f fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur. \int_{1}^{4} f(x) \, dx = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur.

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 10

olduğuna göre,

\int_{4}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

İntegralin değeri 12'dir.

Verilen ikinci integralde yapılan değişken değiştirme ile elde edilen

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20

değeri, aralık bölme özelliği kullanılarak

[1, 4]

aralığındaki integral değeri olan 8 ile toplanır ve buradan

\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12

sonucuna ulaşılır.

İkinci integralde değişken değiştirme yapılması

u = x^2

dönüşümü ile

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içindeki

x^2

ifadesini tek bir değişkene indirgeyerek bilinen belirli integral özelliklerini uygulayabilmek için.

Değişken değiştirmeye göre integral sınırlarının güncellenmesi

Yeni integral sınırları alt sınır için

u = 1

, üst sınır için

u = 9

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, entegrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerektiği için.

Elde edilen integralin değerinin hesaplanması

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20

olarak bulunur.

Değişken değiştirme sonucunda elde edilen

\frac{1}{2} \int_{1}^{9} f(u) \, du = 10

eşitliğinden yararlanarak.

Aralık bölme özelliği yardımıyla istenen integralin bulunması

\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12

elde edilir.

[1, 9]

aralığındaki integralin

[1, 4]

[4, 9]

aralıklarındaki integrallerin toplamına eşit olması özelliğinden faydalanarak.

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri.

Soru