Examkin

Soru

Zorluk: KolayLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡5(x−39−x)f(x) = \log_{5}\left(\frac{x - 3}{9 - x}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. 30Cevap
  2. B
    33
  3. C
    42
  4. D
    24
  5. E
    15

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 30'dur.
Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban pozitif ve 1'den farklı, logaritmanın içi ise sıfırdan büyük olmalıdır. Verilen fonksiyonda taban 5 olup bu şartları sağlar. Logaritmanın içinin pozitif olması koşuluyla \frac{x-3}{9-x} > 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde en geniş tanım kümesi (3, 9) açık aralığı olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların (4, 5, 6, 7, 8) toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım şartları belirlenir.
Taban 5 sayısı olduğundan taban şartı (5>05 > 0 ve 5≠15 \neq 1) sağlanmaktadır. Bu durumda yalnızca logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması yani x−39−x>0\frac{x-3}{9-x} > 0 şartı incelenmelidir.
Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliğin kökleri bulunur.
Payın kökü x−3=0⇒x=3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ve paydanın kökü 9−x=0⇒x=99 - x = 0 \Rightarrow x = 9 olarak bulunur.
İşaret tablosu oluşturmak için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerinin bulunması gerekir.
3
İşaret tablosu oluşturulur ve eşitsizliğin çözüm kümesi belirlenir.
Payın en yüksek dereceli teriminin işareti pozitif (+), paydanın en yüksek dereceli teriminin işareti negatiftir (-). Oranları negatif (-) olduğundan tablonun en sağından eksi (-) işareti ile başlanır. Köklerden geçerken işaret değiştirilerek tablo tamamlanır: x<3x < 3 için (-), 3<x<93 < x < 9 için (+), x>9x > 9 için (-) olur. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi (3, 9) açık aralığıdır.
Eşitsizliğin pozitif olduğu aralığı bulmak için işaret incelemesi yapılmalıdır.
4
Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı hesaplanır.
(3, 9) açık aralığındaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı 4+5+6+7+8=304 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 olarak bulunur.
Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı değerine ulaşmak için bu aralıktaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi bulunurken tabanın pozitif ve 1'den farklı, argümanın (logaritmanın içinin) ise sıfırdan büyük olması şartları birlikte sağlanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi