\int_{0}^{1} (2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \, dx belirli integralinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{1} (2x + 1)(x^2 + x + 1)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri

\frac{26}{3}

olarak bulunur.

Doğru cevap olan

\frac{26}{3}

değeri,

u = x^2 + x + 1

dönüşümü yapılarak sınırların

1

3

olarak güncellenmesi ve integralin kurallara uygun olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = x^2 + x + 1

dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak

du = (2x + 1) \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki

(2x + 1) \, dx

ifadesini yeni değişken

u

cinsinden yazmak için.

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 0 + 1 = 1

Üst sınır için:

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 + 1 = 3

İntegral değişkeni

x

yerine

u

olduğunda, sınırların da

u

değişkenine uygun hale getirilmesi gerekir.

Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

\int_{1}^{3} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

Belirli integralin değerini bulmak için integral alma kuralı uygulanır ve sınırlar yerine yazılır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Soru