Sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40\neşitliği veriliyor. Buna göre, \int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40\neşitliği veriliy… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 40

eşitliği veriliyor.

Buna göre,

\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri 10'dur.

Değişken değiştirme yöntemi adımları doğru uygulandığında, birinci integralden

\int_{2}^{10} f(x) \, dx = 80

elde edilir. İkinci integralde yapılan dönüşüm ve sınır güncellemesiyle aranan değer

\frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt

olarak bulunur. Bu değer ise 10 olur.

Birinci integralde değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.

u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içindeki

x \cdot f(x^2 + 1)

ifadesini sadeleştirmek ve değişkeni değiştirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.

Birinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2

x = 3 \implies u = 3^2 + 1 = 10

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Birinci integral yeni değişken cinsinden yazılarak değeri hesaplanır.

\int_{2}^{10} f(u) \cdot \frac{du}{2} = 40 \implies \int_{2}^{10} f(u) \, du = 80

bulunur.

İkinci integralde kullanılabilecek

\int_{2}^{10} f(x) \, dx

integralinin değerini elde etmek için bu işlem gerçekleştirilir.

İkinci integralde uygun değişken değiştirme dönüşümü tanımlanır.

t = 8x - 14 \implies dt = 8 \, dx \implies dx = \frac{dt}{8}

elde edilir.

İkinci integrali bilinen integral biçimine dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.

İkinci integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

x = 2 \implies t = 8(2) - 14 = 2

x = 3 \implies t = 8(3) - 14 = 10

olur.

İkinci integralin sınırlarını

t

değişkenine göre ayarlamak için sınırlar güncellenir.

İkinci integral yeni değişken cinsinden yazılır ve birinci adımdan elde edilen değer yerine konarak sonuç bulunur.

\int_{2}^{3} f(8x - 14) \, dx = \int_{2}^{10} f(t) \cdot \frac{dt}{8} = \frac{1}{8} \int_{2}^{10} f(t) \, dt = \frac{80}{8} = 10

bulunur.

İntegralin nihai değerini hesaplamak için bu adımlar tamamlanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Tahmini Süre:2m 0s