Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKoşullu Olasılık

Bir kütüphanedeki kitapların %70\%70'i Türkçe, %30\%30'u ise yabancı dildedir. Bu kütüphanedeki Türkçe kitapların %30\%30'u, yabancı dildeki kitapların ise %70\%70'i romandır.

Kütüphaneden rastgele seçilen bir kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı kaçtır?

Cevap: 0.5

Cevap

Seçilen kitab��n roman olduğu bilindiğine göre, Türkçe olma olasılığı 0,5'tir.
Seçilen kitabın roman olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız kütüphanedeki tüm romanlardan oluşmaktadır. Türkçe romanların oranı %21, yabancı dildeki romanların oranı ise %21'dir. Toplam roman oranı %42 olduğundan, seçilen bir romanın Türkçe olma olasılığı 21/42 = 0,5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kitapların dillerine göre seçilme olasılıklarını belirleyelim.
Türkçe kitap seçilme olasılığı P(T)=0,70P(T) = 0,70 ve yabancı dilde kitap seçilme olasılığı P(Y)=0,30P(Y) = 0,30 olur.
Kütüphanedeki kitapların %70'inin Türkçe, %30'unun yabancı dilde olduğu belirtilmiştir.
2
Dillerine göre roman olma olasılıklarını yazalım ve kesişim olasılıklarını hesaplayalım.
Türkçe kitaplar içindeki roman oranı P(R∣T)=0,30P(R|T) = 0,30 ve yabancı dildeki kitaplar içindeki roman oranı P(R∣Y)=0,70P(R|Y) = 0,70 olarak verilmiştir. Buradan, Türkçe roman olan kitapların genel oranı P(T∩R)=P(T)⋅P(R∣T)=0,70⋅0,30=0,21P(T \cap R) = P(T) \cdot P(R|T) = 0,70 \cdot 0,30 = 0,21 olur. Yabancı dildeki roman olan kitapların genel oranı ise P(Y∩R)=P(Y)⋅P(R∣Y)=0,30⋅0,70=0,21P(Y \cap R) = P(Y) \cdot P(R|Y) = 0,30 \cdot 0,70 = 0,21 olur.
Bir kitabın hem belirli bir dilde hem de roman olma olasılığı, o dilin seçilme olasılığı ile o dildeki kitabın roman olma koşullu olasılığının çarpımına eşittir.
3
Kütüphanedeki toplam roman oranını hesaplayalım.
Kütüphanedeki toplam roman oranı P(R)=P(T∩R)+P(Y∩R)=0,21+0,21=0,42P(R) = P(T \cap R) + P(Y \cap R) = 0,21 + 0,21 = 0,42 olur.
Kütüphanedeki bir roman ya Türkçe ya da yabancı dildedir. Toplam olasılık formülü gereği bu iki ayrık durumun olasılıkları toplanır.
4
Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre Türkçe olma olasılığını koşullu olasılık formülüyle bulalım.
P(T∣R)=P(T∩R)P(R)=0,210,42=0,5P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{0,21}{0,42} = 0,5 olur.
Koşullu olasılık tanımına göre P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Toplam Olasılık Formülü

Alternatif Yöntem

Kitap sayısını somutlaştırarak çözebiliriz. Kütüphanede toplam 100 kitap olsun. Bu durumda 70 Türkçe, 30 yabancı kitap bulunur. Türkçe kitapların %30'u roman olduğuna göre 70×0,30=2170 \times 0,30 = 21 Türkçe roman vardır. Yabancı kitapların %70'i roman olduğuna göre 30×0,70=2130 \times 0,70 = 21 yabancı roman vardır. Toplam roman sayısı 21+21=4221 + 21 = 42'dir. Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı 2142=12=0,5\frac{21}{42} = \frac{1}{2} = 0,5 olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Koşullu Olasılık

Bu konudan daha fazla soru