Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4 \int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4

\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

A
8
B
15
30Cevap
D
4
E
60

Cevap

İntegral içerisinde

u = x^2+x

dönüşümü yapıldığında

du = (2x+1) \, dx

elde edilir. İntegralin başındaki

4x+2

ifadesi

2(2x+1)

olarak yazılabildiğinden integral

2 f(u) \, du

şekline dönüşür. Belirli integral sınırları

x=0

için

u=0

x=2

için

u=6

olarak güncellenir. Böylece integral

2 \int_{0}^{6} f(u) \, du

halini alır. Soruda verilen

\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15

eşitliği yerine yazıldığında doğru yanıt 30 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

İntegrali alınacak ifadeyi değişken değiştirme yöntemine uygun hale getirmek için düzenleyelim.

\int_{0}^{2} (4x+2) f(x^2+x) \, dx = \int_{0}^{2} 2(2x+1) f(x^2+x) \, dx

x^2+x

ifadesinin türevi olan

2x+1

terimini belirginleştirmek için ifadeyi 2 parantezine alırız.

u = x^2+x

dönüşümü uygulayalım ve her iki tarafın diferansiyelini alalım.

du = (2x+1) \, dx \implies 2 \, du = 2(2x+1) \, dx

İntegraldeki değişkenleri ve diferansiyel terimini yeni değişken olan

u

cinsinden yazabilmek için.

Belirli integralin sınırlarını yeni değişken

u

'ya göre güncelleyelim.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 0 = 0

Üst sınır için:

x = 2 \implies u = 2^2 + 2 = 6

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.

Elde ettiğimiz yeni sınırları ve diferansiyel ifadelerini integralde yerine yazalım.

\int_{0}^{6} 2 f(u) \, du = 2 \int_{0}^{6} f(u) \, du

İntegrali, değeri soruda verilen bilinen integral biçimine dönüştürmek için.

Soruda verilen bilinen integral değerini yerine yazarak sonucu hesaplayalım.

\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 15 \implies 2 \times 15 = 30

İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisinin doğru kurulması gerekir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru