Examkin

Soru

Zorluk: ZorDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir sanayi bölgesinde üretim yapan A ve B fabrikalarının yıllık üretim miktarlarıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A fabrikasının yıllık üretim miktarı bir aritmetik dizinin, B fabrikasının yıllık üretim miktarı ise bir geometrik dizinin terimleriyle modellenmektedir.
* Her iki fabrikanın da 1. yıldaki üretim miktarları birbirine e��it ve 6464 bin adettir.
* A fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 2. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.
* A fabrikasının 5. yıldaki üretim miktarı ile B fabrikasının 3. yıldaki üretim miktarı birbirine eşittir.

Buna göre, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı, A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarından kaç bin adet fazladır?

  1. A
    128
  2. B
    448
  3. 704Cevap
  4. D
    832
  5. E
    4160

Cevap

704
Doğru seçenekte belirtilen değer, B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı (17281728 bin adet) ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı (10241024 bin adet) arasındaki net fark olan 704704 bin adeti ifade etmektedir. Kurulan aritmetik ve geometrik dizi denklemleri çözüldüğünde dizilerin parametreleri tek anlamlı şekilde r=3r=3 ve d=128d=128 olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik ve geometrik dizilerin genel terim formülleri yazılır.
Aritmetik dizi için an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ve geometrik dizi için bn=b1⋅rn−1b_n = b_1 \cdot r^{n-1} formülleri kullanılır. Burada a1=b1=64a_1 = b_1 = 64 olarak verilmiştir.
Dizilerin sonraki terimlerini ilk terim cinsinden ifade edebilmek için.
2
Fabrikaların üretim miktarlarındaki eşitliklerden denklem sistemi kurulur.
a2=b2  ⟹  64+d=64r  ⟹  d=64(r−1)a_2 = b_2 \implies 64 + d = 64r \implies d = 64(r-1) ve a5=b3  ⟹  64+4d=64r2a_5 = b_3 \implies 64 + 4d = 64r^2 denklemleri elde edilir.
Soruda verilen ikinci ve üçüncü yıl eşitliklerini matematiksel ifadelere dönüştürmek için.
3
Birinci denklemdeki dd değeri ikinci denklemde yerine yazılarak ortak çarpan rr çözülür.
64+4(64(r−1))=64r2  ⟹  1+4r−4=r2  ⟹  r2−4r+3=064 + 4(64(r-1)) = 64r^2 \implies 1 + 4r - 4 = r^2 \implies r^2 - 4r + 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin çarpanları (r−3)(r−1)=0(r-3)(r-1) = 0 olup, diziler sabit olmadığından (r≠1r \neq 1) ortak çarpan r=3r = 3 olarak bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyene indirgeyerek çözmek için.
4
Dizinin ortak farkı dd hesaplanır.
d=64(3−1)=128d = 64(3-1) = 128 olarak bulunur.
Aritmetik dizinin terimlerini ve toplamını hesaplamak için gerekli olan ortak fark değerini bulmak amacıyla.
5
B fabrikasının 4. yıldaki üretim miktarı ile A fabrikasının ilk 4 yıldaki toplam üretim miktarı hesaplanır.
B'nin 4. yıl üretimi: b4=64⋅33=1728b_4 = 64 \cdot 3^3 = 1728 bin adet. A'nın ilk 4 yıldaki toplam üretimi: S4=42[2(64)+3(128)]=2[128+384]=1024S_4 = \frac{4}{2}[2(64) + 3(128)] = 2[128 + 384] = 1024 bin adet.
İstenen farkı hesaplamak amacıyla her iki değerin büyüklüğünü belirlemek için.
6
Hesaplanan üretim değerleri arasındaki fark bulunur.
1728−1024=7041728 - 1024 = 704 bin adet olarak fark elde edilir.
Soruda istenen nihai fazlalık miktarını bulmak için.

Anahtar Kavram

Gerçek hayat problemlerinde aritmetik ve geometrik dizi modellerinin kurulması, terim ilişkilerinin saptanması ve dizi toplam formüllerinin doğru uygulanması.

Alternatif Yöntem

Formül kullanmaksızın terimler tek tek yazılabilir. a1=64a_1 = 64 ve d=128d = 128 bulunduktan sonra A fabrikasının ilk 4 yıl üretimi sırasıyla 6464, 192192, 320320 ve 448448 olur. Bunların toplamı doğrudan 64+192+320+448=102464 + 192 + 320 + 448 = 1024 olarak toplanabilir. Benzer şekilde geometrik dizinin 4. terimi de adım adım b1=64  ⟹  b2=192  ⟹  b3=576  ⟹  b4=1728b_1 = 64 \implies b_2 = 192 \implies b_3 = 576 \implies b_4 = 1728 şeklinde ardışık olarak 3 ile çarpılarak bulunabilir. Buradan fark 1728−1024=7041728 - 1024 = 704 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bu konudan daha fazla soru