Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir biyoloji laboratuvarında A ve B tüplerindeki bakteri popülasyonları gözlemlenmektedir. A tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri bir geometrik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin 3. terimi 12⋅10412 \cdot 10^4 ve 6. terimi 96⋅10496 \cdot 10^4 olarak ölçülmüştür. B tüpündeki bakteri sayısının her saatin sonundaki değerleri ise bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu dizinin ilk 8 teriminin toplamı 88⋅10488 \cdot 10^4 ve 4. terimi 10⋅10410 \cdot 10^4 olarak belirlenmiştir. Buna göre, A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı kaç adet 10410^4'tür?

Cevap: 12 adet

Cevap

A tüpündeki bakteri sayısının B tüpündeki bakteri sayısının 4 katı olduğu saatin sonunda, B tüpündeki bakteri sayısı 12 adet 10410^4'tür.
A tüpündeki bakteri sayısı geometrik dizi (an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1}) ve B tüpündeki bakteri sayısı aritmetik dizi (bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4) kurallarına uyar. an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n eşitliğinden n=5n = 5 saati elde edilir. 5. saatin sonunda B tüpünde 12⋅10412 \cdot 10^4 bakteri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A tüpünün geometrik dizisi (an)(a_n) için ortak çarpanı ve ilk terimi belirlemek.
a3=a1⋅r2=12⋅104a_3 = a_1 \cdot r^2 = 12 \cdot 10^4 ve a6=a1⋅r5=96⋅104a_6 = a_1 \cdot r^5 = 96 \cdot 10^4 eşitliklerinden r3=8  ⟹  r=2r^3 = 8 \implies r = 2 bulunur. Buradan a1=3⋅104a_1 = 3 \cdot 10^4 elde edilir. Genel terim an=3⋅104⋅2n−1a_n = 3 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} olur.
Geometrik dizinin her bir saatin sonundaki değerlerini bulmak için genel terim formülünü oluşturmamız gerekir.
2
B tüpünün aritmetik dizisi (bn)(b_n) için ortak farkı ve ilk terimi belirlemek.
b4=b1+3d=10⋅104b_4 = b_1 + 3d = 10 \cdot 10^4 ve S8=4(2b1+7d)=88⋅104  ⟹  2b1+7d=22⋅104S_8 = 4(2b_1 + 7d) = 88 \cdot 10^4 \implies 2b_1 + 7d = 22 \cdot 10^4 denklem sistemi çözüldüğünde d=2⋅104d = 2 \cdot 10^4 ve b1=4⋅104b_1 = 4 \cdot 10^4 bulunur. Genel terim bn=(2n+2)⋅104b_n = (2n + 2) \cdot 10^4 olur.
Aritmetik dizinin her saatin sonundaki değerlerini hesaplayabilmek için ortak farkı ve ilk terimi bulmamız gerekir.
3
an=4⋅bna_n = 4 \cdot b_n denklemini çözerek nn değerini bulmak.
3⋅104⋅2n−1=4⋅(2n+2)⋅104  ⟹  3⋅2n−1=8(n+1)  ⟹  3⋅2n−4=n+13 \cdot 10^4 \cdot 2^{n-1} = 4 \cdot (2n + 2) \cdot 10^4 \implies 3 \cdot 2^{n-1} = 8(n + 1) \implies 3 \cdot 2^{n-4} = n + 1 denklemini sağlayan pozitif tam sayı n=5n = 5 olarak bulunur.
İki popülasyon arasındaki oran şartını sağlayan saati belirlemek.
4
n=5n = 5 için B tüpündeki bakteri sayısını hesaplamak.
b5=(2⋅5+2)⋅104=12⋅104b_5 = (2 \cdot 5 + 2) \cdot 10^4 = 12 \cdot 10^4 bulunur.
İstenen saatin sonundaki bakteri miktarını bulmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri, toplam formülleri ve gerçek hayat problemlerine uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bu konudan daha fazla soru