Examkin

İntegral ve Uygulamaları

279 soru

Tüm türler279Çoktan seçmeli211Doğru / Yanlış10Sayısal46Eşleştirme12
Soru 1Soru →
∫01(2x+1)(x2+x+1)2 dx\int_{0}^{1} (2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 263\frac{26}{3}

Cevap

İntegralin doğru değeri 263\frac{26}{3} olarak bulunur.
Doğru cevap olan 263\frac{26}{3} değeri, u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapılarak sınırların 11 ve 33 olarak güncellenmesi ve integralin kurallara uygun olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x2+x+1u = x^2 + x + 1 dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=(2x+1) dxdu = (2x + 1) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki (2x+1) dx(2x + 1) \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+0+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 0 + 1 = 1
Üst sınır için: x=1  ⟹  u=12+1+1=3x = 1 \implies u = 1^2 + 1 + 1 = 3
İntegral değişkeni xx yerine uu olduğunda, sınırların da uu değişkenine uygun hale getirilmesi gerekir.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
∫13u2 du=[u33]13=333−133=9−13=263\int_{1}^{3} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralı uygulanır ve sınırlar yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Soru 2Soru →

[a,b][a, b] kapalı aralığında tanımlı, sürekli ve sürekli artan bir f(x)f(x) fonksiyonunun bu aralıktaki herhangi bir bölüntüsüne ait Riemann alt toplamı, ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx belirli integralinin değerinden her zaman küçüktür.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Sürekli ve sürekli artan bir fonksiyonun Riemann alt toplamı, belirli integral değerinden her zaman küçüktür.
Sürekli ve artan fonksiyonlarda alt aralıklardaki en küçük değerler sol uç noktalarda alınır ve bu noktalarla oluşturulan dikdörtgenlerin alanları toplamı eğrinin altında kalarak integral değerinden küçük olur.

Adım Adım Çözüm

1
Riemann alt toplamının tanımını ve dikdörtgenlerin yüksekliklerini belirleyin.
Riemann alt toplamı oluşturulurken, her alt aralıktaki minimum fonksiyon değeri yükseklik olarak alınır.
Fonksiyon sürekli artan olduğundan, her [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer sol uç nokta olan f(xi−1)f(x_{i-1}) değeridir.
2
Riemann alt toplamı ile belirli integralin geometrik anlamını karşılaştırın.
Riemann alt toplamını temsil eden dikdörtgenlerin tamamı, y=f(x)y = f(x) eğrisinin altında kalır.
Her alt aralıkta f(xi−1)<f(x)f(x_{i-1}) < f(x) (sol uç hariç) olduğundan, dikdörtgenlerin alanları toplamı, eğri altında kalan alandan (yani belirli integralden) kesinlikle küçük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Artan fonksiyonlarda Riemann alt toplamı ile belirli integral arasındaki büyüklük ilişkisi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →
x≠1x \neq 1 olmak üzere,
∫x3−xx−1 dx\int \frac{x^3 - x}{x - 1} \, dx
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C

Cevap

İntegralin eşiti x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C ifadesidir.
İntegral içindeki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde x2+xx^2 + x elde edilir. Bu ifadenin terim terim integrali alındığında x33+x22+C\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki rasyonel ifadenin payını çarpanlarına ayırarak sadeleştirin.
x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1) olduğundan, x≠1x \neq 1 için x3−xx−1=x(x+1)=x2+x\frac{x^3 - x}{x - 1} = x(x + 1) = x^2 + x elde edilir.
İntegrali daha kolay hesaplayabilmek için ifadeyi polinom durumuna getirmek gerekir.
2
Elde edilen polinom ifadesinin belirsiz integralini hesaplayın.
∫(x2+x) dx=x33+x22+C\int (x^2 + x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C
Belirsiz integral alma kurallarına göre her terimin üssü 1 artırılır ve yeni üsse bölünür, ardından integral sabiti (C) eklenir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi
Soru 4Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+5xf(x) = -x^2 + 5x ve g(x)=x2−xg(x) = x^2 - x parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İki parabolün sın��rladığı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
Parabollerin kesişim noktaları x=0x = 0 ve x=3x = 3 olarak bulunur. Bu sınırlar arasında f(x)−g(x)=−2x2+6xf(x) - g(x) = -2x^2 + 6x ifadesinin belirli integrali alındığında alan 9 birimkare çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarının belirlenmesi
x=0x = 0 ve x=3x = 3
Entegrasyon sınırlarını belirlemek amacıyla iki parabol denklemi ortak çözülür.
2
İntegral ifadesinin kurulması ve hesaplanması
∫03(−2x2+6x) dx=9\int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx = 9
Belirlenen sınırlar arasında ��stteki eğriden alttaki eğri çıkarılarak belirli integral hesaplanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması
Soru 5Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=(x−1)2−4f(x) = (x-1)^2 - 4 parabolü ile koordinat eksenlerinin dördüncü bölgede sınırladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

9
Dördüncü bölgede parabol x-ekseninin altında yer aldığından, alan değeri integralin negatif işaretlisine eşittir. Parabolün eksenleri kestiği noktalar (0,−3)(0, -3) ve (3,0)(3, 0) olduğundan sınırlar 00 ile 33 arasındadır. İntegral hesaplandığında alan 9 birimkare olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları bulalım.
y-eksenini kestiği nokta için x=0  ⟹  f(0)=(0−1)2−4=−3x = 0 \implies f(0) = (0-1)^2 - 4 = -3. x-eksenini kestiği pozitif nokta için f(x)=0  ⟹  (x−1)2=4  ⟹  x−1=2  ⟹  x=3f(x) = 0 \implies (x-1)^2 = 4 \implies x-1 = 2 \implies x = 3 bulunur.
Dördüncü bölgedeki bölgenin sınırlarını (integral sınırlarını) belirlemek için kesim noktaları gereklidir.
2
İntegral sınırlarını belirleyerek alan ifadesini yazalım.
Dördüncü bölgede xx değerleri 00 ile 33 arasındadır ve bu aralıkta parabol grafiği x-ekseninin altındadır (f(x)≤0f(x) \leq 0). Bu nedenle alan: A=∫03−f(x) dx=∫03(4−(x−1)2) dxA = \int_0^3 -f(x) \, dx = \int_0^3 (4 - (x-1)^2) \, dx şeklinde ifade edilir.
x-ekseninin altında kalan bölgelerin alanı hesaplanırken integral değerinin önüne eksi işareti konulur.
3
İntegral işlemini gerçekleştirelim.
A=[4x−(x−1)33]03A = \left[ 4x - \frac{(x-1)^3}{3} \right]_0^3 olur. Sınırları yerine yazarsak: A=(4(3)−(3−1)33)−(4(0)−(0−1)33)=(12−83)−(0−−13)=12−83−13=12−3=9A = \left( 4(3) - \frac{(3-1)^3}{3} \right) - \left( 4(0) - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \left( 12 - \frac{8}{3} \right) - \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = 12 - \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = 12 - 3 = 9 birimkare bulunur.
Belirli integralin hesaplanmasıyla aranan alan değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

x-ekseninin altında kalan bir eğrinin sınırlandırdığı bölgenin alanı, o aralıktaki belirli integralin negatif işaretlisine eşittir.
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)) dx=x4−2x3+5x2+C\int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) \, dx = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C
eşitliği veriliyor.

Buna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

8
Verilen integral ifadesinin içi, (x2⋅f(x))(x^2 \cdot f(x)) ifadesinin türevidir. Bu sebeple integral dışına x2⋅f(x)+C1x^2 \cdot f(x) + C_1 olarak çıkar. Eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyle eşleştirildiğinde, f(x)f(x) fonksiyonunun tüm gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için sabit terimler farkının sıfır olması gerekir. Buradan f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonuna ulaşılır. Bu fonksiyonda değişken yerine 3 yazıldığında sonuç 8 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadeyi analiz etmek ve çarpım türevi biçiminde yazmak.
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)=(x2⋅f(x))′2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) = (x^2 \cdot f(x))' eşitliği görülür.
Çarpım türevi kuralına göre, birinci terimin türevi çarpı ikinci artı ikinci terimin türevi çarpı birinci ifadesi (x2⋅f(x))′(x^2 \cdot f(x))' türevine eşittir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki belirsiz integrali hesaplamak ve integral sabitlerini düzenlemek.
x2⋅f(x)+C1=x4−2x3+5x2+C  ⟹  x2⋅f(x)=x4−2x3+5x2+Kx^2 \cdot f(x) + C_1 = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + C \implies x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 + K (burada K=C−C1K = C - C_1 gerçel sayısıdır) elde edilir.
Türevi bilinen bir ifadenin belirsiz integrali, kendisi ile bir integral sabitinin toplamına eşittir.
3
Fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde tanımlı olma koşulunu kullanarak integral sabitini bulmak.
x=0x = 0 için sol taraf sıfır olduğundan sağ tarafın da sıfır olması gerekir. Buradan K=0K = 0 bulunur. Dolayısıyla x2⋅f(x)=x4−2x3+5x2x^2 \cdot f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 elde edilir.
ff fonksiyonu gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli olduğundan, f(x)=x2−2x+5+Kx2f(x) = x^2 - 2x + 5 + \frac{K}{x^2} ifadesinde limitin bulunabilmesi için K=0K = 0 olmalıdır.
4
f(x)f(x) fonksiyonunu yalnız bırakarak f(3)f(3) değerini hesaplamak.
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 olur. Buradan f(3)=32−2(3)+5=9−6+5=8f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 9 - 6 + 5 = 8 bulunur.
Her iki taraf x2x^2 ifadesine bölünerek genel fonksiyon kuralı elde edilir ve istenen değer yerine yazılır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpım türevi integrali
Soru 7Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫1xf(t) dt+∫14−xf(t) dt=x2−4x+10\int_{1}^{x} f(t) \, dt + \int_{1}^{4-x} f(t) \, dt = x^2 - 4x + 10
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen integralin değeri 4'tür.
Verilen denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=2x=2 değerleri yazılarak ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7 ve ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3 değerleri elde edilir. Ardından, integralin aralık bölme özelliği olan ∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx eşitliği kullanılarak istenen integralin değeri 7−3=47 - 3 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte x=3x = 3 yazarak ∫13f(t) dt\int_{1}^{3} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫13f(t) dt+∫11f(t) dt=32−4(3)+10  ⟹  ∫13f(t) dt+0=7  ⟹  ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt + \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 3^2 - 4(3) + 10 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt + 0 = 7 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7
x=3x = 3 yazıldığında ikinci integralin sınırları 1'den 1'e olacağı için değeri belirli integralin özelliği gereği 0 olur.
2
Eşitlikte x=2x = 2 yazarak ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫12f(t) dt+∫12f(t) dt=22−4(2)+10  ⟹  2∫12f(t) dt=6  ⟹  ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 2^2 - 4(2) + 10 \implies 2 \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3
x=2x = 2 yazıldığında her iki integral de ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt haline gelir.
3
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak istenen aralıktaki integrali hesaplamak.
∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx  ⟹  7=3+∫23f(x) dx  ⟹  ∫23f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies 7 = 3 + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4
[1,3][1, 3] aralığındaki belirli integral, [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki integrallerin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların parçalanması özelliği ve alt-üst sınırları eşit olan belirli integralin değerinin sıfır olması.
Soru 8Soru →

Aşağıda dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde tanımlanan bazı sınırlı bölgelerin sözel açıklamaları ile bu bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Sol sütundaki alan tanımlarını, sağ sütundaki doğru integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=x3y = x^3 eğrisi arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=6−x2y = 6 - x^2 parabolü, y=xy = x doğrusu ve yy ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde; y=x2y = x^2 parabolü, y=2−xy = 2 - x doğrusu ve xx ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci alan tanımı birinci integral gösterimiyle, ikinci alan tanımı ikinci integral gösterimiyle, üçüncü alan tanımı ise üçüncü integral gösterimiyle eşleşir.
Tüm alan tanımları, kesişim noktaları ve sınır koşulları incelenerek doğru belirli integral ifadeleriyle birebir eşleşmektedir. Birinci bölge xx eksenine göre, ikinci bölge xx eksenine göre, üçüncü bölge ise yy eksenine göre entegre edilerek alan ifadeleri elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
y=xy = \sqrt{x} ve y=x3y = x^3 eğrilerinin kesişim noktalarını bulma.
x=0x = 0 ve x=1x = 1 sınır değerleri
x=x3  ⟹  x=x6  ⟹  x(x5−1)=0\sqrt{x} = x^3 \implies x = x^6 \implies x(x^5 - 1) = 0 denkleminden x=0x = 0 ve x=1x = 1 bulunur.
2
y=6−x2y = 6 - x^2 parabolü ve y=xy = x doğrusunun kesişim noktasını bulma.
x=2x = 2 sınır değeri (birinci bölgede)
6−x2=x  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=06 - x^2 = x \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 denkleminden birinci bölgedeki kesişim noktası x=2x = 2 olarak elde edilir.
3
y=x2y = x^2 parabolü ile y=2−xy = 2 - x doğrusunun kesişim noktasını ve yy sınırlarını belirleme.
y=1y = 1 üst sınır değeri
x2=2−x  ⟹  x2+x−2=0  ⟹  (x+2)(x−1)=0x^2 = 2 - x \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1) = 0 denkleminden kesişim noktası x=1x = 1 ve bu noktadaki yy değeri y=12=1y = 1^2 = 1 olarak bulunur. Eksenlerle sınırlı bölge y=0y = 0 ile y=1y = 1 arasındadır.
4
Üçüncü bölgeyi yy değişkenine göre entegre etmek üzere xx değişkenini yalnız bırakarak formüle etme.
Alan = ∫01(2−y−y) dy\int_0^1 (2 - y - \sqrt{y}) \, dy
Parabol denklemi x=yx = \sqrt{y} ve doğru denklemi x=2−yx = 2 - y şeklindedir. Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkarılarak yy eksenine göre integral alınır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan bölgenin alanının belirli integral yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 9Soru →

ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur.

∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(x2) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫49f(x) dx\int_{4}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen ikinci integralde yapılan değişken değiştirme ile elde edilen ∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 değeri, aralık bölme özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral değeri olan 8 ile toplanır ve buradan ∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yapılması
u=x2u = x^2 dönüşümü ile x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x2x^2 ifadesini tek bir değişkene indirgeyerek bilinen belirli integral özelliklerini uygulayabilmek için.
2
Değişken değiştirmeye göre integral sınırlarının güncellenmesi
Yeni integral sınırları alt sınır için u=1u = 1, üst sınır için u=9u = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, entegrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerektiği için.
3
Elde edilen integralin değerinin hesaplanması
∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Değişken değiştirme sonucunda elde edilen 12∫19f(u) du=10\frac{1}{2} \int_{1}^{9} f(u) \, du = 10 eşitliğinden yararlanarak.
4
Aralık bölme özelliği yardımıyla istenen integralin bulunması
∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
[1,9][1, 9] aralığındaki integralin [1,4][1, 4] ve [4,9][4, 9] aralıklarındaki integrallerin toplamına eşit olması özelliğinden faydalanarak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri.
Soru 10Soru →

Dik koordinat düzleminde sınırları verilen bazı kapalı bölgeler sol sütunda, bu bölgelerin alanların�� veren belirli integral ifadeleri ise sağ sütunda yer almaktadır.

Buna göre, sol sütundaki bölgeleri sağ sütundaki uygun integral ifadeleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 parabolü ile y=2xy = 2x doğrusu arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 parabolü ile y=xy = \sqrt{x} eğrisi arasında kalan sınırlı bölge
y=x2y = x^2 ve y=8−x2y = 8 - x^2 parabolleri ile yy-ekseni arasında kalan sınırlı bölge (x≥0x \ge 0)

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Birinci bölge ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx integrali ile, ikinci bölge ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx integrali ile ve üçüncü bölge ∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir bölge için kesişim noktaları bulunarak integral sınırları belirlenmiş, ardından üstte kalan eğriden altta kalan eğri çıkarılarak doğru integral ifadeleriyle eşleştirme yapılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bularak entegrasyon sınırlarını belirleyin.
Birinci bölge için x2=2x  ⟹  x=0x^2 = 2x \implies x = 0 ve x=2x = 2. İkinci bölge için x2=x  ⟹  x=0x^2 = \sqrt{x} \implies x = 0 ve x=1x = 1. Üçüncü bölge için x2=8−x2  ⟹  x=2x^2 = 8 - x^2 \implies x = 2 (x≥0x \ge 0 için) ve sol sınır yy-ekseni olduğundan x=0x = 0.
Belirli integral sınırları, iki eğri arasında kalan alanın sınırlandığı x değerlerini tanımlar.
2
Hangi eğrinin üstte hangisinin altta olduğunu belirleyin.
[0,2][0,2] aralığında 2x≥x22x \ge x^2, [0,1][0,1] aralığında x≥x2\sqrt{x} \ge x^2 ve [0,2][0,2] aralığında 8−x2≥x28 - x^2 \ge x^2 olur.
Alan her zaman pozitif olmalıdır, bu yüzden üstteki eğrinin denkleminden alttaki eğrinin denklemi çıkarılır.
3
Her bölge için alan integralini yazın.
Sırasıyla ∫02(2x−x2) dx\int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx, ∫01(x−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx ve ∫02((8−x2)−x2) dx=∫02(8−2x2) dx\int_{0}^{2} ((8-x^2)-x^2) \, dx = \int_{0}^{2} (8 - 2x^2) \, dx.
Alan formülü ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx şeklinde uygulanır.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin alanını belirli integral yardımıyla ifade etme
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx+∫25f(x−1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{2}^{5} f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Toplamın değeri 12 olarak elde edilir.
Belirli integrallerde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=x−1v = x - 1 dönüşümleri yapıldığında, her iki integral de [1,4][1, 4] aralığındaki ff integraline dönüşür. Sınırların güncellenmesiyle ilk integral 12∫14f(u) du=4\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 4 ve ikinci integral ∫14f(v) dv=8\int_{1}^{4} f(v) \, dv = 8 olur. Bu iki değerin toplamından doğru cevap 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=1x = 1 için u=12=1u = 1^2 = 1 ve x=2x = 2 için u=22=4u = 2^2 = 4 olur.
Değişkeni ve sınırları yeni uu değişkenine göre ifade etmek için.
2
Bulduğumuz değerleri ilk integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫12x⋅f(x2) dx=∫14f(u)⋅du2=12∫14f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri 12⋅8=4\frac{1}{2} \cdot 8 = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde değişkenin adının sonucu değiştirmemesi özelliğini kullanmak için.
3
İkinci integral olan ∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx ifadesinde v=x−1v = x - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=2x = 2 için v=2−1=1v = 2 - 1 = 1 ve x=5x = 5 için v=5−1=4v = 5 - 1 = 4 olur.
İntegrali verilen temel f(x)f(x) integraline benzetmek için.
4
Bulduğumuz değerleri ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫25f(x−1) dx=∫14f(v) dv\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{4} f(v) \, dv olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri de 88 olarak bulunur.
Yatay öteleme sonrası sınırları güncellenen integralin değerini bulmak için.
5
İki integralin elde edilen değerlerini toplayalım.
4+8=124 + 8 = 12 elde edilir.
Soruda istenen toplam integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →
∫0112x2(x3+1)3 dx\int_{0}^{1} 12x^2 (x^3 + 1)^3 \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Dönüşüm sonrasında integral sınırları 1 ve 2 olarak güncellenir. İntegral içi ise 4u³ du ifadesine eşit olur. Bu ifadenin integrali alındığında u⁴ elde edilir ve sınırlar yerine konulduğunda 16 - 1 = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümünü belirleme
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir. Buradan 12x2 dx=4 du12x^2 \, dx = 4 \, du bulunur.
İntegrali daha basit bir biçimde ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 yazıldığında u=03+1=1u = 0^3 + 1 = 1 elde edilir. Üst sınır için x=1x = 1 yaz��ldığında u=13+1=2u = 1^3 + 1 = 2 elde edilir.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Yeni integrali oluşturma ve hesaplama
∫124u3 du=[u4]12=24−14=16−1=15\int_{1}^{2} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_{1}^{2} = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral u değişkenine göre entegre edilerek belirli integral kurallarına göre hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak sınırların güncellenmesi ve integralin hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →

Aşağıda, dik koordinat düzleminde sınırları verilen bölgelerin alanlarını ifade eden belirli integral gösterimleri verilmiştir. Bölgeleri, bu alanları doğru şekilde ifade eden integral gösterimleriyle eşleştiriniz.

Soldaki öğeye tıklayın, sonra eşleşen sağdaki öğeye tıklayın

Öğeler

y=x2y = x^2 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=xy = \sqrt{x} eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında kalan sınırlı bölgenin alanı
y=x3y = x^3 eğrisi ile y=xy = x doğrusu arasında, birinci bölgede (x≥0x \ge 0) kalan sınırlı bölgenin alanı

Eşleşmeler

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

y=x2y = x^2 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx integrali ile, y=xy = \sqrt{x} ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx integrali ile ve birinci bölgedeki y=x3y = x^3 ve y=xy = x eğrileri arasındaki alan ise ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx integrali ile eşleşir.
Verilen her bir eğri çifti için öncelikle kesişim noktaları bulunarak entegrasyon sınırları belirlenir. Ardından, ilgili aralıkta hangi fonksiyonun grafiğinin daha üstte olduğu belirlenerek üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılır. Bu doğrultuda, y=x2y=x^2 ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2 olduğundan alan ∫01(x−x2)dx\int_0^1 (x-x^2)dx olur. y=xy=\sqrt{x} ve y=xy=x için [0,1][0,1] aralığında x≥x\sqrt{x} \ge x olduğundan alan ∫01(x−x)dx\int_0^1 (\sqrt{x}-x)dx olur. Birinci bölgede y=x3y=x^3 ve y=xy=x için ise [0,1][0,1] aralığında x≥x3x \ge x^3 olduğundan alan ∫01(x−x3)dx\int_0^1 (x-x^3)dx olarak ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulunuz.
x2=x  ⟹  x=0,1x^2 = x \implies x=0, 1; x=x  ⟹  x=0,1\sqrt{x} = x \implies x=0, 1; x3=x  ⟹  x=0,1x^3 = x \implies x=0, 1 (birinci bölgede). Tüm eğri çiftleri için entegrasyon sınırları [0,1][0,1] olarak belirlenir.
İki eğri arasında kalan sınırlı bölgenin sınırlarını belirlemek için eğrilerin kesişim noktaları bulunur.
2
Belirlenen [0,1][0,1] aralığında hangi eğrinin üstte olduğunu belirleyiniz.
[0,1][0,1] aralığında x≥x2x \ge x^2, x≥x\sqrt{x} \ge x ve x≥x3x \ge x^3 eşitsizlikleri geçerlidir.
Alan hesabında üstteki fonksiyondan alttaki fonksiyon çıkarılarak integral kurulur.
3
Alanları temsil eden integral ifadelerini yazıp eşleştiriniz.
Alan integralleri sırasıyla ∫01(x−x2) dx\int_0^1 (x - x^2) \, dx, ∫01(x−x) dx\int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx ve ∫01(x−x3) dx\int_0^1 (x - x^3) \, dx olur.
Elde edilen sınırlar ve integraller kullanılarak doğru eşleştirme yapılır.

Anahtar Kavram

İki Eğri Arasında Kalan Alan Hesabı
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 14Soru →

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde iki kez türevlenebilir bir ff fonksiyonu için,

∫(x2⋅f′′(x)+2x⋅f′(x))dx=4x3−6x2+C \int \left( x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x) \right) dx = 4x^3 - 6x^2 + C

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1)=5f(1) = 5 ve f(2)=10f(2) = 10 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 473\frac{47}{3}

Cevap

Fonksiyonun üç noktasındaki değeri kırk yedi bölü üç olur.
Çarpımın türevi ilişkisi kullanılarak integrali alınan fonksiyon x2⋅f′(x)=4x3−6x2+C1x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1 şeklinde elde edilir. İfade x2x^2 ile bölünüp tekrar entegre edildiğinde f(x)=2x2−6x−C1x+C2f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2 fonksiyonuna ulaşılır. f(1)=5f(1) = 5 ve f(2)=10f(2) = 10 sınır koşullarıyla kurulan sistemden C1=10C_1 = 10 ve C2=19C_2 = 19 bulunur. Buradan f(3)f(3) değeri hesaplandığında kırk yedi bölü üç elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki ifadenin türev ilişkisini belirleme
İntegral içindeki x2⋅f′′(x)+2x⋅f′(x)x^2 \cdot f''(x) + 2x \cdot f'(x) ifadesinin, çarpımın türevi kuralı gereğince (x2⋅f′(x))′(x^2 \cdot f'(x))' ifadesine eşit olduğu görülür.
İntegrali doğrudan alabilmek için integrali alınan ifadenin hangi fonksiyonun türevi olduğunu tespit etmek gerekir.
2
İlk belirsiz integrali hesaplama
x2⋅f′(x)=4x3−6x2+C1x^2 \cdot f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + C_1 elde edilir. Buradan x>0x > 0 için f′(x)=4x−6+C1x2f'(x) = 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2} bulunur.
Türev-integral ilişkisini kullanarak birinci türev fonksiyonunu integral sabitiyle birlikte elde etmek.
3
İkinci belirsiz integrali hesaplama
f(x)=∫(4x−6+C1x2)dx=2x2−6x−C1x+C2f(x) = \int \left( 4x - 6 + \frac{C_1}{x^2} \right) dx = 2x^2 - 6x - \frac{C_1}{x} + C_2 olarak bulunur.
Birinci türevin integralini alarak orijinal fonksiyona ulaşmak.
4
Verilen sınır koşulları ile denklem sistemi kurma ve çözme
f(1)=5  ⟹  −C1+C2=9f(1) = 5 \implies -C_1 + C_2 = 9 ve f(2)=10  ⟹  −C12+C2=14f(2) = 10 \implies -\frac{C_1}{2} + C_2 = 14 denklemleri elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde C1=10C_1 = 10 ve C2=19C_2 = 19 bulunur. Fonksiyon f(x)=2x2−6x−10x+19f(x) = 2x^2 - 6x - \frac{10}{x} + 19 olarak kesinleşir.
Bilinmeyen integral sabitlerini verilen fonksiyon değerleri yardımıyla belirlemek.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(3)=2(3)2−6(3)−103+19=19−103=473f(3) = 2(3)^2 - 6(3) - \frac{10}{3} + 19 = 19 - \frac{10}{3} = \frac{47}{3} olarak hesaplanır.
Bulunan genel fonksiyonda x=3x = 3 değerini yerine yazarak sonucu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral özellikleri, çarpımın türevi kuralının integralde geri inşası ve sınır koşullarıyla integral sabitlerinin bulunması
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 15Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6

fonksiyonunun [0,3][0, 3] kapalı aralığındaki grafiği inceleniyor. Bu aralık, 3 eş alt aralığa bölünüyor.

Bu bölüntüye göre;
- AA: Riemann alt toplamı,
- U¨Ü: Riemann üst toplamı,
- DD: Sağ uç noktalara göre hesaplanan Riemann toplamı,
- I=∫03f(x) dxI = \int_0^3 f(x) \, dx

olarak belirleniyor.

Buna göre; AA, U¨Ü, DD ve II değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: A<D<I<U¨A < D < I < Ü

Cevap

A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması doğrudur.
Riemann alt toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun aldığı en küçük değerler (33, 22, 22) seçilerek A=7A = 7 bulunur. Sağ uç Riemann toplamı için alt aralıkların sağ uçlarındaki değerler (f(1)=3,f(2)=2,f(3)=3f(1)=3, f(2)=2, f(3)=3) kullanılarak D=8D = 8 elde edilir. Belirli integral hesaplandığında I=9I = 9 ve Riemann üst toplamı için her aralıktaki en büyük değerler (66, 33, 33) seçilerek U¨=12Ü = 12 elde edilir. Bu değerler sıralandığında doğru sıralama elde edilmiş olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aralık genişliğini ve alt aralıkları belirleme.
Genişlik Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olup alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamlarını hesaplayabilmek için öncelikle aralığın kaç eş parçaya bölündü��ünü ve her bir parçanın sınırlarını bulmamız gerekir.
2
Fonksiyonun kritik noktalarını ve alt aralıklardaki davranışını inceleme.
f′(x)=2x−4=0  ⟹  x=2f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2 parabolün tepe noktasıdır. Fonksiyon [0,2][0, 2] aralığında azalan, [2,3][2, 3] aralığında artandır. Değerler: f(0)=6f(0) = 6, f(1)=3f(1) = 3, f(2)=2f(2) = 2, f(3)=3f(3) = 3 olur.
Riemann alt ve üst toplamlarında her alt aralıktaki minimum ve maksimum değerleri doğru seçebilmek için fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu tepe noktasına göre incelemeliyiz.
3
AA (Riemann alt toplamı) ve U¨Ü (Riemann üst toplamı) değerlerini hesaplama.
[0,1][0, 1] aralığında en küçük değer f(1)=3f(1)=3, [1,2][1, 2] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2, [2,3][2, 3] aralığında en küçük değer f(2)=2f(2)=2 olduğundan A=1⋅(3+2+2)=7A = 1 \cdot (3 + 2 + 2) = 7 bulunur. [0,1][0, 1] aralığında en büyük değer f(0)=6f(0)=6, [1,2][1, 2] aralığında en büyük değer f(1)=3f(1)=3, [2,3][2, 3] aralığında en büyük değer f(3)=3f(3)=3 olduğundan U¨=1⋅(6+3+3)=12Ü = 1 \cdot (6 + 3 + 3) = 12 bulunur.
Riemann alt toplamı için her aralıktaki minimum değerleri, üst toplamı için ise maksimum değerleri aralık genişliğiyle çarparak toplarız.
4
DD (Sağ uç noktalara göre Riemann toplamı) ve II (Belirli integral) değerlerini hesaplama.
Sağ uç noktalar x1=1x_1=1, x2=2x_2=2, x3=3x_3=3 olduğundan D=1⋅(f(1)+f(2)+f(3))=3+2+3=8D = 1 \cdot (f(1) + f(2) + f(3)) = 3 + 2 + 3 = 8 olur. İntegral ise I=∫03(x2−4x+6) dx=[x33−2x2+6x]03=(9−18+18)−0=9I = \int_0^3 (x^2 - 4x + 6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 6x \right]_0^3 = (9 - 18 + 18) - 0 = 9 bulunur.
Sağ uç Riemann toplamı için her alt aralığın sağ sınırındaki fonksiyon değerlerini kullanırız. İntegral değeri ise eğrinin altındaki gerçek alanı verir.
5
Elde edilen tüm değerleri sıralama.
7<8<9<127 < 8 < 9 < 12 olduğundan A<D<I<U¨A < D < I < Ü sıralaması elde edilir.
Bulduğumuz değerleri büyüklüklerine göre karşılaştırarak doğru sıralamayı buluruz.

Anahtar Kavram

Riemann toplamı, belirli bir aralıkta tanımlı fonksiyonun alt aralıklardaki minimum/maksimum değerleri veya belirli uç noktaları kullanılarak hesaplanan dikdörtgen alanlarının toplamıdır. Bu toplamlar, fonksiyonun artan/azalan olduğu aralıklara göre integral değerinden büyük, küçük veya eşit olabilir.
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, ff fonksiyonunun grafiği ile xx ekseni arasında [0,3][0, 3] aralığında kalan bölgenin alanı, [0,3][0, 3] aralığının 33 eş alt aralığa bölünmesiyle elde edilen Riemann üst toplamından kaç birimkare azdır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Grafik ile xx ekseni arasında kalan bölgenin alanı, Riemann üst toplamından 3 birimkare azdır.
Riemann üst toplamı, fonksiyonun monotonluğuna dikkat edilerek alt aralıklardaki maksimum değerler yardımıyla U=18U = 18 olarak bulunur. Eğrinin altındaki gerçek alan ise belirli integral ile A=15A = 15 olarak hesaplanır. Aralarındaki fark 18−15=318 - 15 = 3 birimkaredir.

Adım Adım Çözüm

1
Alt aralıkların belirlenmesi ve genişliğinin bulunması.
[0,3][0, 3] aralığı 33 eş alt aralığa bölündüğünde her bir aralığın genişliği Δx=3−03=1\Delta x = \frac{3-0}{3} = 1 olur. Alt aralıklar [0,1][0, 1], [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] şeklindedir.
Riemann toplamı hesaplanırken alt aralıkların genişlikleri ve sınırları belirlenmelidir.
2
Her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değerlerin bulunması.
f(x)=(x−1)2+4f(x) = (x-1)^2 + 4 parabolünün tepe noktası x=1x=1'dir. [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x) azalan olduğundan maksimum değer sol uçta, yani f(0)=5f(0) = 5 olur. [1,2][1, 2] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(2)=5f(2) = 5 olur. [2,3][2, 3] aralığında f(x)f(x) artan olduğundan maksimum değer sağ uçta, yani f(3)=8f(3) = 8 olur.
Riemann üst toplamı hesaplanırken her alt aralıkta fonksiyonun alabileceği en büyük değer seçilmelidir.
3
Riemann üst toplamının (UU) hesaplanması.
U=Δx⋅(f(0)+f(2)+f(3))=1⋅(5+5+8)=18U = \Delta x \cdot (f(0) + f(2) + f(3)) = 1 \cdot (5 + 5 + 8) = 18 birimkaredir.
Riemann üst toplamı, alt aralık genişliği ile bu aralıklardaki maksimum fonksiyon değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.
4
Grafiğin altında kalan gerçek alanın (AA) integral yardımıyla hesaplanması.
A=∫03(x2−2x+5)dx=[x33−x2+5x]03=(9−9+15)−0=15A = \int_0^3 (x^2 - 2x + 5) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 5x \right]_0^3 = (9 - 9 + 15) - 0 = 15 birimkaredir.
[0,3][0, 3] aralığında f(x)>0f(x) > 0 olduğundan, grafik ile xx ekseni arasındaki alan belirli integral ile tam olarak hesaplanabilir.
5
Riemann üst toplamı ile gerçek alan arasındaki farkın bulunması.
U−A=18−15=3U - A = 18 - 15 = 3 birimkaredir.
Soruda alanın Riemann üst toplamından kaç birimkare az olduğu sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Riemann Üst Toplamı ve Belirli İntegral İlişkisi
Soru 17Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13x⋅f(x2+1) dx=40\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
∫23f(8x−14) dx\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

İntegralin doğru değeri 10'dur.
Değişken değiştirme yöntemi adımları doğru uygulandığında, birinci integralden ∫210f(x) dx=80\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 80 elde edilir. İkinci integralde yapılan dönüşüm ve sınır güncellemesiyle aranan değer 18∫210f(t) dt\frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt olarak bulunur. Bu değer ise 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x⋅f(x2+1)x \cdot f(x^2 + 1) ifadesini sadeleştirmek ve değişkeni değiştirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Birinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=1  ⟹  u=12+1=2x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2 ve x=3  ⟹  u=32+1=10x = 3 \implies u = 3^2 + 1 = 10 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Birinci integral yeni değişken cinsinden yazılarak değeri hesaplanır.
∫210f(u)⋅du2=40  ⟹  ∫210f(u) du=80\int_{2}^{10} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 40 \implies \int_{2}^{10} f(u) \, du = 80 bulunur.
İkinci integralde kullanılabilecek ∫210f(x) dx\int_{2}^{10} f(x) \, dx integralinin değerini elde etmek için bu işlem gerçekleştirilir.
4
İkinci integralde uygun değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.
t=8x−14  ⟹  dt=8 dx  ⟹  dx=dt8t = 8x - 14 \implies dt = 8 \, dx \implies dx = \frac{dt}{8} elde edilir.
İkinci integrali bilinen integral biçimine dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
5
İkinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
x=2  ⟹  t=8(2)−14=2x = 2 \implies t = 8(2) - 14 = 2 ve x=3  ⟹  t=8(3)−14=10x = 3 \implies t = 8(3) - 14 = 10 olur.
İkinci integralin sınırlarını tt değişkenine göre ayarlamak için sınırlar güncellenir.
6
İkinci integral yeni değişken cinsinden yazılır ve birinci adımdan elde edilen değer yerine konarak sonuç bulunur.
∫23f(8x−14) dx=∫210f(t)⋅dt8=18∫210f(t) dt=808=10\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx = \int_{2}^{10} f(t) \cdot \frac{dt}{8} = \frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt = \frac{80}{8} = 10 bulunur.
İntegralin nihai değerini hesaplamak için bu adımlar tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6
eqitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫13(3x2−12x)f(x) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 12x) f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -66

Cevap

İntegralin değeri -66'dır.
Soruda verilen integral x=2x=2 simetri eksenine göre düzenlendiğinde 3x2−12x=3(x−2)2−123x^2 - 12x = 3(x-2)^2 - 12 olarak parçalanır. Elde edilen iki ayrı integral teriminde t=4−xt = 4-x dönüşümü uygulanıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 simetri bağıntısı kullanıldığında, birinci integralin değeri 22, ikinci integralin değeri ise 66 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç −66-66 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki 3x2−12x3x^2 - 12x karesel ifadesini simetri merkezi olan x=2x=2 değerine göre 3(x−2)2−123(x-2)^2 - 12 biçiminde yeniden yazmak ve integrali iki parçaya ayırmak.
I=3∫13(x−2)2f(x) dx−12∫13f(x) dxI = 3 \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx - 12 \int_{1}^{3} f(x) \, dx
Verilen f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6 simetri özelliğini integral sınırları olan [1,3][1, 3] aralığında verimli kullanabilmek için.
2
J=∫13f(x) dxJ = \int_{1}^{3} f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi yapıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 bağıntısını kullanarak integral değerini hesaplamak.
J=6J = 6
Belirli integralin sınır değiştirme ve fonksiyon simetrisi özelliğinden yararlanarak bilinmeyen f(x)f(x) fonksiyonunun integralini çözmek.
3
K=∫13(x−2)2f(x) dxK = \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi uygulayarak terimi sadeleştirmek ve bilinen bir polinomsal integrale indirgemek.
K=2K = 2
x=2x=2 noktasına göre simetrik karesel çarpanın integral üzerindeki etkisini simetri özellikleri yardımıyla sayısal bir değere dönüştürmek.
4
Elde edilen KK ve JJ değerlerini ana integral ifadesinde yerine koyarak sonucu hesaplamak.
−66-66
İstenen belirli integralin nihai sayısal sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların simetrisi, değişken değiştirme yöntemi ve simetrik fonksiyonların belirli integral özelliklerinin uygulanması.
Soru 19Soru →

Dik koordinat düzleminde, f(x)=3−x2f(x) = 3 - x^2 ve g(x)=x2−2x−1g(x) = x^2 - 2x - 1 parabolleri arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Paraboller arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 9 birimkaredir.
İki parabolün kesişim noktalarının apsisleri olan -1 ve 2 sınırları arasında, üstteki parabolün denkleminden alttaki parabolün denklemi çıkarılarak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Parabollerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleriz.
3−x2=x2−2x−1  ⟹  2x2−2x−4=0  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  (x−2)(x+1)=03 - x^2 = x^2 - 2x - 1 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin sınırlarını (entegrasyon sınırlarını) belirlemek amacıyla bu işlem gerçekleştirilir.
2
[−1,2][-1, 2] aralığında hangi parabolün üstte olduğunu belirler ve alan integralini kurarız.
x=0x = 0 için f(0)=3f(0) = 3 ve g(0)=−1g(0) = -1 olup bu aralıkta f(x)≥g(x)f(x) \geq g(x) sağlanır. Buradan alan ifadesi A=∫−12(f(x)−g(x)) dx=∫−12(−2x2+2x+4) dxA = \int_{-1}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx olarak yazılır.
İki eğri arasındaki alan, üstte yer alan eğrinin denkleminden altta yer alan eğrinin denklemi çıkarılarak hesaplanır.
3
Belirli integrali hesaplarız.
F(x)=−23x3+x2+4xF(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x olmak üzere, F(2)−F(−1)=(−163+4+8)−(23+1−4)=203−(−73)=273=9F(2) - F(-1) = \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9 birimkare elde edilir.
Belirli integralin temel teoremi uygulanarak sınırlı bölgenin alanının sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan kapalı bölgenin alanı, kesişim noktaları arasındaki belirli integral yardımıyla hesaplanır.
Soru 20Soru →

Dik koordinat düzleminde, x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolü ile x=−yx = -y doğrusu arasında kalan sınırlı bölge verilmiştir. Buna göre, bu sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 92\frac{9}{2}

Cevap

Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı 92\frac{9}{2} birimkaredir.
Doğru cevap olan 92\frac{9}{2} değeri, x=−yx = -y doğrusu ile x=y2−4yx = y^2 - 4y parabolünün kesişim noktaları olan y=0y = 0 ve y=3y = 3 sınırları arasında, sağdaki eğriden soldaki eğrinin çıkarılmasıyla elde edilen belirli integralin hesaplanmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğrilerin kesişim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyin.
y2−4y=−y  ⟹  y2−3y=0  ⟹  y(y−3)=0y^2 - 4y = -y \implies y^2 - 3y = 0 \implies y(y-3) = 0 denkleminden kesişim noktalarının ordinatları y=0y = 0 ve y=3y = 3 olarak bulunur.
İki eğri arasında kalan alanı hesaplamak için entegrasyon sınırlarının belirlenmesi gerekir.
2
Belirtilen aralıkta hangi eğrinin daha sağda (büyük x değerine sahip) olduğunu belirleyin.
y∈[0,3]y \in [0, 3] aralığı için bir test değeri seçildiğinde (örneğin y=1y = 1), doğrunun değeri x=−1x = -1, parabolün değeri ise x=−3x = -3 olur. −1>−3-1 > -3 olduğundan bu aralıkta x=−yx = -y doğrusu daha sağdadır.
y eksenine göre alan hesaplanırken integralin pozitif çıkması için sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyon çıkarılmalıdır.
3
Alan integralini kurun ve belirli integrali hesaplayın.
A=∫03(−y−(y2−4y))dy=∫03(3y−y2)dyA = \int_{0}^{3} \left( -y - (y^2 - 4y) \right) dy = \int_{0}^{3} (3y - y^2) dy integralinin sonucu [3y22−y33]03=(272−9)−0=92\left[ \frac{3y^2}{2} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} birimkare olarak bulunur.
Eğriler arasında kalan sınırlı bölgenin alanı, sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyonun çıkarılmasıyla elde edilen farkın belirli integralidir.

Anahtar Kavram

İki eğri arasında kalan alanın y ekseni boyunca entegre edilerek hesaplanması
Tahmini Süre:2m 0s
Sayfa 1 / 14Sonraki
İntegral ve Uygulamaları Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin