Examkin

Diziler

192 soru

Tüm türler192Çoktan seçmeli101Sayısal82Boşluk doldurma9
Soru 1Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=5n−32n2−11n+ka_n = \frac{5n - 3}{2n^2 - 11n + k}
ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Dizinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı 55'tir.
Dizinin genel teriminde payda sıfır olmamalıdır. Paydayı sıfır yapan 2n2−11n+k=02n^2 - 11n + k = 0 denkleminden k=11n−2n2k = 11n - 2n^2 elde edilir. kk pozitif tam sayısı için 11n−2n2>011n - 2n^2 > 0 olmalıdır, bu da 0<n<5,50 < n < 5,5 aralığındaki nn pozitif tam sayıları (1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5) için geçerlidir. Bu nn değerleri için kk değerleri sırasıyla 9,14,15,12,59, 14, 15, 12, 5 bulunur ve bu değerlerin toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesi özelliğini kullanarak paydayı sıfır yapan denklemi kurmak
2n2−11n+k=0  ⟹  k=11n−2n22n^2 - 11n + k = 0 \implies k = 11n - 2n^2
Diziler pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlardır. Paydanın sıfır olduğu durumlarda ifade tanımsız olacağından, dizinin tanımlı olmasını engelleyen kk değerleri paydanın sıfır olduğu durumlardan elde edilir.
2
kk pozitif tam sayı şartına göre nn indisinin alabileceği değer aralığını belirlemek
n∈{1,2,3,4,5}n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}
k>0  ⟹  11n−2n2>0  ⟹  n(11−2n)>0k > 0 \implies 11n - 2n^2 > 0 \implies n(11 - 2n) > 0. Buradan 0<n<5,50 < n < 5,5 elde edilir. nn ifadesi bir indis olduğundan pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Her bir nn değeri için kk değerlerini hesaplamak
k∈{5,9,12,14,15}k \in \{5, 9, 12, 14, 15\}
n=1  ⟹  k=9n = 1 \implies k = 9, n=2  ⟹  k=14n = 2 \implies k = 14, n=3  ⟹  k=15n = 3 \implies k = 15, n=4  ⟹  k=12n = 4 \implies k = 12, n=5  ⟹  k=5n = 5 \implies k = 5 olarak bulunur.
4
Elde edilen kk değerlerini toplamak
5+9+12+14+15=555 + 9 + 12 + 14 + 15 = 55
Soruda dizinin belirtilmesini engelleyen kk pozitif tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerleri dizinin tanımlı olmasını engeller.
Soru 2Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri 15'tir.
Verilen an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n bağıntısında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu kullanılarak sırasıyla n=1,n=2n=1, n=2 ve n=3n=3 yazılır. n=1n=1 için a2=a1+2=5a_2 = a_1 + 2 = 5 olur. n=2n=2 için a3=a2+4=9a_3 = a_2 + 4 = 9 olur. Son olarak n=3n=3 için a4=a3+6=15a_4 = a_3 + 6 = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için a2a_2 terimini hesaplayın.
a2=5a_2 = 5
Dizinin ikinci terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=1n = 1 yazılır: a2=a1+2(1)=3+2=5a_2 = a_1 + 2(1) = 3 + 2 = 5 elde edilir.
2
n=2n = 2 için a3a_3 terimini hesaplayın.
a3=9a_3 = 9
Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=2n = 2 yazılır ve bir önceki adımda bulunan a2a_2 değeri yerine konur: a3=a2+2(2)=5+4=9a_3 = a_2 + 2(2) = 5 + 4 = 9 elde edilir.
3
n=3n = 3 için a4a_4 terimini hesaplayın.
a4=15a_4 = 15
Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=3n = 3 yazılır ve bir ��nceki adımda bulunan a3a_3 değeri yerine konur: a4=a3+2(3)=9+6=15a_4 = a_3 + 2(3) = 9 + 6 = 15 elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç terimi ve ardı��ık terimler arasındaki bağıntıyı kullanarak sırayla sonraki terimleri hesaplama.
Soru 3Soru →
an=n2−12n+32n2−16n+63a_n = \sqrt{\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63}}

ifadesi en çok kaç terimli bir sonlu gerçel sayı dizisinin genel terimi olabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu gerçel sayı dizisi oluşturulabilir.
Dizinin genel teriminin tanımlı olduğu pozitif tam sayılar incelendiğinde, 1'den başlayan ve ardışık olarak devam eden en geniş küme {1, 2, 3, 4} kümesidir. 5 değeri genel terimi tanımsız yaptığından bu dizinin 5. terimi bulunamaz ve dolayısıyla sonlu dizi en fazla 4 terimli olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bir (an)(a_n) genel terimli ifadesinin sonlu gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için, dizinin tanım kümesi olan Ak={1,2,…,k}A_k = \{1, 2, \dots, k\} kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için ana_n değerinin bir gerçel sayı olması gerekir.
Bu durumda, kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfırdan farklı olması gerekir: n2−12n+32n2−16n+63≥0\frac{n^2 - 12n + 32}{n^2 - 16n + 63} \ge 0 ve n2−16n+63≠0n^2 - 16n + 63 \neq 0
Kareköklü ifadelerin gerçel sayı belirtme şartı kök içinin negatif olmamasıdır, rasyonel ifadelerde ise payda sıfır olamaz.
2
Eşitsizlik tablosu oluşturmak için pay ve paydanın kökleri bulunur.
Payın kökleri: n2−12n+32=0  ⟹  (n−4)(n−8)=0  ⟹  n=4n^2 - 12n + 32 = 0 \implies (n-4)(n-8) = 0 \implies n = 4 ve n=8n = 8.
Paydanın kökleri: n2−16n+63=0  ⟹  (n−7)(n−9)=0  ⟹  n=7n^2 - 16n + 63 = 0 \implies (n-7)(n-9) = 0 \implies n = 7 ve n=9n = 9.
İşaret değişim noktalarını belirlemek ve tablo sınırlarını çizmek için köklerin bulunması gerekir.
3
Kökler küçükten büyüğe (4,7,8,94, 7, 8, 9) sıralanarak işaret tablosu oluşturulur.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları pozitif olduğu için tablo sağdan (+) ile başlar:
- n>9n > 9 için (+)
- 8<n<98 < n < 9 için (-)
- 7<n≤87 < n \le 8 için (+)
- 4≤n<74 \le n < 7 için (-)
- n<4n < 4 için (+)
Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi: (−∞,4]∪(7,8]∪(9,∞)(-\infty, 4] \cup (7, 8] \cup (9, \infty) aralıklarının birleşimidir (payda kökleri olan 7 ve 9 dahil değildir).
Çözüm kümesini veren aralıkları tam olarak belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
4
Eşitsizliğin çözüm kümesinde yer alan pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) belirlenir.
- (−∞,4](-\infty, 4] aralığındaki pozitif tam sayılar: 1,2,3,41, 2, 3, 4
- (7,8](7, 8] aralığındaki pozitif tam sayı: 88
- (9,∞)(9, \infty) aralığındaki pozitif tam sayılar: 10,11,12,…10, 11, 12, \dots
Tanımlı indisler kümesi: S={1,2,3,4,8}∪{10,11,12,… }S = \{1, 2, 3, 4, 8\} \cup \{10, 11, 12, \dots\} olarak bulunur.
Dizi terimlerinin indisleri yalnızca pozitif tam sayılardan oluşabilir.
5
Sonlu dizi tanım kümesi olan {1,2,…,k}\{1, 2, \dots, k\} kümesinin SS kümesinin alt kümesi olmasını sağlayan en büyük kk değeri tespit edilir.
k=4k=4 için {1,2,3,4}⊆S\{1, 2, 3, 4\} \subseteq S sağlanır. Ancak 5∉S5 \notin S olduğundan, k=5k=5 için {1,2,3,4,5}⊈S\{1, 2, 3, 4, 5\} \not\subseteq S olur. Dolayısıyla bu genel terimle en fazla 4 terimli bir sonlu dizi oluşturulabilir.
Dizi tanım kümesinin 1'den başlayan ardışık pozitif tam sayılardan oluşması şartı aranır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin genel terim olarak dizi belirtmesi için tüm pozitif tam sayılarda tanımlı olması gerekir. Sonlu bir dizinin tanım kümesi ise ardışık pozitif tam sayıların bir alt kümesi olan A_k = {1, 2, ..., k} biçiminde olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 4Soru →
Genel terimi
an={3n−k,n tek isen2−12n+32,n c¸ift isea_n = \begin{cases} 3n - k, & n \text{ tek ise} \\ n^2 - 12n + 32, & n \text{ çift ise} \end{cases}
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin negatif terimlerinin sayısı 44 olduğuna göre, kk tam sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Negatif terim sayısının 4 olmasını sağlayan en küçük kk tam sayısı 16'dır.
Çift indisli terimler incelendiğinde sadece a6a_6 teriminin negatif olduğu görülür. Toplam 4 negatif terim elde edebilmek amacıyla tek indisli terimlerden tam olarak 3 adet negatif terim gelmelidir. an=3n−ka_n = 3n - k dizisi artan olduğundan, negatif terimler sırasıyla en küçük tek indisli terimler olan a1,a3a_1, a_3 ve a5a_5 olmalıdır. Bir sonraki tek indisli terim olan a7a_7 ise negatif olmamalıdır. Buradan hareketle a5<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies k \le 21 eşitsizlikleri elde edilir. Bu aralıkta kk'nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimi tek ve çift indisler için parçalı olarak tanımlandığından, çift ve tek indisli durumları ayrı ayrı incelemek üzere planlama yapılır.
Çift indisli terimler için an=n2−12n+32a_n = n^2 - 12n + 32 ve tek indisli terimler için an=3n−ka_n = 3n - k ifadeleri kullanılacaktır.
Dizi indislerinin pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) olması koşuluna uygun terimleri belirlemek.
2
Çift indisli terimlerin hangilerinin negatif olduğunu bulmak için n2−12n+32<0n^2 - 12n + 32 < 0 eşitsizliği çözülür.
(n−4)(n−8)<0  ⟹  4<n<8(n-4)(n-8) < 0 \implies 4 < n < 8 bulunur. Bu aralıktaki tek çift pozitif tam sayı n=6n = 6 olduğundan, çift indisli terimlerden yalnızca a6a_6 negatiftir.
Çift terimlerden gelen negatif terim sayısını tam olarak saptamak.
3
Toplam negatif terim sayısı 4 olarak verildiğinden ve bunlardan 1 tanesi çift indisli terimlerden geldiğinden, tek indisli terimlerden tam olarak 3 tanesinin negatif olması gerektiği çıkarımı yapılır.
Tek indisli terimlerden ilk üçü (a1,a3,a5a_1, a_3, a_5) negatif, dördüncü tek terim (a7a_7) ise sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
an=3n−ka_n = 3n - k ifadesi nn arttıkça artan bir dizi oluşturduğundan, negatif terimler en küçük indisliler olmak zorundadır.
4
Tek indisli terimler için belirlenen koşullar eşitsizliğe dökülür.
a5<0  ⟹  3(5)−k<0  ⟹  k>15a_5 < 0 \implies 3(5) - k < 0 \implies k > 15 ve a7≥0  ⟹  3(7)−k≥0  ⟹  k≤21a_7 \ge 0 \implies 3(7) - k \ge 0 \implies k \le 21 elde edilir. Bu iki eşitsizlik birleştirilerek 15<k≤2115 < k \le 21 bulunur.
kk parametresinin alabileceği değer aralığını belirlemek.
5
15<k≤2115 < k \le 21 aralığındaki en küçük kk tam sayısı tespit edilir.
Bu aralıktaki en küçük tam sayı 16'dır.
Soruda istenen en küçük kk tam sayı değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesinin pozitif tam sayılar olması, parçalı tanımlı dizilerde genel terim analizi ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü.
Soru 5Soru →

(an)(a_n) bir gerçel sayı dizisi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=log⁡5(k2n2−18n+47)a_n = \log_5 \left( \frac{k}{2n^2 - 18n + 47} \right)

biçiminde tanımlanıyor. Bu dizinin en büyük terimi 22 olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 175

Cevap

Dizinin en büyük terimi n=4n = 4 veya n=5n = 5 için elde edilir ve bu durumda kk değeri 175 olarak bulunur.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar olduğundan, paydadaki ifadenin en küçük değeri tepe noktasına en yakın tam sayılar olan 4 veya 5 için elde edilir. Bu değer yerine yazıldığında k/7 = 25 eşitliğinden k = 175 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimini maksimum yapan koşulları belirlemek
Paydadaki 2n2−18n+472n^2 - 18n + 47 ifadesinin minimum değeri alması gerektiği tespit edildi.
Logaritma tabanı 1'den büyük olduğundan, kesirli ifadenin en büyük olması için paydasının en küçük olması gerekir.
2
Paydadaki ifadenin tepe noktasını bulmak
r=4,5r = 4,5
2x2−18x+472x^2 - 18x + 47 parabolünün tepe noktası x=−b2ax = -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
3
Dizi tanım kümesi sınırını (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) uygulamak
n=4n = 4 veya n=5n = 5 değerleri seçilir. Paydanın minimum değeri: 2(4)2−18(4)+47=72(4)^2 - 18(4) + 47 = 7
Dizinin terim indisi tam sayı olmak zorundadır. Bu yüzden 4,54,5 değerine en yakın tam sayılar olan 44 ve 55 incelenir.
4
Maksimum terim değerini kullanarak kk değerini hesaplamak
k=175k = 175
a4=log⁡5(k7)=2  ⟹  k7=25  ⟹  k=175a_4 = \log_5\left(\frac{k}{7}\right) = 2 \implies \frac{k}{7} = 25 \implies k = 175 eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) ve genel terim özellikleri
Soru 6Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n
bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=12a_1 = 12 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi olan a6a_6 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin altıncı terimi 2'dir.
Verilen an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yazılıp elde edilen eşitlikler taraf tarafa çarpıldığında, eşitliğin her iki tarafındaki a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1 eşitliğinde a1=12a_1 = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 2 olarak bulunur. Bu durum 2 değerinin yer aldığı seçeneği doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgeme bağıntısını n=1n=1 değerinden başlayarak n=5n=5 değerine kadar yazalım.
n=1n=1 için: a2=12⋅a1a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1
n=2n=2 için: a3=23⋅a2a_3 = \frac{2}{3} \cdot a_2
n=3n=3 için: a4=34⋅a3a_4 = \frac{3}{4} \cdot a_3
n=4n=4 için: a5=45⋅a4a_5 = \frac{4}{5} \cdot a_4
n=5n=5 için: a6=56⋅a5a_6 = \frac{5}{6} \cdot a_5
İstenen terim olan a6a_6'ya ulaşmak için ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmamız gerekir.
2
Elde edilen bu eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(12⋅23⋅34⋅45⋅56)⋅(a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5)a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5)
Çarpımsal indirgemeli dizilerde terimleri sadeleştirmek için taraf tarafa çarpma yöntemi (teleskopik çarpım) kullanılır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri (a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5) ve rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1
Sadeleştirmeler sonucunda dizinin altıncı terimi ile birinci terimi arasında doğrudan bir ilişki kalır.
4
a1=12a_1 = 12 değerini yerine yazarak a6a_6 değerini hesaplayalım.
a6=16⋅12=2a_6 = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2
Başlangıç koşulu kullanılarak aranan terimin sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpımsal indirgemeli dizilerde teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemi kullanılarak genel terim veya belirli bir terim elde edilir.
Soru 7Soru →
Genel terimi
an=n2−9n+142n2−11n+20−ka_n = \frac{n^2 - 9n + 14}{2n^2 - 11n + 20 - k}
olan (an)(a_n) ifadesi bir gerçel sayı dizisi belirttiğine göre, kk pozitif tam sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6 değeri k için kullanılamaz çünkü bu değer dizinin ikinci terimini tanımsız yapmaktadır.
6 değeri k yerine yazıldığında payda ifadesinin köklerinden biri n = 2 pozitif tam sayısı olur. Bu durumda dizinin ikinci terimi olan a_2 tanımsız olacağından ifade bir gerçel sayı dizisi belirtmez.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımından yola çıkarak genel terimin tanımsız olduğu durumları belirleme.
Bir (an)(a_n) ifadesinin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için tanımlı bir gerçel sayıya eşit olması gerekir. Rasyonel bir ifadenin tanımsız olması paydasının sıfır olmasına bağlıdır. Bu nedenle 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin pozitif tam sayılarda kökü olmamalıdır.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
Seçeneklerdeki değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını analiz etme.
6 değeri incelenir. k=6k = 6 için payda 2n2−11n+142n^2 - 11n + 14 olur. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyip çarpanlarına ayırırsak: (2n−7)(n−2)=0(2n - 7)(n - 2) = 0 elde edilir. Buradan kökler n=2n = 2 ve n=72n = \frac{7}{2} bulunur.
Paydayı sıfır yapan nn değerlerinin pozitif tam sayı olup olmadığını kontrol etmek gerekir.
3
Bulunan köklerin dizi terimi indisleriyle uyuşup uyuşmadığını ve belirsizlik durumunu kontrol etme.
n=2n = 2 bir pozitif tam sayı olduğundan dizinin ikinci terimi olan a2a_2 hesaplanırken payda sıfır olur. Pay ise 22−9(2)+14=02^2 - 9(2) + 14 = 0 olur. Bu durumda a2=00a_2 = \frac{0}{0} belirsizliği oluşur. Sadeleştirme yapılsa bile fonksiyonun tanım kümesindeki n=2n = 2 değeri için başlangıçtaki kural tanımsızdır. Dolayısıyla a2a_2 bir gerçel sayı belirtmez.
Sadeleştirilebilir belirsizlik durumları bile ifadenin o noktada tanımsız olmasını engellemez.
4
Diğer seçeneklerin neden dizi belirtmeyi engellemediğini doğrulama.
k=7,9,10,12k = 7, 9, 10, 12 değerleri için 2n2−11n+20−k=02n^2 - 11n + 20 - k = 0 denkleminin diskriminantı sırasıyla Δ=17,33,41,57\Delta = 17, 33, 41, 57 olur. Bu değerler tam kare olmadığından denklemlerin kökleri rasyonel sayı değildir ve dolayısıyla hiçbir pozitif tam sayı değeri paydayı sıfır yapamaz. Bu durumda dizi tanımlı kalır.
Paydanın kökleri pozitif tam sayı değilse dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için her pozitif tam sayı indisi için tanımlı olması gerekir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 8Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+n+2a_{n+1} = a_n + n + 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, a5a_5 teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 21'dir.
Verilen indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazıldığında elde edilen denklemler taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir ve a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 bağıntısına ulaşılır. a1=3a_1 = 3 olduğundan, a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazılır.
a2=a1+3a_2 = a_1 + 3, a3=a2+4a_3 = a_2 + 4, a4=a3+5a_4 = a_3 + 5 ve a5=a4+6a_5 = a_4 + 6 denklemleri elde edilir.
İlk terimden başlanarak ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmak amacıyla bu adımlar uygulanır.
2
Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanarak ortak terimler sadeleştirilir.
a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 eşitliği elde edilir.
Teleskopik sadeleştirme yöntemiyle aradaki terimleri tek tek hesaplamadan doğrudan a5a_5 terimine ulaşmak hedeflenir.
3
a1=3a_1 = 3 değeri denklemde yerine yazılır ve toplama işlemi tamamlanır.
a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 bulunur.
a5a_5 teriminin nihai sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terimler arası geçiş ve teleskopik (zincirleme) toplama yöntemi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
Genel terimi
an=log⁡n+2(n+3)a_n = \log_{n+2}(n+3)
olan bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisi veriliyor.
Buna göre, bu dizinin ilk kk teriminin çarpımı olan
a1⋅a2⋅a3⋯ak=3a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdots a_k = 3
eşitliğini sağlayan kk pozitif tam sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 24

Cevap

k sayısı 24 olarak bulunur.
Dizinin terimleri genel terim formülü kullanılarak yazıldığında elde edilen logaritma çarpımı, logaritmadaki zincir kuralıyla sadeleşerek tabanı 3 ve argümanı k+3 olan tek bir logaritma ifadesine dönüşür. Bu ifadenin 3'e eşitlenmesiyle k+3 = 27 denklemi elde edilir ve k = 24 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin ilk birkaç terimini yazalım.
a1=log⁡34a_1 = \log_3 4, a2=log⁡45a_2 = \log_4 5, a3=log⁡56a_3 = \log_5 6, ..., ak=log⁡k+2(k+3)a_k = \log_{k+2} (k+3)
Genel terim formülünde n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., k yazarak terimleri elde ederiz.
2
Bu terimlerin çarpımını yazıp sadeleştirelim.
a1⋅a2⋯ak=log⁡34⋅log⁡45⋯log⁡k+2(k+3)=log⁡3(k+3)a_1 \cdot a_2 \cdots a_k = \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdots \log_{k+2} (k+3) = \log_3 (k+3)
Logaritmadaki zincir kuralı (taban değiştirme özelliği) gereğince ardışık terimlerin taban ve argümanları birbirini sadeleştirir.
3
Çarpımın sonucunu 3'e eşitleyip k değerini bulalım.
log⁡3(k+3)=3  ⟹  k+3=33  ⟹  k+3=27  ⟹  k=24\log_3 (k+3) = 3 \implies k+3 = 3^3 \implies k+3 = 27 \implies k = 24
Logaritma tanımını kullanarak üslü ifadeye çeviririz ve bilinmeyeni yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

Logaritmik dizilerde terimlerin çarpımı ve logaritma zincir kuralı
Soru 10Soru →

kk bir gerçel sayı olmak üzere,

an=k⋅n2−20n+16a_n = \sqrt{k \cdot n^2 - 20n + 16}

ifadesi bir gerçel sayı dizisinin genel terimi olduğuna göre, kk sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizi genel teriminin tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin her pozitif tam sayı değeri için sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} eşitsizliği elde edilir. Bu ifadenin pozitif tam sayılarda alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.
Genel terimin tanımlı olması için kök içindeki ifadenin tüm pozitif tam sayılarda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu şart k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2} biçiminde yazıldığında, sağdaki ifadenin alabileceği en büyük değer n=2n=2 için 6 olduğundan kk sayısının alabileceği en küçük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin tanım kümesini ve gerçel sayı dizisi olma şartını belirleme.
k⋅n2−20n+16≥0(her n∈Z+ ic¸in)k \cdot n^2 - 20n + 16 \geq 0 \quad (\text{her } n \in \mathbb{Z}^+ \text{ için})
Bir genel terimin gerçel sayı dizisi belirtebilmesi için her pozitif tam sayı (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması, yani kareköklü ifadenin içinin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
2
kk parametresini yalnız bırakarak nn değişkenine bağlı bir eşitsizlik elde etme.
k≥20n−16n2k \geq \frac{20n - 16}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0 dır. Eşitsizliğin her iki tarafı n2n^2 ile bölündüğünde eşitsizliğin yönü değişmez.
3
bn=20n−16n2b_n = \frac{20n - 16}{n^2} dizisinin en büyük terimini bulma.
b1=4b_1 = 4, b2=6b_2 = 6, b3=449≈4,89b_3 = \frac{44}{9} \approx 4,89, b4=4b_4 = 4 ve n≥2n \geq 2 için terimler azalan yöndedir. En büyük terim b2=6b_2 = 6 dır.
kk sayısının her nn pozitif tam sayısı için bu eşitsizliği sağlaması gerektiğinden, kk değeri bu ifadenin alabileceği en büyük değerden büyük veya eşit olmalıdır.
4
kk gerçel sayısının alabileceği en küçük değeri belirleme.
k≥6k \geq 6 olduğundan en küçük kk değeri 6'dır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için eşitsizliğin sağlanabilmesi için kk'nin alabileceği en küçük değer, dizinin en büyük terimi olan 6'ya eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir dizinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesindeki tüm elemanlar (pozitif tam sayılar) için tanımlı olması şartı aranır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →

(an)(a_n) terimleri gerçel sayılardan oluşan bir dizidir.

an=x⋅n2−16n+12n2+3a_n = \sqrt{\frac{x \cdot n^2 - 16n + 12}{n^2 + 3}}

olduğuna göre, xx gerçel sayısının alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

En küçük tam sayı değeri 5'tir.
Dizinin her teriminin tanımlı olması için karekökün içerisi negatif olmamalıdır. Payda daima pozitif olduğundan, pay kısmının da daima sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan elde edilen x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2} eşitsizliğinde sağ taraftaki ifadenin pozitif tam sayılardaki en büyük değeri n=2n = 2 için 5'tir. Bu yüzden xx en az 5 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Karekök içerisindeki ifadenin tanımlılık koşulunu belirleme.
x⋅n2−16n+12≥0x \cdot n^2 - 16n + 12 \ge 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimlerinin gerçel sayı olması için karekökün içerisi negatif olamaz ve payda sıfır olamaz (n2+3>0n^2 + 3 > 0 olduğundan payda sıfır olamaz).
2
xx parametresini nn cinsinden yalnız bırakma.
x≥16n−12n2x \ge \frac{16n - 12}{n^2}
n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ olduğundan n2>0n^2 > 0'dır, bu sayede eşitsizlik yön değiştirmeden her iki taraf n2n^2 ile bölünebilir.
3
f(n)=16n−12n2f(n) = \frac{16n - 12}{n^2} fonksiyonunun pozitif tam sayılardaki maksimum değerini bulma.
Maksimum değer n=2n = 2 için f(2)=5f(2) = 5 olur.
Dizi terimlerinin indisleri pozitif tam sayı olmak zorundadır. n=1n=1 için 4, n=2n=2 için 5, n=3n=3 için 4 değerleri elde edilir ve sonraki terimler azalarak devam eder.
4
xx için sınır değerini belirleme ve en küçük tam sayıyı bulma.
x≥5x \ge 5 şartından en küçük tam sayı değeri 5'tir.
Eşitsizliğin tüm n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ değerleri için sağlanması, xx'in bu kümedeki en büyük değerden büyük veya eşit olmasını gerektirir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olması için tanım kümesi olan pozitif tam sayılar kümesindeki her eleman için reel sayı değerleri üretmesi gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
Soru 12Soru →

I. an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
II. bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
III. cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}

Yukarıda genel terimleri verilen ifadelerden hangileri bir sabit dizi belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

Yalnız II seçeneği doğrudur. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif olduğundan dizi tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır.
Doğru cevap yalnızca ikinci ifadenin sabit bir dizi belirttiğini gösteren seçenektir. Bir ifadenin dizi belirtebilmesi için pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması gerekir. İkinci ifadenin paydasını sıfır yapan değer negatif bir sayı olan -4 sayısıdır. Negatif sayılar dizilerin tanım kümesinde yer almadığı için dizi tüm terimleri için tanımlıdır ve sadeleştirildiğinde sabit bir değer alır. Birinci ve üçüncü ifadelerin paydalarını sıfır yapan değerler ise pozitif tam sayılar olduğundan bu ifadeler dizi belirtmezler.

Adım Adım Çözüm

1
Dizi tanımını ve tanımlılık koşulunu belirleyelim.
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tüm pozitif tam sayılar (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için tanımlı olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan nn değerinin pozitif tam sayı olup olmadığı incelenmelidir.
Dizilerin tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesidir.
2
Birinci ifadeyi inceleyelim: an=2n−6n−3a_n = \frac{2n - 6}{n - 3}
Paydayı sıfır yapan değer n−3=0⇒n=3n - 3 = 0 \Rightarrow n = 3 olur. 33 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 3. terimi (a3a_3) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.
3
İkinci ifadeyi inceleyelim: bn=3n+12n+4b_n = \frac{3n + 12}{n + 4}
Paydayı sıfır yapan değer n+4=0⇒n=−4n + 4 = 0 \Rightarrow n = -4 olur. −4-4 pozitif tam sayı olmadığından dizi tüm pozitif tam sayılarda tanımlıdır. Sadeleştirildiğinde bn=3(n+4)n+4=3b_n = \frac{3(n+4)}{n+4} = 3 sabit değerini alır.
Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için bn=3b_n = 3 sabit değerine eşit olduğundan bu ifade bir sabit dizidir.
4
Üçüncü ifadeyi inceleyelim: cn=4n−82n−4c_n = \frac{4n - 8}{2n - 4}
Paydayı sıfır yapan değer 2n−4=0⇒n=22n - 4 = 0 \Rightarrow n = 2 olur. 22 bir pozitif tam sayı olduğundan, dizinin 2. terimi (c2c_2) tanımsızdır.
Tanımsız terim bulunduğundan bu ifade bir dizi belirtmez.

Anahtar Kavram

Dizi tanım kümesi ve rasyonel sabit dizilerde tanımlılık koşulu.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 13Soru →
(an)(a_n) dizisinin genel terimi
an=log⁡3(n2−10n+34)a_n = \log_3(n^2 - 10n + 34)
olarak veriliyor.
Buna göre, bu dizinin en küçük terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin en küçük terimi 2'dir.
Dizinin genel terimindeki ifadenin en küçük değeri, parabolün tepe noktası olan n = 5 pozitif tam sayısı için gerçekleşir. Bu noktadaki terimin değeri log_3(9) = 2 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin en küçük terimini bulmak için genel terimdeki logaritma fonksiyonunun iç kısmının en küçük değerini alması gerekir.
f(n) = n^2 - 10n + 34 ifadesinin minimum değeri bulunmalıdır.
Logaritma tabanı (3) 1'den büyük olduğu için, logaritmanın içerisindeki ifade kü��üldükçe genel değer de küçülür.
2
İkinci dereceden f(n) = n^2 - 10n + 34 fonksiyonunun tepe noktası apsisi (r) hesaplanır.
r = -(-10) / (2 * 1) = 5
Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında alır.
3
r = 5 de��eri bir pozitif tam sayı olduğu için dizi indisi olarak kullanılabilir. Bu değer genel terimde yerine yazılır.
a_5 = log_3(5^2 - 10 * 5 + 34) = log_3(25 - 50 + 34) = log_3(9)
Dizi tanım kümesi pozitif tam sayılardan oluşur ve n = 5 bu tanıma uygundur.
4
Elde edilen logaritma ifadesinin değeri hesaplanır.
log_3(9) = log_3(3^2) = 2
Logaritma tanımı gereği 3'ün karesi 9'dur, bu nedenle log_3(9) = 2 olur.

Anahtar Kavram

Bir dizinin en küçük terimini bulurken, genel terimi bir fonksiyon gibi düşünerek minimum noktası aranır. Ancak bulunacak minimum noktasının apsisi (n değeri) mutlaka bir pozitif tam sayı olmalıdır.
Soru 14Soru →

İlk terimi a1=4a_1 = 4 olan bir aritmetik dizinin ilk 88 teriminin toplamı S8=88S_8 = 88 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Ortak fark 2'dir.
Dizinin ilk 8 terim toplamı formülü olan S8=4(2a1+7d)S_8 = 4(2a_1 + 7d) ifadesinde verilenler yerine yazılıp 88=4(8+7d)88 = 4(8 + 7d) denklemi kurulur. Bu denklem çözüldüğünde ortak fark 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn teriminin toplamını veren genel formülü yazmak.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d]
İlk nn terim toplamı hesaplanırken kullanılacak temel bağıntıyı kurmak.
2
Soruda verilen değerleri formüle uygulamak.
88=82⋅[2⋅4+(8−1)d]88 = \frac{8}{2} \cdot [2 \cdot 4 + (8 - 1)d]
S8=88S_8 = 88, n=8n = 8 ve a1=4a_1 = 4 değerlerini formülde yerlerine yerleştirmek.
3
Elde edilen denklemi çözerek ortak fark dd değerini bulmak.
d=2d = 2
88=4⋅[8+7d]⇒22=8+7d⇒14=7d⇒d=288 = 4 \cdot [8 + 7d] \Rightarrow 22 = 8 + 7d \Rightarrow 14 = 7d \Rightarrow d = 2 işlemlerini uygulamak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terimin toplam formülünün uygulanması
Soru 15Soru →
Genel terimi
an=2n2+2n+28n+1a_n = \frac{2n^2 + 2n + 28}{n+1}
olan (an)(a_n) dizisinin en küçük terimi kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

Dizinin en küçük terimi 13'tür.
Dizinin genel terimi an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1} biçiminde yazıldığında, ifadenin en küçük değeri n=3n=3 pozitif tam sayısı için 1313 olarak bulunur. Sürekli fonksiyonun minimum noktası tam sayı olmadığından, en yakın tam sayı değerleri kontrol edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim ifadesini sadeleştirmek için payı paydaya bölün veya uygun şekilde gruplayın.
an=2n+28n+1a_n = 2n + \frac{28}{n+1}
Değişkenin etkisini daha rahat incelemek ve fonksiyonun davranışını analiz etmek için.
2
f(x)=2x+28x+1f(x) = 2x + \frac{28}{x+1} sürekli fonksiyonunun türevini alarak sıf��ra eşitleyin.
x≈2.74x \approx 2.74
Sürekli fonksiyonun minimum değerini aldığı kritik noktayı bulmak için.
3
Dizi tanımı gereği nn indisinin pozitif tam sayı olması gerektiğini göz önüne alarak, 2.742.74 değerine en yakın tam sayıları belirleyin.
n=2n = 2 ve n=3n = 3
En küçük terimin bu tam sayılardan birinde gerçekleşeceğini bilmek.
4
n=2n=2 ve n=3n=3 değerlerini genel terimde yerine koyarak terim değerlerini hesaplayın.
a2=403≈13.33a_2 = \frac{40}{3} \approx 13.33 ve a3=13a_3 = 13
Hangi tam sayı değerinin daha küçük sonuç verdiğini bulmak için.
5
Bulunan sonuçları karşılaştırarak en küçük değeri belirleyin.
En küçük terim a3=13a_3 = 13 olarak bulunur.
Karşılaştırma sonucunda 13<13.3313 < 13.33 olduğundan.

Anahtar Kavram

Dizi tanımı gereği genel terim fonksiyonunun tanım kümesinin pozitif tam sayılar kümesi olması ve bu küme üzerinde en küçük değerin bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →

Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36

olduğuna göre, bu dizinin 6. terimi (a6a_6) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Dizinin 6. terimi 6'dır.
Geometrik dizilerde an2=an−k⋅an+ka_n^2 = a_{n-k} \cdot a_{n+k} özelliği vardır. Burada n=6n=6 ve k=4k=4 seçilirse a62=a2⋅a10a_6^2 = a_2 \cdot a_{10} olur. a2⋅a10=36a_2 \cdot a_{10} = 36 olduğuna göre a62=36a_6^2 = 36 elde edilir. Terimleri pozitif gerçek sayılar olan bu dizide a6=6a_6 = 6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
a2⋅a10=a62a_2 \cdot a_{10} = a_6^2 eşitliğini kurun.
a62=36a_6^2 = 36
Geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Burada 2+10=2⋅62 + 10 = 2 \cdot 6 olduğundan terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir.
2
a6a_6 değerini bulun.
a6=6a_6 = 6
a62=36a_6^2 = 36 denkleminin kökleri 66 ve −6-6'dır. Dizinin terimleri pozitif gerçek sayılar olarak tanımlandığı için pozitif olan kök alınır.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizide, indisleri toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir. Özel olarak, ak⋅am=ak+m22a_k \cdot a_m = a_{\frac{k+m}{2}}^2 bağıntısı vardır.
Soru 17Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin genel terimi
an=n−52n−ka_n = \sqrt{\frac{n-5}{2n-k}}
olarak veriliyor.
Buna göre, kk tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Doğru cevap 20 değeridir.
Doğru cevap 20'dir. Çünkü (an)(a_n) ifadesinin bir gerçel sayı dizisi belirtmesi için her nn pozitif tam sayısı için tanımlı olması gerekir. Karekökün içinin negatif olmaması ve paydanın sıfır olmaması koşulları incelendiğinde, kk tam sayısının 8<k<128 < k < 12 aralığında olması ve k≠10k \neq 10 şartını sağlaması gerektiği bulunur. Bu koşulları sağlayan kk tam sayıları 9 ve 11'dir, toplamları ise 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin gerçel sayı dizisi belirtmesi için gerekli tanım koşullarını belirleme
Kareköklü ifadenin tanımlı olması için kök içinin sıfırdan büyük veya eşit olması ve paydanın sıfırdan farklı olması gerekir. Yani, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için n−52n−k≥0\frac{n-5}{2n-k} \geq 0 ve 2n−k≠02n-k \neq 0 olmalıdır.
Bir dizinin terimleri gerçel sayılardan oluşmalıdır ve tanım kümesi pozitif tam sayılardır.
2
n=5n = 5 durumunu inceleme
n=5n = 5 için pay sıfır olur: 010−k≥0\frac{0}{10-k} \geq 0. Bu ifadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır, yani 10−k≠0  ⟹  k≠1010-k \neq 0 \implies k \neq 10 olmalıdır.
Payda sıfır olduğunda ifade tanımsız olur.
3
n<5n < 5 (yani n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\}) durumunu inceleme
n<5n < 5 için pay (n−5)(n-5) negatiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da negatif olmalıdır. Buradan 2n−k<0  ⟹  k>2n2n-k < 0 \implies k > 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n∈{1,2,3,4}n \in \{1, 2, 3, 4\} değerleri için sağlanması için en büyük nn değeri olan n=4n=4 için sağlanması yeterlidir: k>2(4)  ⟹  k>8k > 2(4) \implies k > 8.
Negatif bir sayının negatif bir sayıya b��lümü pozitif sonuç verir.
4
n>5n > 5 (yani n≥6n \geq 6) durumunu inceleme
n>5n > 5 için pay (n−5)(n-5) pozitiftir. İfadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için payda (2n−k)(2n-k) da pozitif olmalıdır. Buradan 2n−k>0  ⟹  k<2n2n-k > 0 \implies k < 2n elde edilir. Bu eşitsizliğin tüm n≥6n \geq 6 değerleri için sağlanması için en küçük nn değeri olan n=6n=6 için sağlanması yeterlidir: k<2(6)  ⟹  k<12k < 2(6) \implies k < 12.
Pozitif bir sayının pozitif bir sayıya bölümü pozitif sonuç verir.
5
Elde edilen tüm koşulları birleştirme ve kk tam sayılarını bulma
Koşullar birleştirildiğinde 8<k<128 < k < 12 ve k≠10k \neq 10 elde edilir. Bu aralıktaki kk tam sayıları 9 ve 11'dir. Toplamları ise 9+11=209 + 11 = 20 olur.
Tüm indis değerleri (n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+) için fonksiyonun tanımlı olmasını sağlayan ortak aralık bulunmalıdır.

Anahtar Kavram

Bir ifadenin gerçel sayı dizisi belirtmesi için tanım kümesindeki her nn pozitif tam sayısı için tanımlı ve reel sayı değerine eşit olması gerekir. Kareköklü ifadelerde kök içi negatif olamaz ve rasyonel ifadelerde payda sıfır olamaz.
Soru 18Soru →

Bir (an)(a_n) geometrik dizisinde ortak çarpan r=3r = 3 ve dördüncü terim a4=54a_4 = 54 olarak verilmektedir.

Buna göre, bu geometrik dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İlk terimi 2 olan seçenektir.
Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle bulunur. Soruda verilen a4=54a_4 = 54 ve r=3r = 3 değerleri formülde yerine yazılırsa:
54=a1⋅34−154 = a_1 \cdot 3^{4-1}
54=a1⋅3354 = a_1 \cdot 3^3
54=a1⋅2754 = a_1 \cdot 27
Buradan a1=2a_1 = 2 olarak bulunur. Dolayısıyla ilk terimi 2 olan seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Bir geometrik dizinin genel terim formülün�� yazmak.
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Dizinin verilen dördüncü terimi ve ortak çarpanı yardımıyla ilk terimine ulaşmak için genel terim formülü kullanılmalıdır.
2
Formülde verilen değerleri (n=4n = 4, r=3r = 3 ve a4=54a_4 = 54) yerine yazıp a1a_1 değerini çekmek.
54=a1⋅34−1  ⟹  54=a1⋅33  ⟹  54=27⋅a1  ⟹  a1=254 = a_1 \cdot 3^{4-1} \implies 54 = a_1 \cdot 3^3 \implies 54 = 27 \cdot a_1 \implies a_1 = 2
Verilen terim ve ortak çarpan değerleri yerine konularak ilk terim cebirsel olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terim formülü olan an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} bağıntısının uygulanması.
Soru 19Soru →

İlk terimi 55 ve ortak farkı 33 olan bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Sn=258S_n = 258

olduğuna göre, bu dizinin nn. terimi (ana_n) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 38

Cevap

Dizinin n. terimi olan 38'dir.
Verilen toplam ve ilk terim değerleri aritmetik dizinin ilk nn terim toplam formülünde yerine konulduğunda 3n2+7n−516=03n^2 + 7n - 516 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü n=12n = 12 olarak bulunur. Dizinin genel terim formülünden 1212. terim hesaplandığında a12=5+11⋅3=38a_{12} = 5 + 11 \cdot 3 = 38 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülü Sn=n2[2a1+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] ifadesinde verilen Sn=258S_n = 258, a1=5a_1 = 5 ve d=3d = 3 değerlerini yerine yazmak.
258=n2[2⋅5+(n−1)⋅3]⇒516=n(3n+7)⇒3n2+7n−516=0258 = \frac{n}{2} [2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3] \Rightarrow 516 = n(3n + 7) \Rightarrow 3n^2 + 7n - 516 = 0 denklemi elde edilir.
Terim sayısını (nn) bulabilmek için ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturulması gerekir.
2
Elde edilen 3n2+7n−516=03n^2 + 7n - 516 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek.
(3n+43)(n−12)=0(3n + 43)(n - 12) = 0 ifadesinden n=12n = 12 veya n=−433n = -\frac{43}{3} bulunur. Terim sayısı pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan n=12n = 12 olarak alınır.
Dizilerde terim indisi ve terim sayısı daima pozitif tam sayı olmalıdır.
3
Dizinin genel terim formülü olan an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d ifadesinde n=12n = 12 yazarak a12a_{12} değerini hesaplamak.
a12=5+(12−1)⋅3=5+33=38a_{12} = 5 + (12-1) \cdot 3 = 5 + 33 = 38 bulunur.
Bulunan terim sayısı yardımıyla dizinin ilgili terimini elde etmek amaçlanır.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) ve genel terim an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d formülleriyle hesaplanır.
Soru 20Soru →

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S6=3⋅S3S_6 = 3 · S_3
a5=12a_5 = 12

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ilk terimi 4'tür.
Dizinin ilk n terim toplamı formülü kullanılarak S3S_3 ve S6S_6 terimleri a1a_1 ve dd cinsinden yazıldığında, S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğinden a1=2da_1 = 2d bağıntısına ulaşılır. a5=a1+4d=12a_5 = a_1 + 4d = 12 eşitliğinde bu bağıntı yerine yazıldığında d=2d = 2 ve dolayısıyla a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülü yardımıyla S3S_3 ve S6S_6 terimlerini a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden ifade etme.
S3=3a1+3dS_3 = 3a_1 + 3d ve S6=6a1+15dS_6 = 6a_1 + 15d elde edilir.
Dizinin toplam formülünü kullanarak verilen toplamlar arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile dd arasındaki bağıntıyı bulma.
6a1+15d=3(3a1+3d)  ⟹  6a1+15d=9a1+9d  ⟹  6d=3a1  ⟹  a1=2d6a_1 + 15d = 3(3a_1 + 3d) \implies 6a_1 + 15d = 9a_1 + 9d \implies 6d = 3a_1 \implies a_1 = 2d elde edilir.
Toplamlar arasındaki orandan ilk terim ile ortak fark arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
Genel terim formülüyle a5=12a_5 = 12 eşitliğini yazıp elde edilen a1=2da_1 = 2d bağıntısını yerine koyarak dd ve ardından a1a_1 değerlerini hesaplama.
a5=a1+4d  ⟹  12=2d+4d  ⟹  6d=12  ⟹  d=2a_5 = a_1 + 4d \implies 12 = 2d + 4d \implies 6d = 12 \implies d = 2 bulunur. Buradan a1=2d=2(2)=4a_1 = 2d = 2(2) = 4 elde edilir.
Bilinen bir terim yardımıyla bilinmeyen parametreleri çözüp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Sayfa 1 / 10Sonraki
Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin