Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=18\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18
∫15f(x) dx=24\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 24
∫810f(x) dx=10\int_{8}^{10} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫810f(x2) dx+∫45f(9−x) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx + \int_{4}^{5} f(9-x) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
  1. 18Cevap
  2. B
    26
  3. C
    12
  4. D
    6
  5. E
    9

Cevap

18
Doğru seçenekte, her iki integralde de değişken değiştirme kuralları eksiksiz uygulanmıştır. İlk integralde u=x/2u = x/2 dönüşümüyle sınırlar [4, 5] aralığına güncellenmiş ve diferansiyelden gelen 2 çarpanı ile integral değeri 12 bulunmuştur. İkinci integralde v=9−xv = 9-x dönüşümüyle sınırlar [5, 4] olmuş, diferansiyeldeki eksi işareti sınırların sırasını düzelterek [4, 5] aralığında integral değeri olan 6'yı vermiştir. İki değerin toplamından 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral sınırlarını ilişkilendirmek için öncelikle verilen ilk iki integrali kullanarak [4, 5] aralığındaki integral değerini bulalım.
∫45f(x) dx=∫15f(x) dx−∫14f(x) dx=24−18=6\int_{4}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 24 - 18 = 6
Belirli integralin aralık ekleme özelliği kullanılarak [4, 5] aralığı elde edilmiştir.
2
Sorulan ifadedeki birinci integral olan ∫810f(x2) dx\int_{8}^{10} f\left(\frac{x}{2}\right) \, dx ifadesinde u=x2u = \frac{x}{2} değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=12dx  ⟹  dx=2 dudu = \frac{1}{2} dx \implies dx = 2 \, du
Sınırlar:
x=8  ⟹  u=4x = 8 \implies u = 4
x=10  ⟹  u=5x = 10 \implies u = 5
Yeni integral:
2∫45f(u) du=2⋅6=122 \int_{4}^{5} f(u) \, du = 2 \cdot 6 = 12
Değişken değiştirme yöntemi uygulanarak integral bilinen [4, 5] aralığına taşınmış ve diferansiyel ile sınırlar güncellenmiştir.
3
Sorulan ifadedeki ikinci integral olan ∫45f(9−x) dx\int_{4}^{5} f(9-x) \, dx ifadesinde v=9−xv = 9-x değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=−dx  ⟹  dx=−dvdv = -dx \implies dx = -dv
Sınırlar:
x=4  ⟹  v=5x = 4 \implies v = 5
x=5  ⟹  v=4x = 5 \implies v = 4
Yeni integral:
∫54f(v) (−dv)=∫45f(v) dv=6\int_{5}^{4} f(v) \, (-dv) = \int_{4}^{5} f(v) \, dv = 6
Eksi işareti integral sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltir ve yine bilinen [4, 5] aralığındaki integral elde edilir.
4
Bulunan iki integral değerini toplayalım.
12+6=1812 + 6 = 18
İki integralin değerlerinin toplamı sorulan ifadenin nihai sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyelin doğru şekilde güncellenmesi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral aralıklarını ve dönüşümleri grafiksel veya alan kaydırma (öteleme/genişletme) mantığıyla da düşünebilirsiniz. Örneğin f(9−x)f(9-x) ifadesi f(x)f(x) fonksiyonunun x=4.5x = 4.5 doğrusuna göre simetriğidir, dolayısıyla [4, 5] aralığındaki integral değeri f(x)f(x)'in [4, 5] aralığındaki integral değerine eşittir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru