Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    -8
  2. -4Cevap
  3. C
    1
  4. D
    4
  5. E
    10

Cevap

-4
Verilen iki integralde sırasıyla x2+1=ux^2 + 1 = u ve 2x−1=v2x - 1 = v değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru güncellendiğinde ∫25f(x) dx=20\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 ve ∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. Buradan sınır parçalama özelliğiyle ∫12f(x) dx=−8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur. İstenen integralde x2=wx^2 = w dönüşümü yapılıp sınır güncellemesiyle elde edilen 12∫12f(w) dw\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw ifadesinde yerine yazıldığında sonuç −4-4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫12x⋅f(x2+1) dx=10\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 10 integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  u=2x = 1 \implies u = 2 ve x=2  ⟹  u=5x = 2 \implies u = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫25f(u) du=10  ⟹  ∫25f(x) dx=20\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Verilen ilk integrali f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali cinsinden ifade etmek.
2
İkinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
∫13f(2x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = 6 integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü yapılırsa dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  v=1x = 1 \implies v = 1 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Böylece integral 12∫15f(v) dv=6  ⟹  ∫15f(x) dx=12\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(v) \, dv = 6 \implies \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 olarak bulunur.
İkinci integrali de f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki integrali şeklinde yazarak ilk adımla ilişkilendirmek.
3
Belirli integralin sınır parçalama özelliği kullanılır.
∫15f(x) dx=∫12f(x) dx+∫25f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{5} f(x) \, dx eşitliğinden yararlanarak; 12=∫12f(x) dx+20  ⟹  ∫12f(x) dx=−812 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + 20 \implies \int_{1}^{2} f(x) \, dx = -8 bulunur.
İstenen integralin sınırlarına (1 ve 2) ulaşmak amacıyla elde edilen integral değerlerini birleştirmek.
4
İstenen integralde değişken değiştirme yapılarak sonuca ulaşılır.
∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{\sqrt{2}} x \cdot f(x^2) \, dx integralinde w=x2w = x^2 dönüşümü yapılırsa dw=2x dx  ⟹  x dx=dw2dw = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dw}{2} olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1  ⟹  w=1x = 1 \implies w = 1 ve x=2  ⟹  w=2x = \sqrt{2} \implies w = 2 elde edilir. Buradan integral 12∫12f(w) dw=12⋅(−8)=−4\frac{1}{2} \int_{1}^{2} f(w) \, dw = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4 olarak hesaplanır.
Elde edilen integral değerini kullanarak aranan integralin sonucunu bulmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin sınır parçalama özelliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru