Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(1)=5f(1) = 5
f(2)=11f(2) = 11
f(7)=17f(7) = 17
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
∫12x2⋅f′(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    2
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    15
  5. E
    9

Cevap

İntegralin doğru değeri 5'tir.
İntegralde u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} olur. Sınırlar x=1x=1 için u=0u=0, x=2x=2 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu durumda integral 13∫07f′(u) du=13[f(7)−f(0)]\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f'(u) \, du = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 13(17−2)=5\frac{1}{3} (17 - 2) = 5 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi tanımlanır ve diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ifadesinin dönüştürülmesi gerekir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınır değerlerinin de yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılarak integral değeri hesaplanır.
∫12x2⋅f′(x3−1) dx=∫07f′(u)⋅du3=13[f(7)−f(0)]\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f'(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] ifadesinden 13[17−2]=5\frac{1}{3} [17 - 2] = 5 elde edilir.
Temel analiz teoremi kullanılarak türevi verilen fonksiyonun integral değeri hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru bir şekilde güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının hesaba katılması.

Alternatif Yöntem

İntegral içindeki ifade, bileşke fonksiyonun türev kuralı yardımıyla doğrudan fark edilebilir. d(f(x3−1))=3x2⋅f′(x3−1) dxd(f(x^3 - 1)) = 3x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx olduğundan, integral içerisindeki terim 13d(f(x3−1))\frac{1}{3} d(f(x^3 - 1)) şeklinde yazılabilir. Buradan belirli integral doğrudan [13f(x3−1)]12=13[f(7)−f(0)]\left[ \frac{1}{3} f(x^3 - 1) \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] olarak çözülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru