Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−1(36−x2x+3)f(x) = \log_{x - 1}\left(\frac{36 - x^2}{x + 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 12'dir.
Logaritmanın tanımlı olması için taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2). Argümanın pozitif olması için ise 36−x2x+3>0\frac{36-x^2}{x+3} > 0 eşitsizliği çözüldüğünde x∈(−∞,−6)∪(−3,6)x \in (-\infty, -6) \cup (-3, 6) elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi olan (1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\} aralığındaki tam sayılar 3,4,53, 4, 5 olup toplamları 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlılık şartlarını belirlemek
x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2
Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Argümanın pozitiflik şartını yazmak
36−x2x+3>0\frac{36 - x^2}{x + 3} > 0
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanı pozitif olmalıdır.
3
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve işaret incelemesi yapmak
Kökler: x=−6x = -6, x=−3x = -3, x=6x = 6; Çözüm aralığı: (−∞,−6)∪(−3,6)(-\infty, -6) \cup (-3, 6)
Rasyonel ifadenin işaretini belirlemek amacıyla pay ve payda kökleri bulunarak işaret tablosu oluşturulur.
4
Koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini elde etmek
(1,6)∖{2}(1, 6) \setminus \{2\}
Hem taban koşullarının hem de argümanın pozitiflik koşulunun aynı anda sağlanması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak
3,4,53, 4, 5 tam sayıları; Toplam: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12
Elde edilen aralıktaki tam sayılar tespit edilir ve toplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonu log⁡g(x)f(x)\log_{g(x)}f(x) biçiminde tanımlandığında en geniş tanım kümesi için f(x)>0f(x) > 0, g(x)>0g(x) > 0 ve g(x)≠1g(x) \neq 1 şartlarının tamamı aynı anda sağlanmalıdır.

Alternatif Yöntem

Taban şartından dolayı x>1x > 1 ve x≠2x \neq 2 olması gerektiği bilindiğinden, en geniş tanım kümesindeki tam sayı adayları 3,4,5,6,7,…3, 4, 5, 6, 7, \dots olarak sıralanabilir. Bu değerler fonksiyonda sırayla yerine yazılarak argümanın pozitif kalıp kalmadığı kontrol edilebilir: x=3x = 3 için 276>0\frac{27}{6} > 0 (sağlar), x=4x = 4 için 207>0\frac{20}{7} > 0 (sağlar), x=5x = 5 için 118>0\frac{11}{8} > 0 (sağlar). x=6x = 6 için pay 0 olur ve tanımsızlık oluşur. x>6x > 6 değerleri için pay negatif, payda ise pozitif olduğundan argüman daima negatif çıkar ve tanımlılık sağlanmaz. Buradan sadece 3,4,53, 4, 5 değerlerinin sağladığı görülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi