Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡6−x(x2−3x−10x−1)f(x) = \log_{6-x}\left(\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    −3-3
  2. B
    00
  3. −1-1Cevap
  4. D
    44
  5. E
    55

Cevap

−1-1
Doğru cevap −1-1'dir. Taban koşullarından x<6x < 6 ve x≠5x \neq 5 elde edilir. Argümanın pozitiflik şartından ise (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) aralıkları elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi (−2,1)∪(5,6)(-2, 1) \cup (5, 6) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar yalnızca −1-1 ve 00'dır. Bu sayıların toplamı da −1-1 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Taban şartını belirlemek.
6−x>0  ⟹  x<66-x > 0 \implies x < 6 ve 6−x≠1  ⟹  x≠56-x \neq 1 \implies x \neq 5 elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Argüman şartını belirlemek ve çarpanlara ayırmak.
x2−3x−10x−1>0  ⟹  (x−5)(x+2)x−1>0\frac{x^2 - 3x - 10}{x-1} > 0 \implies \frac{(x-5)(x+2)}{x-1} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır. İşaret tablosu yapmak için ifade çarpanlarına ayrılır.
3
Eşitsizlik köklerini bulmak ve işaret tablosunu oluşturmak.
Kökler x=−2x = -2, x=1x = 1 ve x=5x = 5'tir. İşaret tablosunda en sağ bölge pozitif (+)(+) ile başlar ve köklerde işaret değiştirilerek aralıklar (−2,1)∪(5,∞)(-2, 1) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin pozitif olduğu bölgeleri saptamak için k��kler bulunup işaret tablosu oluşturulur.
4
Taban ve argüman şartlarının kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirlemek.
x∈(−2,1)∪(5,6)x \in (-2, 1) \cup (5, 6) elde edilir.
Fonksiyonun her iki şartı da aynı anda sağlaması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplamak.
Tanım kümesindeki tam sayılar −1-1 ve 00'dır. Toplamları: (−1)+0=−1(-1) + 0 = -1.
Belirlenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı sorulmaktadır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Bu şartlar rasyonel eşitsizlik çözümüyle kesiştirilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi