f(x) = \log_{15 - x}(x^2 - 6x - 16) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam s… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{15 - x}(x^2 - 6x - 16)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı kaçtır?

Doğru cevap 55'tir. Bu değer, tanım kümesini oluşturan pozitif tam sayıların (9, 10, 11, 12, 13) toplamıdır.

Logaritma tanımı gereği, taban

15 - x > 0

15 - x \neq 1

koşullarını sağlarken, argüman da

x^2 - 6x - 16 > 0

koşulunu sağlamalıdır. Bu koşulları sağlayan pozitif tam sayılar

9, 10, 11, 12, 13

olup, toplamları 55 değerine ulaşır.

Logaritmanın içinin pozitif olma koşulunu belirleyelim.

x^2 - 6x - 16 > 0

eşitsizliğinden

(x - 8)(x + 2) > 0

elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri

x = -2

x = 8

'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı

(-\infty, -2) \cup (8, \infty)

bulunur.

Bir logaritma ifadesinde logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır.

Logaritmanın taban koşullarını belirleyelim.

Taban

15 - x > 0 \implies x < 15

olmalıdır. Ayrıca taban 1'den farklı olmalıdır:

15 - x \neq 1 \implies x \neq 14

Logaritmanın tabanı pozitif olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır.

Elde edilen koşulların kesişimini alıp pozitif tam sayıları bulalım.

Kesişim kümesi:

((8, \infty) \cap (-\infty, 15)) \setminus \{14\} = (8, 15) \setminus \{14\}

aralığıdır. (Pozitif tam sayılar istendiğinden

(-\infty, -2)

aralığı elenir). Bu aralıktaki pozitif tam sayılar

9, 10, 11, 12, 13

'tür.

En geniş tanım kümesindeki elemanlar tüm koşulları aynı anda sağlamalıdır.

Belirlenen pozitif tam sayıların toplamını hesaplayalım.

9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 55

Soru kökünde en geniş tanım kümesindeki pozitif tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanın pozitif (

f(x) > 0

), tabanın pozitif ve 1'den farklı (

g(x) > 0

g(x) \neq 1

) olması koşullarının kesişimi alınmalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru