Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{5} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 10

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,

\int_{0}^{2} (f(2x + 1) + 3x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri 11 olarak bulunur.

Verilen integral iki parçaya bölünerek incelenir. İlk parça olan

f(2x+1)

integrali için

u=2x+1

dönüşümü yapıldığında sınırlar

1

5

olur ve integral değeri

5

olarak bulunur. İkinci parça olan

3x

ifadesinin belirli integrali ise

6

çıkar. Bu iki değerin toplamı olan 11 doğru cevaptır.

İntegrali toplama özelliğini kullanarak iki ayrı integral haline getirin.

\int_{0}^{2} f(2x + 1) \, dx + \int_{0}^{2} 3x \, dx

Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir.

Birinci integralde

u = 2x + 1

değişken değiştirmesini uygulayın.

u = 2x + 1 \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

Sınırlar için:

x = 0 \implies u = 1

x = 2 \implies u = 5

Yeni integral:

\int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du

Değişken de��iştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini yeni değişken cinsinden ifade etmek gerekir.

Birinci integralin değerini hesaplayın.

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \times 10 = 5

Verilen belirli integral değeri yerine yazılır.

İkinci integralin değerini hesaplayın.

\int_{0}^{2} 3x \, dx = \left[ \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3(2)^2}{2} - 0 = 6

Polinom fonksiyonların belirli integral alma kuralları uygulanır.

Elde edilen iki integral değerini toplayın.

5 + 6 = 11

İlk adımda ayrıştırılan iki parçanın toplamı genel sonucu verir.

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Lineerlik Özellikleri

İntegrali doğrudan çözmek yerine grafiğin yatayda sıkışma ve öteleme özelliklerini düşünerek alanı yorumlayabilirsiniz.

f(2x+1)

grafiği,

f(x)

grafiğinin

1

birim sola ötelenip

2

kat yatayda daraltılmış halidir. Sınırlar da bu daralmaya uygun olarak yarıya indiğinden alan da yarıya inecektir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru