7.50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6.00

Cevap

Kaplama türlerinin etkisini test etmek için hesaplanması gereken doğru F istatistiği değeri 6.00'dır.

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle İşlem Kareler Toplamı hesaplanmalıdır. Genel KT (480) - Blok KT (120) - Hata KT (120) = İşlem KT (240). Ardından serbestlik dereceleri belirlenir: İşlem sd = k-1 = 4 ve Hata sd = (k-1)(b-1) = 4×3 = 12'dir. Kareler ortalamaları; İşlem KO = 240 / 4 = 60 ve Hata KO = 120 / 12 = 10 olarak bulunur. F istatistiği, İşlem KO'nun Hata KO'ya oranlanmasıyla F = 60 / 10 = 6.00 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen bilgilere göre işlem ve blok sayılarından serbestlik derecelerini (sd) hesapla.

Kaplama türü sayısı (İşlem, k) = 5, İklim bölgesi sayısı (Blok, b) = 4. İşlem sd = 5 - 1 = 4, Blok sd = 4 - 1 = 3, Hata sd = (5 - 1) × (4 - 1) = 12 olarak bulunur. Kontrol: Genel sd = 19 (4+3+12 = 19).

Kareler ortalamalarını bulabilmek için her bir varyans kaynağının kendi serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

2

Eksik olan Kaplama Türü (İşlem) Kareler Toplamını bul.

Genel Kareler Toplamı = İşlem KT + Blok KT + Hata KT formülünden: 480 = İşlem KT + 120 + 120 denkleminden İşlem KT = 240 elde edilir.

F test istatistiğinin pay kısmında yer alacak olan işlem etkisini yalıtmak için ANOVA tablosundaki toplamsallık özelliği kullanılır.

3

İşlem ve Hata Kareler Ortalamalarını (KO) hesapla.

İşlem KO = 240 / 4 = 60. Hata KO = 120 / 12 = 10.

F oranı, kareler toplamlarının serbestlik derecelerine bölünmesiyle elde edilen ortalama karelerin (varyansların) birbirine oranlanmasıyla bulunur.

4

Kaplama türleri için F test istatistiğini hesapla.

F = İşlem KO / Hata KO = 60 / 10 = 6.00

Rastgele bloklar tasarımında, işlem etkisinin anlamlılığı işlem varyansının rastgele hata varyansına bölünmesiyle test edilir.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında Kısmi ANOVA Tablosu ve F İstatistiği

Soru 188Soru →

Bir tarım araştırma enstitüsünde, $6$ farklı buğday tohumu çeşidinin hektar başına verimi test edilmektedir. Deneyin yürütüleceği tarım arazisinde hem kuzey-güney ekseninde bir nem eğimi hem de doğu-batı ekseninde bir toprak verimliliği farklılığı olduğu bilinmektedir. Araştırmacı, bu iki farklı yöndeki dışsal (bozucu) değişkenin etkisini eş zamanlı olarak kontrol altına alabilmek amacıyla $6 \times 6$ boyutlarında bir Latin Karesi deney tasarımı uygulamıştır.

Buna göre, bu deney tasarımına ait varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisidir?

5

20

25

30

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Hesaplanması gereken değer 20'dir.

Latin Karesi deney tasarımında, muamele sayısı (

n

) ile satır ve sütun düzey sayıları birbirine eşittir. Toplam gözlem sayısı

n^2

olduğundan toplam serbestlik derecesi

n^2 - 1

'dir. Satır, sütun ve muamele faktörlerinin her birinin serbestlik derecesi ise

n - 1

'dir. Hata serbestlik derecesi, toplam serbestlik derecesinden bu üç faktörün çıkarılmasıyla bulunur:

(n^2 - 1) - 3(n - 1) = (n - 1)(n - 2)

. Verilen örnekte

n=6

olduğu için, hata serbestlik derecesi

5 \times 4 = 20

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Latin Karesi deney tasarımında parametre (n) değerini belirle.

Araştırmada 6 farklı tohum çeşidi (

n=6

) test edilmektedir. Boyut

6 \times 6

olduğu için toplam gözlem sayısı

N = 6^2 = 36

olarak bulunur.

Varyans analizi serbestlik dereceleri hesaplamaları doğrudan

n

parametresine bağlıdır.

2

Hata serbestlik derecesi formülünü kullanarak hesaplamayı gerçekleştir.

Latin Karesi modelinde hata serbestlik derecesi formülü

(n-1)(n-2)

şeklindedir.

n=6

yerine konduğunda:

(6-1)(6-2) = 5 \times 4 = 20

elde edilir.

Hata serbestlik derecesi, toplam serbestlik derecesinden satır, sütun ve muamele serbestlik derecelerinin çıkarılması ile elde edilir:

(n^2 - 1) - 3(n-1)

sadeleştiğinde

(n-1)(n-2)

olur.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımı ve Serbestlik Derecesi Analizi

Soru 189Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma sistemindeki sefer gecikmelerini analiz etmek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Çalışmada, $3$ farklı otobüs güzergahı ( $A$ faktörü) ve $4$ farklı sürücü deneyim seviyesinin ( $B$ faktörü) sefer tamamlama süreleri (dakika) üzerindeki etkisi incelenmektedir. Her bir güzergah ve deneyim seviyesi kombinasyonu için rastgele $5$ sefer gözlemlenmiştir.

Elde edilen verilere göre oluşturulan eksik iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)
Güzergah ( $A$ )	$450$
Deneyim ( $B$ )	$360$
Etkileşim ( $A \times B$ )	$180$	$F_{AB}$
Hata	$960$
Genel (Toplam)	$1950$

Buna göre, güzergah ve sürücü deneyimi etkileşimi ( $A \times B$ ) için hesaplanan $F$ test istatistiği ( $F_{AB}$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

0,67

0,75

1,50

1,66

9,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,50

Cevap

1,50

İki yönlü varyans analizinde (tekrarlı), etkileşim (

A \times B

) serbestlik derecesi

(a-1)(b-1) = (3-1)(4-1) = 6

ve hata serbestlik derecesi

ab(n-1) = 3 \times 4 \times 4 = 48

'dir. Etkileşim Kareler Ortalaması

180 / 6 = 30

ve Hata Kareler Ortalaması

960 / 48 = 20

olarak bulunur. F istatistiği bu iki değerin birbirine oranlanmasıyla

30 / 20 = 1,50

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısını (

N

) hesaplayınız.

N = a \times b \times n = 3 \times 4 \times 5 = 60

Varyans analizi tablosundaki hata serbestlik derecesini bulabilmek için toplam gözlem sayısına ihtiyaç vardır.

2

Etkileşim (

A \times B

) için serbestlik derecesini (

sd_{AB}

) hesaplayınız.

sd_{AB} = (a - 1)(b - 1) = (3 - 1)(4 - 1) = 2 \times 3 = 6

İki yönlü varyans analizinde etkileşim serbestlik derecesi, faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

3

Hata için serbestlik derecesini (

sd_H

) hesaplayınız.

sd_H = a \times b \times (n - 1) = 3 \times 4 \times (5 - 1) = 12 \times 4 = 48

Hata serbestlik derecesi, her bir hücredeki serbestlik derecesinin (

n-1

) toplam hücre sayısıyla (

ab

) çarpılmasıyla bulunur.

4

Etkileşim ve Hata için Kareler Ortalamalarını (

KO

) hesaplayınız.

KO_{AB} = 180 / 6 = 30

ve

KO_H = 960 / 48 = 20

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

5

Etkileşim etkisinin

F

test istatistiğini (

F_{AB}

) hesaplayınız.

F_{AB} = KO_{AB} / KO_H = 30 / 20 = 1,50

F test istatistiği, model kaynağının kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Serbestlik Dereceleri ve F İstatistiği

Soru 190Soru →

Bir gıda mühendisi, $3$ farklı ambalaj türü ( $A$ faktörü) ve $4$ farklı depolama sıcaklığının ( $B$ faktörü) bir gıda ürününün raf ömrü (gün) üzerindeki etkisini incelemek için iki yönlü varyans analizi uygulamıştır. Deneyin her bir ambalaj-sıcaklık kombinasyonunda (hücresinde) $5$ tekrar (gözlem) yapılmıştır. Analiz sonucunda oluşturulan ANOVA tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Kaynak	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Toplamı (KT)	Kareler Ortalaması (KO)	F
Ambalaj Türü (A)	$2$	$120$	$60$	$3.0$
Depolama Sıcaklığı (B)	$3$	$240$	$80$	$4.0$
Etkileşim (A $\times$ B)	?	$300$	?	?
Hata	?	$960$	?
Toplam	$59$	$1620$

Araştırmacı, elde ettiği tablo üzerinden etkileşim etkisinin ( $A \times B$ ) istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna ulaşmıştır.

Buna göre, tablodaki eksik değerler kullanılarak hesaplanan **etkileşim etkisine ait $F$ test istatistiği ( $F_{A \times B}$ ) ile bu anlamlılık sonucunun doğru yorumu** aşağıdakilerin hangisinde birlikte verilmiştir?

F_{A \times B} = 2.50

; Ambalaj türünün raf ömrü üzerindeki etkisi, depolama sıcaklığının seviyelerine göre farklılık göstermektedir.

F_{A \times B} = 2.50

; Ambalaj türü ve depolama sıcaklığının raf ömrü üzerindeki etkileri birbirinden tamamen bağımsızdır.

F_{A \times B} = 3.00

; Ambalaj türünün raf ömrü üzerindeki etkisi, depolama sıcaklığının seviyelerine göre farklılık göstermektedir.

F_{A \times B} = 1.25

; Ambalaj türü ve depolama sıcaklığının raf ömrü üzerindeki etkileri toplanabilir (additive) özelliktedir.

F_{A \times B} = 2.76

; Her bir ambalaj türünün raf ömrü üzerindeki etkisi tüm depolama sıcaklıklarında aynıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F_{A \times B} = 2.50$ ; Ambalaj türünün raf ömrü üzerindeki etkisi, depolama sıcaklığının seviyelerine göre farklılık göstermektedir.

Cevap

Doğru seçenek, F istatistiğinin 2.50 olarak hesaplandığı ve etkileşimin 'Ambalaj türünün raf ömrü üzerindeki etkisinin, depolama sıcaklığının seviyelerine göre farklılık göstermesi' şeklinde yorumlandığı seçenektir.

Doğru cevap, etkileşim serbestlik derecesini (2x3=6) bularak F değerini 50/20=2.50 olarak hesaplayan ve etkileşim etkisinin faktörlerin birbirine bağımlılığı (etkinin diğer faktör seviyelerine göre değişmesi) anlamına geldiğini doğru ifade eden seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

Ambalaj (A) ve Sıcaklık (B) faktörlerinin seviye sayılarını belirleme

Tablodan sd_A = 2 olduğundan a = 3; sd_B = 3 olduğundan b = 4 olduğu görülür. Toplam sd = 59 olduğundan N = 60'tır.

Varyans analizi formüllerini kullanabilmek için faktör seviye sayıları ve toplam gözlem sayısına ihtiyaç vardır.

2

Etkileşim (A x B) ve Hata serbestlik derecelerini hesaplama

sd_(A x B) = (a-1)(b-1) = 2 * 3 = 6. Hata serbestlik derecesi = Toplam sd - (sd_A + sd_B + sd_(A x B)) = 59 - (2 + 3 + 6) = 48 bulunur.

Kareler ortalamalarını bulmak için kareler toplamlarını bölmek üzere ilgili serbestlik dereceleri hesaplanmalıdır.

3

Kareler Ortalamalarını (KO) ve F test istatistiğini hesaplama

KO_(A x B) = 300 / 6 = 50. KO_Hata = 960 / 48 = 20. F_(A x B) = KO_(A x B) / KO_Hata = 50 / 20 = 2.50.

Etkileşim etkisinin F değeri, etkileşime ait varyansın (KO) hata varyansına (KO) bölünmesiyle elde edilir.

4

Anlamlı etkileşim etkisini yorumlama

Etkileşim istatistiksel olarak anlamlıysa, bir faktörün (Ambalaj) bağımlı değişkene etkisi, diğer faktörün (Sıcaklık) seviyesine bağlı olarak değişiyor demektir.

Etkileşimin varlığı, faktörlerin birbirinden bağımsız hareket etmediğini, etkilerin basitçe toplanabilir (additive) olmadığını gösterir.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Varyans Analizinde Serbestlik Dereceleri ve Etkileşimin Yorumlanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 191Soru →

Bir siber güvenlik araştırmacısı, yeni geliştirilen $n$ farklı şifreleme protokolünün veri işleme hızlarını karşılaştırmak istemektedir. İşlem hızının; algoritmaların test edildiği "sunucu donanımı" ve "anlık ağ trafiği yoğunluğu" olmak üzere iki temel dışsal kaynaktan önemli ölçüde etkilendiği bilinmektedir. Araştırmacı, bu iki kaynağın yol açtığı değişkenliği iki yönlü bloklama ile kontrol altına alabilmek amacıyla sunucu donanımı, ağ trafiği ve şifreleme protokolü faktörlerinin her birinin seviye sayısını eşit ( $n$ ) alarak bir deney tasarımı planlamıştır.

Kurulan bu modele ilişkin Varyans Analizi (ANOVA) tablosunda, test istatistiğinin hesaplanmasında payda olarak kullanılacak hata kareler ortalamasının hata serbestlik derecesi aşağıdakilerden hangisi ile hesaplanır?

(n-1)^2

n-1

(n-1)(n-2)

n^2-1

(n-1)(n-3)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $(n-1)(n-2)$

Cevap

Hata serbestlik derecesi

(n-1)(n-2)

formülü ile hesaplanır.

Latin Karesi tasarımında, verideki toplam varyasyon dört bileşene ayrılır: satırlar (blok 1), sütunlar (blok 2), muameleler ve hata. Deneyde

n^2

adet gözlem bulunduğundan toplam serbestlik derecesi

n^2 - 1

'dir. Satır, sütun ve muamele etkilerinin her birinin serbestlik derecesi faktör seviyesinin bir eksiği olan

n-1

'dir. Hata serbestlik derecesi, toplam serbestlik derecesinden bu üç etkinin çıkarılmasıyla elde edilir:

(n^2 - 1) - [(n - 1) + (n - 1) + (n - 1)] = n^2 - 1 - 3n + 3 = n^2 - 3n + 2

. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında

(n-1)(n-2)

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Deney tasarımının türünü belirleme.

Araştırmacı iki dışsal kaynağı (sunucu ve ağ trafiği) kontrol etmekte ve tüm faktörlerin seviyesini

n

almaktadır. Bu durum Latin Karesi Deney Tasarımı olduğunu gösterir.

Uygulanan bloklama sayısı (iki yönlü) ve

n \times n

koşulu modelin matematiksel yapısını doğrudan tayin eder.

2

Toplam serbestlik derecesini formüle etme.

Gözlem sayısı

n \times n = n^2

olduğundan, toplam serbestlik derecesi

n^2 - 1

olur.

Varyans analizinde toplam serbestlik derecesi her zaman gözlem sayısının bir eksiğidir.

3

Ana etkilerin (satır, sütun, muamele) serbestlik derecelerini belirleme.

Her bir faktör

n

seviyeli olduğundan, satır için

(n-1)

, sütun için

(n-1)

ve muamele için

(n-1)

serbestlik derecesi kullanılır.

Herhangi bir faktörün serbestlik derecesi, seviye sayısının bir eksiğidir.

4

Hata serbestlik derecesini hesaplama.

Hata SD = Toplam SD - Satır SD - Sütun SD - Muamele SD formülü kullanılarak;

(n^2 - 1) - 3(n-1) = n^2 - 3n + 2 = (n-1)(n-2)

bulunur.

Hata terimi, toplam varyasyondan modelde açıklanabilen tüm varyasyon kaynakları çıkarıldıktan sonra kalan açıklanamayan kısımdır.

Anahtar Kavram

Latin Karesi Deney Tasarımında Varyans Analizi (ANOVA) ve Serbestlik Derecelerinin Ayrıştırılması

Soru 192Soru →

Bir kimya mühendisi, bir kimyasal sürecin verimini optimize etmek için 3 farklı katalizör türü ( $A$ faktörü) ve 4 farklı reaksiyon süresi ( $B$ faktörü) kullanarak tam faktöriyel bir deney tasarlamıştır. Her bir deney kombinasyonu 2 kez tekrar edilmiştir ( $r=2$ ). Elde edilen verilere ait kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)
$A$ Faktörü	2	150
$B$ Faktörü	3	240
$A \times B$ Etkileşimi	-	180
Hata	-	240
Genel	23	810

Buna göre, tabloda verilmeyen değerler hesaplandığında, $A \times B$ etkileşim etkisine ait $F$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

0,67

0,75

1,50

1,80

3,00

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $1,50$

Cevap

İlgili etkileşim etkisine ait F test istatistiği değeri 1,50'dir.

F

test istatistiği, etkileşim kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına bölünmesiyle elde edilir. Etkileşim serbestlik derecesi faktörlerin serbestlik dereceleri çarpılarak (

2 \times 3 = 6

) bulunur. Toplam serbestlik derecesi

23

olduğundan, hata serbestlik derecesi

23 - 2 - 3 - 6 = 12

olarak hesaplanır. Etkileşim Kareler Ortalaması

180 / 6 = 30

, Hata Kareler Ortalaması ise

240 / 12 = 20

'dir. Buradan

F

değeri

30 / 20 = 1,50

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

A \times B

etkileşiminin serbestlik derecesi hesaplanır.

SD_{AB} = (a-1) \times (b-1) = 2 \times 3 = 6

bulunur.

İki faktörün etkileşim serbestlik derecesi, ana faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

2

Hata varyansının serbestlik derecesi hesaplanır.

SD_{Hata} = Genel SD - SD_A - SD_B - SD_{AB} = 23 - 2 - 3 - 6 = 12

olarak bulunur (veya

a \times b \times (r-1) = 3 \times 4 \times 1 = 12

).

Hata serbestlik derecesini bulmak için genel serbestlik derecesinden modele dâhil olan diğer tüm serbestlik dereceleri çıkarılır.

3

Etkileşim ve Hata bileşenleri için Kareler Ortalaması (KO) değerleri elde edilir.

KO_{AB} = 180 / 6 = 30

ve

KO_{Hata} = 240 / 12 = 20

hesaplanır.

Varyans analizinde Kareler Ortalaması, ilgili bileşenin Kareler Toplamının Serbestlik Derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

Etkileşim için

F

test istatistiği hesaplanır.

F = KO_{AB} / KO_{Hata} = 30 / 20 = 1,50

sonucuna ulaşılır.

Etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için ilgili etkinin kareler ortalaması hata kareler ortalamasına bölünür.

Anahtar Kavram

İki Yönlü Faktöriyel ANOVA Tablosu ve F İstatistiği

Soru 193Soru →

Bir tekstil fabrikasında, $4$ farklı dokuma tezgahından elde edilen kumaşların kopma mukavemetleri arasında anlamlı bir fark olup olmadığını belirlemek amacıyla rastgele seçilen toplam $24$ adet kumaş numunesi test edilmiştir.

Elde edilen verilere uygulanan tek yönlü varyans analizi (ANOVA) sonucunda; Genel Kareler Toplamı $800$ ve Gruplar İçi (Hata) Kareler Toplamı $500$ olarak hesaplanmıştır. Kumaşların kopma mukavemetlerinin normal dağılıma uyduğu ve grup varyanslarının homojen olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde hesaplanan test istatistiği ( $F$ ) değeri ile hipotez testinin sonucu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? (Kritik tablo değeri: $F_{(3; 20; 0,05)} = 3,10$ )

F = 4,00

ve

H_0

reddedilir.

F = 3,00

ve

H_0

reddedilemez.

F = 4,60

ve

H_0

reddedilir.

F = 3,60

ve

H_0

reddedilir.

F = 0,09

ve

H_0

reddedilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $F = 4,00$ ve $H_0$ reddedilir.

Cevap

Hesaplanan test istatistiği

F = 4,00

olup, bu değer kritik tablo değerinden büyük olduğu için

H_0

reddedilir.

Verilen bilgiler ışığında Gruplar Arası Kareler Toplamı

800 - 500 = 300

olarak bulunur. Karesel ortalamaları elde etmek için kareler toplamları serbestlik derecelerine bölünür. Gruplar arası serbestlik derecesi

4 - 1 = 3

, gruplar içi serbestlik derecesi ise

24 - 4 = 20

'dir. Buradan Gruplar Arası Kareler Ortalaması (

MS_B

)

300 / 3 = 100

ve Hata Kareler Ortalaması (

MS_W

)

500 / 20 = 25

elde edilir.

F

istatistiği

100 / 25 = 4,00

olarak hesaplanır.

4,00 > 3,10

olduğu için

H_0

hipotezi reddedilir.

Adım Adım Çözüm

1

Gruplar Arası Kareler Toplamını (

SS_B

) hesapla.

SS_B = SS_T - SS_W = 800 - 500 = 300

Varyans analizinde Genel Kareler Toplamı (

SS_T

), Gruplar Arası (

SS_B

) ve Gruplar İçi (

SS_W

) kareler toplamlarının toplamına eşittir.

2

Serbestlik derecelerini (

sd

) belirle.

Gruplar arası

sd = k - 1 = 4 - 1 = 3

. Gruplar içi

sd = n - k = 24 - 4 = 20

.

Grup sayısı

k=4

, toplam gözlem sayısı

n=24

olarak verilmiştir. Kareler ortalamalarını bulmak için bu serbestlik derecelerine ihtiyaç vardır.

3

Kareler Ortalamalarını (

MS

) hesapla.

Gruplar arası

MS_B = 300 / 3 = 100

. Gruplar içi

MS_W = 500 / 20 = 25

.

Kareler ortalaması, ilgili kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle elde edilir.

4

F

test istatistiğini hesapla ve yorumla.

F = MS_B / MS_W = 100 / 25 = 4,00

.

4,00 > 3,10

olduğundan

H_0

reddedilir.

Hesaplanan

F

değeri, anlamlılık düzeyi için verilen tablo

F

değerinden büyükse, gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğu sonucuna varılır ve yokluk hipotezi (

H_0

) reddedilir.

Anahtar Kavram

Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) Tablosu ve F Testi

Soru 194Soru →

Bir e-ticaret şirketinin pazarlama departmanı, $5$ farklı dijital reklam stratejisinin günlük ortalama satış miktarları üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla rastgele seçilen toplam $35$ günlük satış verisi ile Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) uygulamıştır.
Analiz sonucunda aşağıdaki kısmi ANOVA tablosu elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı (KT)	Serbestlik Derecesi (sd)	Kareler Ortalaması (KO)	$F$ Değeri
Gruplar Arası (Stratejiler)	$400$	?	?	?
Gruplar İçi (Hata)	$600$	?	?
Genel Toplam	$1000$	?

Buna göre, hesaplanan test istatistiği ( $F$ değeri) kaçtır ve $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde tablo değeri $F_{(4; 30; 0,05)} = 2,69$ olduğuna göre H $_0$ hipotezi hakkında hangi karara varılır?

Hesaplanan

F = 4,67

ve H

_0

reddedilir.

Hesaplanan

F = 0,67

ve H

_0

reddedilemez.

Hesaplanan

F = 5,00

ve H

_0

reddedilemez.

Hesaplanan

F = 5,00

ve H

_0

reddedilir.

Hesaplanan

F = 0,20

ve H

_0

reddedilemez.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $F = 5,00$ ve H $_0$ reddedilir.

Cevap

Hesaplanan F değeri 5,00'tir ve tablo değerinden (2,69) büyük olduğu için H0 hipotezi reddedilir. Reklam stratejileri arasında anlamlı bir fark vardır.

Varyans analizi tablosunda eksik değerleri bulmak için öncelikle serbestlik dereceleri (sd) hesaplanmalıdır. 5 strateji olduğu için gruplar arası sd = 5 - 1 = 4, toplam 35 gözlem olduğu için gruplar içi sd = 35 - 5 = 30'dur. Kareler Ortalaması (KO), Kareler Toplamının ilgili sd'ye bölünmesiyle bulunur: Gruplar Arası KO = 400 / 4 = 100 ve Gruplar İçi KO = 600 / 30 = 20'dir. Test istatistiği F = 100 / 20 = 5,00 olarak elde edilir. Hesaplanan F değeri (5,00), tablo kritik değerinden (2,69) büyük olduğu için H0 hipotezi reddedilir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerini hesapla.

Grup sayısı k = 5, toplam gözlem n = 35. Gruplar Arası sd = k - 1 = 4. Gruplar İçi sd = n - k = 30.

Varyans analizi tablosunda Kareler Ortalamalarını bulabilmek için her bir varyans kaynağının kendi serbestlik derecesine bölünmesi gerekir.

2

Kareler Ortalamalarını (Varyansları) hesapla.

Gruplar Arası KO = 400 / 4 = 100. Gruplar İçi KO = 600 / 30 = 20.

F istatistiği, ortalama karelerin birbirine oranlanmasıyla elde edilir.

3

Test İstatistiğini (F değerini) hesapla.

F = Gruplar Arası KO / Gruplar İçi KO = 100 / 20 = 5,00.

Gruplar arasındaki değişkenliğin tesadüfi değişkenliğe (hata) oranını bularak modelin anlamlılığını test etmek için F formülü uygulanır.

4

Karar kuralını işlet ve hipotezi yorumla.

Hesaplanan F = 5,00 değeri, F tablo değeri olan 2,69'dan büyüktür (5,00 > 2,69). H0 hipotezi reddedilir.

Hesaplanan test istatistiği kritik tablo değerini aştığında red bölgesine düşer ve gruplar arası farkın istatistiksel olarak anlamlı olduğu sonucuna varılır.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosu Tamamlama ve Hipotez Testi Yorumlama

Alternatif Yöntem

Kısmi ANOVA tablolarında işlemlerin doğruluğu, Genel Toplam Serbestlik Derecesinin (n-1 = 34) diğer iki serbestlik derecesinin toplamına (4+30=34) eşit olup olmadığı kontrol edilerek teyit edilebilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 195Soru →

Bir tekstil fabrikasında, $5$ farklı iplik boyama formülünün (işlem) kumaşın renk haslığı üzerindeki etkisini karşılaştırmak amacıyla, $4$ farklı kumaş türü (blok) kullanılarak bir rastgele bloklar deney tasarımı planlanmıştır.

Verilerden elde edilen kısmi varyans analizi (ANOVA) tablosu aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (df)	Kareler Toplamı (SS)
Formüller (İşlemler)	?	$144$
Kumaş Türleri (Bloklar)	?	$90$
Hata	?	?
Genel	?	$306$

Buna göre, iplik boyama formüllerinin etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanması gereken F istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3,33

4,80

5,00

6,00

7,50

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6,00

Cevap

Doğru F istatistiği 6,00 değeridir.

Doğru yanıt, rastgele bloklar deney tasarımı varsayımlarına göre varyans analizinin eksiksiz tamamlanmasıyla elde edilen 6,00 değeridir. İşlemlerin anlamlılığını test etmek için İşlem Kareler Ortalaması (MSTr), Hata Kareler Ortalamasına (MSE) oranlanmalıdır. Hata kareler toplamı (SSE), genel kareler toplamından işlem ve blok kareler toplamları çıkarılarak bulunur (

306 - 144 - 90 = 72

). İşlem serbestlik derecesi

5-1=4

ve hata serbestlik derecesi

(5-1)(4-1)=12

'dir. Buradan

MSTr = 144/4=36

ve

MSE = 72/12=6

olarak hesaplanır. İplik boyama formüllerinin (işlemlerin) F istatistiği

36/6=6,00

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen tablo üzerinden işlem ve blok serbestlik derecelerinin hesaplanması

İşlem df =

5 - 1 = 4

ve Blok df =

4 - 1 = 3

olarak bulunur.

İşlem sayısı (

k=5

) ve blok sayısı (

b=4

) kullanılarak serbestlik dereceleri belirlenir.

2

Hata serbestlik derecesi ve hata kareler toplamının (SSE) hesaplanması

Hata df =

4 \times 3 = 12

ve Hata SS =

306 - 144 - 90 = 72

olarak bulunur.

Rastgele bloklar tasarımında hata serbestlik derecesi

(k-1)(b-1)

formülüyle, hata kareler toplamı ise Genel SS'den diğer etkilerin çıkarılmasıyla elde edilir.

3

Kareler ortalamalarının (MS) hesaplanması

İşlem MS =

144 / 4 = 36

ve Hata MS =

72 / 12 = 6

olarak hesaplanır.

Kareler ortalaması, her bir kareler toplamının kendi serbestlik derecesine bölünmesiyle bulunur.

4

İşlemler için F istatistiğinin hesaplanması

F =

36 / 6 = 6,00

olarak elde edilir.

F istatistiği, işlem kareler ortalamasının hata kareler ortalamasına oranlanmasıyla hesaplanır.

Anahtar Kavram

Rastgele Bloklar Deney Tasarımında ANOVA Tablosunun Tamamlanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 196Soru →

Bir kamu kurumu, vatandaşların hizmet memnuniyetini ölçmek amacıyla 4 farklı hizmet kanalı ( $A$ faktörü: Yüz yüze, Telefon, Web, Mobil) ve 5 farklı yaş grubu ( $B$ faktörü) üzerinden bir faktöriyel deney tasarlamıştır. Araştırmada her bir alt grup (gözenek) için rastgele seçilen 3 vatandaş ile çalışılmıştır.

Elde edilen verilere göre oluşturulan iki yönlü varyans analizi (ANOVA) tablosunun bir kısmı aşağıda verilmiştir:

Varyans Kaynağı	Serbestlik Derecesi (SD)	Kareler Toplamı (KT)
Hizmet Kanalı (A)	3	450
Yaş Grubu (B)	4	360
AxB Etkileşimi	-	900
Hata	-	600
Genel	59	2310

Buna göre, $A \times B$ etkileşim etkisinin anlamlılığını test etmek için hesaplanan $F$ test istatistiği değeri aşağıdakilerden hangisidir?

3.0

5.0

6.0

10.0

60.0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5.0

Cevap

5.0

İki yönlü faktöriyel ANOVA'da etkileşim etkisinin

F

test istatistiğini bulmak için öncelikle eksik serbestlik derecelerinin hesaplanması gerekir. Etkileşim serbestlik derecesi (AxB SD), faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımıdır (

3 \times 4 = 12

). Hata serbestlik derecesi ise Genel SD'den diğer tüm SD'lerin çıkarılmasıyla bulunur (

59 - 3 - 4 - 12 = 40

). Kareler ortalamalarını (KO) bulmak için kareler toplamları (KT) serbestlik derecelerine bölünür: AxB KO =

900 / 12 = 75

ve Hata KO =

600 / 40 = 15

. Son adımda etkileşim F değeri hesaplanır:

F = 75 / 15 = 5.0

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Etkileşim serbestlik derecesini hesapla.

AxB SD = A'nın SD

\times

B'nin SD =

3 \times 4 = 12

Faktöriyel tasarımlarda etkileşim serbestlik derecesi, ana faktörlerin serbestlik derecelerinin çarpımına eşittir.

2

Hata serbestlik derecesini bul.

Hata SD = Genel SD - (A SD + B SD + AxB SD) =

59 - (3 + 4 + 12) = 40

Varyans analizinde genel serbestlik derecesi, tüm varyans kaynaklarının serbestlik derecelerinin toplamına eşittir.

3

Etkileşim ve Hata için Kareler Ortalamalarını (KO) hesapla.

AxB KO =

900 / 12 = 75

Hata KO =

600 / 40 = 15

Her bir varyans kaynağının kareler toplamı (KT), ilgili serbestlik derecesine (SD) bölünerek varyans (kareler ortalaması) tahmincisi elde edilir.

4

F test istatistiğini hesapla.

F = \frac{AxB\ KO}{Hata\ KO} = \frac{75}{15} = 5.0

Etkileşim etkisinin istatistiksel anlamlılığı, etkileşim varyansının rastgele hata varyansına oranlanmasıyla test edilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel ANOVA Tablosu ve F İstatistiği

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 197Soru →

Bir endüstri mühendisi, bir üretim sürecindeki ana muamele faktörünün etkisini incelemek amacıyla üç yönlü kısıtlamanın (bloklamanın) yapıldığı bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı kurgulamıştır. Bu deney tasarımına ait varyans analizi (ANOVA) sonucunda, hata (artık) kareler toplamının serbestlik derecesi $24$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu deney tasarımındaki toplam gözlem sayısı ve muamele faktörünün serbestlik derecesi sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

49

ve

6

25

ve

4

49

ve

7

36

ve

5

25

ve

5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $49$ ve $6$

Cevap

Toplam gözlem sayısı

49

ve muamele serbestlik derecesi

6

'dır.

Grek-Latin Karesi deney tasarımında hata serbestlik derecesi

(p-1)(p-3)

formülü ile bulunur. Verilen soruda bu değer

24

'tür.

(p-1)(p-3) = 24

denklemi açıldığında

p^2 - 4p - 21 = 0

elde edilir ve pozitif kök olan

p=7

bulunur. Tasarımdaki toplam gözlem sayısı

p^2 = 49

olarak hesaplanır. Muamele faktörü için serbestlik derecesi ise

p-1 = 6

olur. Bu nedenle doğru eşleşme

49

ve

6

değerleridir.

Adım Adım Çözüm

1

Grek-Latin Karesi deney tasarımı için hata serbestlik derecesi formülünü yaz ve verilen değere eşitle.

(p-1)(p-3) = 24

Bu tasarımda 3 yönlü bloklama yapıldığı için hata serbestlik derecesi, genel serbestlik derecesinden (

p^2-1

) satır, sütun, Grek harfi ve muamele serbestlik derecelerinin (

4(p-1)

) çıkarılmasıyla elde edilir.

2

İkinci dereceden denklemi çözerek

p

(seviye sayısı) değerini bul.

p^2 - 4p + 3 = 24 \Rightarrow p^2 - 4p - 21 = 0 \Rightarrow (p-7)(p+3) = 0 \Rightarrow p = 7

Deney tasarımında seviye sayısı negatif olamayacağı için pozitif kök olan

7

değeri kabul edilir.

3

Bulunan

p

değerini kullanarak toplam gözlem sayısını hesapla.

p^2 = 7^2 = 49

Grek-Latin Karesi tasarımında toplam deney (gözlem) sayısı seviye sayısının karesine eşittir.

4

Bulunan

p

değerini kullanarak muamele faktörünün serbestlik derecesini hesapla.

p - 1 = 7 - 1 = 6

Tasarımda her bir faktörün (muamele ve bloklar) serbestlik derecesi seviye sayısının bir eksiği kadardır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Tasarımında Serbestlik Dereceleri

Soru 198Soru →

Bir yazılım şirketi, yeni tasarlanan bir mobil uygulamanın farklı arayüz versiyonlarının (muamele faktörü) kullanıcıların uygulamada kalma süreleri üzerindeki etkisini incelemektedir. Kullanıcı kitlesindeki dışsal değişkenliği kontrol altına almak amacıyla "Kullanıcı Yaş Grubu", "Cihaz Türü" ve "Günün Saat Dilimi" olmak üzere üç farklı blok faktörünün eş zamanlı değerlendirildiği bir Grek-Latin Karesi deney tasarımı kurulmuştur.

Kurulan bu tasarımda dengeli bir yapı oluşturulmuş ve toplam $64$ adet gözlem değeri elde edilmiştir.

Buna göre, bu deney tasarımına ait varyans analizi (ANOVA) tablosunda hata (artık) serbestlik derecesi kaçtır?

28

35

42

49

63

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $35$

Cevap

35

Grek-Latin Karesi deney tasarımında; satır, sütun ve Grek harfleri olmak üzere üç farklı blok faktörü (üç yönlü kısıtlama) ile bir muamele faktörü incelenir. Tasarımın dengeleme (ortogonallik) şartı gereği tüm faktörler aynı

p

seviye sayısına sahip olmalıdır ve toplam gözlem sayısı

p^2

kadardır. Soruda verilen

64

gözlem, faktör seviye sayısının

p=8

olduğunu gösterir. Bu tasarımın ANOVA modelinde hata (artık) serbestlik derecesi

df_{hata} = (p-1)(p-3)

eşitliği ile bulunur. Buna göre hata serbestlik derecesi

(8-1)(8-3) = 7 \times 5 = 35

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam gözlem sayısından faktör seviye sayısını (

p

) belirle.

Grek-Latin Karesi tasarımında toplam gözlem sayısı

p^2

'dir.

p^2 = 64 \implies p = 8

olarak bulunur.

Tasarımın tüm faktörleri (satır, sütun, grek harfi, muamele) eşit

p

seviyesine sahip olmak zorundadır.

2

Tasarımın içerdiği kısıtlama sayısını ve hata serbestlik derecesi formülünü belirle.

Tasarım üç yönlü kısıtlama içerdiğinden (Grek-Latin Karesi), hata serbestlik derecesi formülü

(p-1)(p-3)

'tür.

Varyans analizi tablosunda genel serbestlik derecesinden (

p^2-1

), dört ana etkinin serbestlik dereceleri (

4 \times (p-1)

) çıkarıldığında hata terimine

(p-1)(p-3)

kalır.

3

Formülde

p=8

değerini yerine koyarak hesaplamayı tamamla.

df_{hata} = (8-1)(8-3) = 7 \times 5 = 35

elde edilir.

Hata serbestlik derecesinin doğru belirlenmesi, F-istatistiğinin hesaplanması ve hipotez testlerinin güvenilirliği için şarttır.

Anahtar Kavram

Grek-Latin Karesi Deney Tasarımında Serbestlik Derecesi Hesaplamaları

Soru 199Soru →

Bir araştırmacı, 4 farklı eğitim yönteminin çalışanların performans puanları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla toplam 24 çalışanı rastgele 4 gruba ayırarak tek yönlü varyans analizi (ANOVA) uygulamıştır. Yapılan analiz sonucunda aşağıdaki kısmi ANOVA tablosu elde edilmiştir:

Varyans Kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması	F Değeri
Gruplar Arası	180	-	-	-
Gruplar İçi	-	-	-
Toplam	480	-

Tablo kritik değeri $F_{(3, 20, 0,05)} = 3,10$ olarak verilmiştir.

Buna göre, testin hesaplanan F istatistiği değeri, $\alpha = 0,05$ anlamlılık düzeyinde $H_0$ hipotezine ilişkin karar ve varyansların homojenliği varsayımının ihlali durumunda analizin geçerliliği ile ilgili doğru ifade aşağıdakilerden hangisinde birlikte verilmiştir?

F = 4,00 ;

H_0

reddedilir ; Varyans homojenliği ihlal edilirse ANOVA sonuçları güvenilirliğini yitirir, Welch ANOVA veya Kruskal-Wallis gibi alternatifler değerlendirilmelidir.

F = 3,00 ;

H_0

reddedilemez ; F testi varyans homojenliğine karşı her zaman dirençli olduğundan analizin geçerliliği etkilenmez.

F = 4,00 ;

H_0

reddedilemez ; Varyans homojenliği ihlal edilirse parametrik olmayan Wilcoxon işaretli sıralar testi uygulanmalıdır.

F = 4,60 ;

H_0

reddedilir ; Varyans homojenliği ihlal edilirse gruplar birleştirilerek bağımlı örneklem t-testine geçilmelidir.

F = 0,60 ;

H_0

reddedilemez ; ANOVA varyansların heterojenliğinden etkilenmez, yalnızca normallik ihlalinde alternatif testler aranır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: F = 4,00 ; $H_0$ reddedilir ; Varyans homojenliği ihlal edilirse ANOVA sonuçları güvenilirliğini yitirir, Welch ANOVA veya Kruskal-Wallis gibi alternatifler değerlendirilmelidir.

Cevap

Hesaplanan F değeri 4,00'tür ve

H_0

hipotezi reddedilir. Varsayım ihlalinde Kruskal-Wallis veya Welch ANOVA kullanılmalıdır.

Doğru seçenekte belirtilen F=4,00 değeri, (180/3) / (300/20) işlemi ile doğru hesaplanmıştır. 4,00 > 3,10 olduğundan

H_0

hipotezinin reddedilmesi mantıken doğrudur. Ayrıca varyans analizi varyansların homojenliği varsayımına duyarlıdır; ihlal durumunda Kruskal-Wallis veya Welch ANOVA uygulanması gerektiği bilgisi teorik olarak eksiksizdir.

Adım Adım Çözüm

1

Serbestlik derecelerinin hesaplanması

Grup sayısı k=4, Toplam gözlem n=24. Gruplar arası SD = 4-1 = 3. Gruplar içi SD = 24-4 = 20.

Kareler ortalamasını bulmak için kareler toplamlarının serbestlik derecelerine bölünmesi gerekir.

2

Gruplar içi kareler toplamının bulunması

GİKT = Toplam KT - Gruplar Arası KT = 480 - 180 = 300.

Varyans analizi temel eşitliğine göre Genel KT = Gruplar Arası KT + Gruplar İçi KT'dir.

3

Kareler ortalamalarının hesaplanması

Gruplar Arası Kareler Ortalaması = 180 / 3 = 60. Gruplar İçi Kareler Ortalaması = 300 / 20 = 15.

F istatistiği, gruplar arası ve gruplar içi varyans tahminlerinin birbirine oranıdır.

4

F istatistiğinin hesaplanması ve karar verilmesi

F = 60 / 15 = 4,00. Bulunan F değeri (4,00) > Kritik tablo değeri (3,10) olduğu için H0 reddedilir.

Hesaplanan istatistik kritik değeri aştığında gruplar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark olduğuna karar verilir.

5

Varsayım ihlalinin değerlendirilmesi

Varyans homojenliği sağlanmadığında Welch ANOVA veya parametrik olmayan Kruskal-Wallis testine geçilmelidir.

ANOVA modeli grup varyanslarının eşit olduğu varsayımına dayanır; bu ihlal edildiğinde I. Tip hata olasılığı artar.

Anahtar Kavram

ANOVA Tablosunun Tamamlanması ve Varsayım İhlalleri

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 200Soru →

Bir endüstriyel fırınlama işleminde, fırın sıcaklığı (A faktörü) değiştirmesi zor bir değişken olduğundan ana parsel, fırınlama süresi (B faktörü) ise değiştirmesi kolay bir değişken olduğundan alt parsel olarak belirlenmiş ve Rastgele Bloklar Tasarımına dayalı Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Deneyi kurgulanmıştır.

Analiz sonucunda elde edilen ANOVA tablosunun bazı kısımları tahrip olmuştur. Okunabilen verilere göre:
- Deneydeki toplam gözlem sayısı $48$ 'dir.
- Blok faktörüne ait serbestlik derecesi $3$ 'tür.
- A ve B faktörlerinin etkileşimine ( $A \times B$ ) ait serbestlik derecesi $6$ 'dır.
- Ana parsel hata teriminin (Hata A) serbestlik derecesi, B faktörünün serbestlik derecesinden $3$ fazladır.
- A faktörünün kareler toplamı ( $KT_A$ ) $360$ 'tır.
- B faktörünün kareler toplamı ( $KT_B$ ) $150$ 'dir.
- Hata A kareler toplamı ( $KT_{\text{Hata A}}$ ) $120$ ve Hata B kareler toplamı ( $KT_{\text{Hata B}}$ ) $270$ 'tir.

Buna göre, A ve B faktörlerinin temel etkilerini test etmek için hesaplanması gereken $F_A$ ve $F_B$ test istatistiklerinin değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

9.00

ve

5.00

18.00

ve

5.00

18.00

ve

2.50

6.00

ve

3.75

3.00

ve

0.56

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $9.00$ ve $5.00$

Cevap

Doğru değerler sırasıyla

9.00

ve

5.00

'dır.

Bölünmüş parseller deney tasarımında F istatistikleri hesaplanırken her faktör kendi hata terimiyle test edilmelidir. Ana parsel faktörü olan A için

F_A = KO_A / KO_{\text{Hata A}}

, alt parsel faktörü olan B için ise

F_B = KO_B / KO_{\text{Hata B}}

kullanılır. Verilen bilgilerden hareketle denklem sistemi çözüldüğünde

a=3

,

b=4

bulunur. Buradan serbestlik dereceleri (

df_A=2, df_{\text{Hata A}}=6, df_B=3, df_{\text{Hata B}}=27

) hesaplanarak kareler ortalamaları (

KO_A=180, KO_{\text{Hata A}}=20, KO_B=50, KO_{\text{Hata B}}=10

) elde edilir. F istatistikleri ise

F_A=180/20=9.00

ve

F_B=50/10=5.00

olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Blok, etkileşim ve toplam gözlem sayısı formüllerini kullanarak faktör seviyelerini bulma

r = 4

,

a = 3

,

b = 4

N = r \cdot a \cdot b = 48

ve

df_{\text{Blok}} = r - 1 = 3 \implies r = 4

. Etkileşim serbestlik derecesi:

(a-1)(b-1) = 6

. Verilen denklem:

df_{\text{Hata A}} = df_B + 3 \implies 3(a-1) = (b-1) + 3 \implies 3a - b = 5

. Toplam gözlemden elde edilen

4ab=48 \implies ab=12

. Bu denklem sistemi çözüldüğünde

a=3

ve

b=4

elde edilir.

2

Serbestlik derecelerinin (sd) hesaplanması

df_A = 2

,

df_B = 3

,

df_{\text{Hata A}} = 6

,

df_{\text{Hata B}} = 27

df_A = a - 1 = 2

,

df_B = b - 1 = 3

. Hata A serbestlik derecesi:

(r-1)(a-1) = 3 \times 2 = 6

. Hata B serbestlik derecesi:

a(r-1)(b-1) = 3 \times 3 \times 3 = 27

.

3

Kareler ortalamalarının (KO) hesaplanması

KO_A = 180

,

KO_B = 50

,

KO_{\text{Hata A}} = 20

,

KO_{\text{Hata B}} = 10

KO = KT / df

formülünden:

KO_A = 360 / 2 = 180

,

KO_B = 150 / 3 = 50

,

KO_{\text{Hata A}} = 120 / 6 = 20

,

KO_{\text{Hata B}} = 270 / 27 = 10

.

4

F test istatistiklerinin bölünmüş parseller tasarımına uygun olarak hesaplanması

F_A = 9.00

ve

F_B = 5.00

Bölünmüş parseller tasarımında A faktörü (ana parsel) Hata A ile (

F_A = KO_A / KO_{\text{Hata A}} = 180 / 20 = 9.00

), B faktörü (alt parsel) ise Hata B ile (

F_B = KO_B / KO_{\text{Hata B}} = 50 / 10 = 5.00

) test edilir.

Anahtar Kavram

Bölünmüş Parseller (Split-Plot) Tasarımında Hata Terimleri ve F İstatistiği

Deney Tasarımı ve Varyans Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm