Examkin

Belirli İntegral ve Özellikleri

50 soru

Tüm türler50Çoktan seçmeli24Sayısal26
Soru 1Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫1xf(t) dt+∫14−xf(t) dt=x2−4x+10\int_{1}^{x} f(t) \, dt + \int_{1}^{4-x} f(t) \, dt = x^2 - 4x + 10
eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İstenen integralin değeri 4'tür.
Verilen denklemde sırasıyla x=3x=3 ve x=2x=2 değerleri yazılarak ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7 ve ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3 değerleri elde edilir. Ardından, integralin aralık bölme özelliği olan ∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx eşitliği kullanılarak istenen integralin değeri 7−3=47 - 3 = 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitlikte x=3x = 3 yazarak ∫13f(t) dt\int_{1}^{3} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫13f(t) dt+∫11f(t) dt=32−4(3)+10  ⟹  ∫13f(t) dt+0=7  ⟹  ∫13f(t) dt=7\int_{1}^{3} f(t) \, dt + \int_{1}^{1} f(t) \, dt = 3^2 - 4(3) + 10 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt + 0 = 7 \implies \int_{1}^{3} f(t) \, dt = 7
x=3x = 3 yazıldığında ikinci integralin sınırları 1'den 1'e olacağı için değeri belirli integralin özelliği gereği 0 olur.
2
Eşitlikte x=2x = 2 yazarak ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt integralinin değerini elde etmek.
∫12f(t) dt+∫12f(t) dt=22−4(2)+10  ⟹  2∫12f(t) dt=6  ⟹  ∫12f(t) dt=3\int_{1}^{2} f(t) \, dt + \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 2^2 - 4(2) + 10 \implies 2 \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{1}^{2} f(t) \, dt = 3
x=2x = 2 yazıldığında her iki integral de ∫12f(t) dt\int_{1}^{2} f(t) \, dt haline gelir.
3
Belirli integralin parçalama özelliğini kullanarak istenen aralıktaki integrali hesaplamak.
∫13f(x) dx=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx  ⟹  7=3+∫23f(x) dx  ⟹  ∫23f(x) dx=4\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies 7 = 3 + \int_{2}^{3} f(x) \, dx \implies \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 4
[1,3][1, 3] aralığındaki belirli integral, [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarındaki integrallerin toplamı olarak yazılabilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların parçalanması özelliği ve alt-üst sınırları eşit olan belirli integralin değerinin sıfır olması.
Soru 2Soru →

ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli bir fonksiyondur.

∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
∫13x⋅f(x2) dx=10\int_{1}^{3} x \cdot f(x^2) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫49f(x) dx\int_{4}^{9} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen ikinci integralde yapılan değişken değiştirme ile elde edilen ∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 değeri, aralık bölme özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral değeri olan 8 ile toplanır ve buradan ∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci integralde değişken değiştirme yapılması
u=x2u = x^2 dönüşümü ile x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içindeki x2x^2 ifadesini tek bir değişkene indirgeyerek bilinen belirli integral özelliklerini uygulayabilmek için.
2
Değişken değiştirmeye göre integral sınırlarının güncellenmesi
Yeni integral sınırları alt sınır için u=1u = 1, üst sınır için u=9u = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, entegrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerektiği için.
3
Elde edilen integralin değerinin hesaplanması
∫19f(x) dx=20\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 20 olarak bulunur.
Değişken değiştirme sonucunda elde edilen 12∫19f(u) du=10\frac{1}{2} \int_{1}^{9} f(u) \, du = 10 eşitliğinden yararlanarak.
4
Aralık bölme özelliği yardımıyla istenen integralin bulunması
∫49f(x) dx=12\int_{4}^{9} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
[1,9][1, 9] aralığındaki integralin [1,4][1, 4] ve [4,9][4, 9] aralıklarındaki integrallerin toplamına eşit olması özelliğinden faydalanarak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri.
Soru 3Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğu bilinmektedir.
Buna göre,
∫12x⋅f(x2) dx+∫25f(x−1) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx + \int_{2}^{5} f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Toplamın değeri 12 olarak elde edilir.
Belirli integrallerde sırasıyla u=x2u = x^2 ve v=x−1v = x - 1 dönüşümleri yapıldığında, her iki integral de [1,4][1, 4] aralığındaki ff integraline dönüşür. Sınırların güncellenmesiyle ilk integral 12∫14f(u) du=4\frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = 4 ve ikinci integral ∫14f(v) dv=8\int_{1}^{4} f(v) \, dv = 8 olur. Bu iki değerin toplamından doğru cevap 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12x⋅f(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx ifadesinde u=x2u = x^2 değişken değiştirmesini uygulayalım.
du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=1x = 1 için u=12=1u = 1^2 = 1 ve x=2x = 2 için u=22=4u = 2^2 = 4 olur.
Değişkeni ve sınırları yeni uu değişkenine göre ifade etmek için.
2
Bulduğumuz değerleri ilk integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫12x⋅f(x2) dx=∫14f(u)⋅du2=12∫14f(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri 12⋅8=4\frac{1}{2} \cdot 8 = 4 olarak bulunur.
Belirli integralde değişkenin adının sonucu değiştirmemesi özelliğini kullanmak için.
3
İkinci integral olan ∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx ifadesinde v=x−1v = x - 1 değişken değiştirmesini uygulayalım.
dv=dxdv = dx elde edilir. İntegral sınırlarını güncellersek: x=2x = 2 için v=2−1=1v = 2 - 1 = 1 ve x=5x = 5 için v=5−1=4v = 5 - 1 = 4 olur.
İntegrali verilen temel f(x)f(x) integraline benzetmek için.
4
Bulduğumuz değerleri ikinci integralde yerine yazarak integralin değerini hesaplayalım.
∫25f(x−1) dx=∫14f(v) dv\int_{2}^{5} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{4} f(v) \, dv olur. Soruda verilen ∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 bilgisini kullanırsak, bu integralin değeri de 88 olarak bulunur.
Yatay öteleme sonrası sınırları güncellenen integralin değerini bulmak için.
5
İki integralin elde edilen değerlerini toplayalım.
4+8=124 + 8 = 12 elde edilir.
Soruda istenen toplam integral değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6
eqitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫13(3x2−12x)f(x) dx\int_{1}^{3} (3x^2 - 12x) f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -66

Cevap

İntegralin değeri -66'dır.
Soruda verilen integral x=2x=2 simetri eksenine göre düzenlendiğinde 3x2−12x=3(x−2)2−123x^2 - 12x = 3(x-2)^2 - 12 olarak parçalanır. Elde edilen iki ayrı integral teriminde t=4−xt = 4-x dönüşümü uygulanıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 simetri bağıntısı kullanıldığında, birinci integralin değeri 22, ikinci integralin değeri ise 66 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç −66-66 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral içindeki 3x2−12x3x^2 - 12x karesel ifadesini simetri merkezi olan x=2x=2 değerine göre 3(x−2)2−123(x-2)^2 - 12 biçiminde yeniden yazmak ve integrali iki parçaya ayırmak.
I=3∫13(x−2)2f(x) dx−12∫13f(x) dxI = 3 \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx - 12 \int_{1}^{3} f(x) \, dx
Verilen f(2+x)+f(2−x)=6f(2+x) + f(2-x) = 6 simetri özelliğini integral sınırları olan [1,3][1, 3] aralığında verimli kullanabilmek için.
2
J=∫13f(x) dxJ = \int_{1}^{3} f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi yapıp f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 bağıntısını kullanarak integral değerini hesaplamak.
J=6J = 6
Belirli integralin sınır değiştirme ve fonksiyon simetrisi özelliğinden yararlanarak bilinmeyen f(x)f(x) fonksiyonunun integralini çözmek.
3
K=∫13(x−2)2f(x) dxK = \int_{1}^{3} (x-2)^2 f(x) \, dx integralinde t=4−xt = 4-x değişken değiştirmesi uygulayarak terimi sadeleştirmek ve bilinen bir polinomsal integrale indirgemek.
K=2K = 2
x=2x=2 noktasına göre simetrik karesel çarpanın integral üzerindeki etkisini simetri özellikleri yardımıyla sayısal bir değere dönüştürmek.
4
Elde edilen KK ve JJ değerlerini ana integral ifadesinde yerine koyarak sonucu hesaplamak.
−66-66
İstenen belirli integralin nihai sayısal sonucuna ulaşmak.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların simetrisi, değişken değiştirme yöntemi ve simetrik fonksiyonların belirli integral özelliklerinin uygulanması.
Soru 5Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫−11f(x) dx=4\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4
∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13f(x+2) dx\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İntegralin değeri 9 olarak bulunur.
İntegralde u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=dxdu = dx olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=5u=5 olarak güncellenir. Böylece integral ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du haline gelir ve bu değer soruda 9 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 ve du=dxdu = dx olarak belirlenir.
İntegralin içindeki f(x+2)f(x+2) ifadesini sadeleştirmek ve bilinen integral değerleriyle ilişkilendirmek için.
2
Değişken değiştirmeye uygun olarak belirli integralin sınırları güncellenir.
x=1x = 1 için u=1+2=3u = 1+2 = 3 ve x=3x = 3 için u=3+2=5u = 3+2 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre hesaplanması gerektiği için.
3
Yeni sınırlar ve değişken integralde yerine yazılarak sonuç bulunur.
∫13f(x+2) dx=∫35f(u) du=9\int_{1}^{3} f(x+2) \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du = 9
Soruda verilen ∫35f(x) dx=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 bilgisi kullanılarak belirli integralin değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
olduğuna göre,
∫14(2f(x)−3) dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

��ntegralin değeri 7'dir.
Belirli integralin doğrusal özellikleri kullanılarak integral parçalandığında, ifade 2∫14f(x) dx−∫143 dx2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx haline gelir. Birinci integralin değeri 8 olup 2 ile çarpıldığında 16 elde edilir. İkinci integral ise sabit fonksiyonun integrali olup değeri 3×(4−1)=93 \times (4 - 1) = 9 dur. Bu iki değerin farkı 16−9=716 - 9 = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesini lineerlik (doğrusallık) özelliği yardımıyla parçalamak ve sabit katsayıyı dışarı almak.
∫14(2f(x)−3) dx=2∫14f(x) dx−∫143 dx\int_{1}^{4} (2f(x) - 3) \, dx = 2\int_{1}^{4} f(x) \, dx - \int_{1}^{4} 3 \, dx
Belirli integralde toplama ve çıkarma işlemleri ayrı integral parçaları olarak yazılabilir, sabit çarpanlar ise integralin dışına alınabilir.
2
Sabit fonksiyon olan 3'ün [1,4][1, 4] aralığındaki belirli integralini hesaplamak.
∫143 dx=3⋅(4−1)=9\int_{1}^{4} 3 \, dx = 3 \cdot (4 - 1) = 9
Sabit bir cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki integral değeri c⋅(b−a)c \cdot (b - a) formülü ile hesaplanır.
3
Verilen integral değerini yerine yazıp aritmetik işlemleri tamamlamak.
2⋅8−9=72 \cdot 8 - 9 = 7
∫14f(x) dx=8\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8 olarak soru kökünde verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin lineerlik özellikleri ve sabit fonksiyonun belirli integrali.
Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için,

∫14f(x) dx=6\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6
∫25f(x) dx=8\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8
∫36f(x) dx=10\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,
∫25f(x−1) dx\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Doğru yanıt olan integral değeri 6'dır.
İntegral değişkeni u=x−1u = x - 1 olarak seçildiğinde diferansiyel du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır 2−1=12 - 1 = 1, üst sınır ise 5−1=45 - 1 = 4 olur. Böylece integral ∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du şekline dönüşür. Bu integralin değeri soruda verilen ilk eşitlikte 6 olarak tanımlanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlama
u=x−1u = x - 1 dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=dxdu = dx elde edilir.
İntegral içindeki ifadeyi bilinen fonksiyon biçimine getirmek için bu dönüşüm gereklidir.
2
İntegral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için: x=2  ⟹  u=2−1=1x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1. Üst sınır için: x=5  ⟹  u=5−1=4x = 5 \implies u = 5 - 1 = 4.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişken cinsinden hesaplanması gerekir.
3
Yeni integrali hesaplama
∫25f(x−1) dx=∫14f(u) du\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \, du olur. Soruda verilen bilgiye göre bu integralin değeri 6 olarak bulunur.
Belirli integralde değişken adının değişmesi integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Soru 8Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4
eşitliklerini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre, ∫07f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

15
Verilen fonksiyonun simetri özelliğinden dolayı [0,2][0,2] aralığındaki integral değeri 6'dır. f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 ilişkisi entegre edilerek [2,4][2,4] aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur. Fonksiyonun 4 periyotlu olduğu belirlendikten sonra [0,7][0,7] aralığındaki integral, [0,4][0,4] ve [4,7][4,7] (yani [0,3][0,3]) aralıklarına bölünür. [2,3][2,3] aralığındaki integral değeri öteleme ve fonksiyon ilişkisi kullanılarak 1 olarak hesaplanır. Tüm bu değerlerin toplamından doğru sonuca (15) ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Simetri özelliğini kullanarak [0,2][0, 2] aralığındaki integral değerini bulma
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği, fonksiyon grafiğinin x=1x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğunu gösterir. Buradan, ∫12f(x) dx=∫01f(x) dx=3\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3 olur. Dolayısıyla, ∫02f(x) dx=∫01f(x) dx+∫12f(x) dx=3+3=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 + 3 = 6 elde edilir.
2
Öteleme özelliğini kullanarak [2,4][2, 4] aralığındaki integral değerini bulma
∫24f(x) dx=2\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2
f(x)+f(x+2)=4f(x) + f(x+2) = 4 eşitliğini [0,2][0, 2] aralığında entegre edersek: ∫02f(x) dx+∫02f(x+2) dx=∫024 dx=8\int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x+2) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 olur. İkinci integralde u=x+2u = x+2 dönüşümü yapılırsa, s��nırların 22 ve 44 olduğu görülür ve ∫24f(u) du\int_{2}^{4} f(u) \, du elde edilir. Buradan 6+∫24f(x) dx=8  ⟹  ∫24f(x) dx=26 + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8 \implies \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 2 bulunur.
3
Fonksiyonun periyodunu belirleme ve [0,4][0, 4] aralığındaki toplam integral değerini bulma
ff fonksiyonu 44 periyotludur ve ∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
f(x+2)=4−f(x)f(x+2) = 4 - f(x) olduğundan, f(x+4)=4−f(x+2)=4−(4−f(x))=f(x)f(x+4) = 4 - f(x+2) = 4 - (4 - f(x)) = f(x) olur. Bu durumda fonksiyon 44 periyotludur. [0,4][0, 4] aralığındaki integral ise ∫04f(x) dx=∫02f(x) dx+∫24f(x) dx=6+2=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 + 2 = 8 olur.
4
[0,7][0, 7] aralığındaki integrali periyoda göre parçalama
∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx
Periyodiklikten dolayı ∫07f(x) dx=∫04f(x) dx+∫47f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{7} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir. f(x)f(x) fonksiyonu 44 periyotlu olduğundan ∫47f(x) dx=∫03f(x) dx\int_{4}^{7} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx olur. Buradan ∫07f(x) dx=8+∫03f(x) dx\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + \int_{0}^{3} f(x) \, dx elde edilir.
5
[2,3][2, 3] aralığındaki integral değerini bulma
∫23f(x) dx=1\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 1
∫23f(x) dx\int_{2}^{3} f(x) \, dx integralinde u=x−2u = x-2 dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(u+2) du\int_{0}^{1} f(u+2) \, du şekline dönüşür. f(u+2)=4−f(u)f(u+2) = 4 - f(u) eşitliği kullanılarak, ∫01(4−f(u)) du=∫014 du−∫01f(u) du=4−3=1\int_{0}^{1} (4 - f(u)) \, du = \int_{0}^{1} 4 \, du - \int_{0}^{1} f(u) \, du = 4 - 3 = 1 bulunur.
6
Sonucu hesaplama
∫07f(x) dx=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 15
∫03f(x) dx=∫02f(x) dx+∫23f(x) dx=6+1=7\int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx = 6 + 1 = 7 olur. Bu değer yerine yazıldığında, istenen integral ∫07f(x) dx=8+7=15\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 8 + 7 = 15 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde simetri, periyodiklik ve değişken değiştirme (öteleme) özelliklerinin birlikte kullanılması.
Soru 9Soru →
Bir ff çift fonksiyonu için
∫−44f(x) dx=16\int_{-4}^{4} f(x) \, dx = 16
olduğuna göre,
∫045f(x) dx\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

40
Verilen ff fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan, [−4,4][-4, 4] aralığındaki integralin değeri [0,4][0, 4] aralığındaki integralin iki katıdır. Buradan [0,4][0, 4] aralığındaki integralin değeri 8 olarak elde edilir. İstenen ifadede katsayı olan 5 integralin dışına çıkarıldığında 5⋅85 \cdot 8 çarpımından doğru cevap 40 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
ff fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından kaynaklanan simetri özelliğini kullanmak.
∫04f(x) dx=8\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 8
Çift fonksiyonlar y-eksenine göre simetrik olduğundan, simetrik sın��rlar altındaki integralin değeri pozitif bölgedeki integralin değerinin iki katına eşittir: ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
2
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫045f(x) dx=5⋅8=40\int_{0}^{4} 5f(x) \, dx = 5 \cdot 8 = 40
Belirli integralde içerideki sabit sayı integral dışına çarpım olarak alınabilir: ∫abc⋅f(x) dx=c⋅∫abf(x) dx\int_{a}^{b} c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x) \, dx

Anahtar Kavram

Belirli integralde çift fonksiyon simetrisi ve lineerlik özellikleri
Soru 10Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫24f(x−1) dx\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Değeri 6 olan seçenek doğrudur.
İntegral içindeki ifadeye u=x−1u = x-1 dönüşümü uygulandığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=4x=4 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du haline gelir. Bu integral soruda verilen ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ifadesine eşit olduğundan cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
u=x−1u = x - 1 değişken değiştirmesi yapılır.
du=dxdu = dx elde edilir.
İntegral içindeki f(x−1)f(x-1) ifadesini f(u)f(u) biçimine getirip sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=2⇒u=2−1=1x = 2 \Rightarrow u = 2 - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4−1=3x = 4 \Rightarrow u = 4 - 1 = 3 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması zorunludur.
3
İntegral yeni sınırlar ve değişken cinsinden tekrar yazılarak hesaplanır.
∫24f(x−1) dx=∫13f(u) du\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{3} f(u) \, du elde edilir. Soruda ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 olarak verildiğinden, bu integralin değeri 6'dır.
Belirli integralde değişkenin adının değiştirilmesi (uu yerine xx yazılması) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Tahmini Süre:50s
Soru 11Soru →

Her noktada sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için

f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x)

eşitliklerini sağlamaktadır.

Buna göre,

∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğinden ötürü integral [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] aralıklarına bölünür ve [1,3][1, 3] aralığındaki parça, yapılan değişken değiştirme ile [−1,1][-1, 1] aralığına taşınarak baştaki integral ile özdeş kılınır. Böylece tüm integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ifadesine eşit olur. f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinden yararlanılarak bu integralin değeri kolayca 1212 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetri özelliğini kullanarak ∫−13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx integralini x=1x=1 noktasından iki parçaya ayıralım.
∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliği fonksiyonun grafiğinin x=1x=1 doğrusuna göre simetrik olduğunu belirtir, bu nedenle integrali bu simetri ekseninde parçalamak işlemleri kolaylaştırır.
2
İkinci integral olan ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx ifadesinde u=2−xu = 2-x dönüşümü uygulayalım ve integral sınırlarını güncelleyelim.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar: x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=3  ⟹  u=−1x=3 \implies u=-1 olur. Buradan ∫13f(x) dx=∫−11f(2−u) du\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(2-u) \, du elde edilir.
İntegral sınırlarını [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak ve birinci integral ile ilişkilendirmek için değişken değiştirme uygulanır.
3
f(2−u)=f(u)f(2-u) = f(u) eşitliğini kullanarak integral ifadesini sadeleştirelim.
∫13f(x) dx=∫−11f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx olur. Dolayısıyla, aradı��ımız integral 2∫−11f(x) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx haline gelir.
Simetri özelliği sayesinde iki farklı aralıktaki integrallerin birbirine eşit olduğu gösterilmiş olur.
4
f(x)+f(−x)=6x2+4f(x) + f(-x) = 6x^2 + 4 eşitliğinin her iki yanının [−1,1][-1, 1] aralığında integralini alalım.
∫−11f(x) dx+∫−11f(−x) dx=∫−11(6x2+4) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{-1}^{1} f(-x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx
Fonksiyonun tek-çift simetri özelliklerinden faydalanarak doğrudan ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin değerine ulaşmak hedeflenir.
5
∫−11f(−x) dx\int_{-1}^{1} f(-x) \, dx integralinde t=−xt = -x dönüşümü yaparak sadeleştirme sağlayalım.
2∫−11f(x) dx=∫−11(6x2+4) dx2 \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} (6x^2 + 4) \, dx eşitliği elde edilir.
−x-x dönüşümü sınırları tersine çevirse de diferansiyeldeki eksi işareti ile sınırlar eski haline döner ve integralin değeri değişmez.
6
Sağ taraftaki belirli integrali hesaplayarak nihai sonucu bulalım.
[2x3+4x]−11=(2+4)−(−2−4)=6−(−6)=12\left[ 2x^3 + 4x \right]_{-1}^{1} = (2 + 4) - (-2 - 4) = 6 - (-6) = 12 bulunur.
Temel analiz teoremi (Newton-Leibniz) kullanılarak polinomun belirli integrali hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınır değiştirme, değişken değiştirme ve fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla integral hesabı.
Soru 12Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=7 \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 7
olduğuna göre,
∫15(f(x)+k) dx=19 \int_{1}^{5} (f(x) + k) \, dx = 19
eşitliğini sağlayan kk gerçel sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

k sayısı 3'tür.
Verilen belirli integral, integralin lineerlik özelliğinden yararlanılarak iki ayrı integralin toplamı biçiminde yazılır. Sabit kk fonksiyonunun [1,5][1, 5] aralığındaki belirli integrali 4k4k olarak bulunur. Bilinen değer yerine yazılarak 7+4k=197 + 4k = 19 denklemi elde edilir ve buradan k=3k = 3 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali toplamsal lineerlik özelliğiyle iki ayrı integral olarak yazmak
∫15f(x) dx+∫15k dx=19\int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{1}^{5} k \, dx = 19
Toplama işleminin belirli integral üzerindeki dağılma özelliğini kullanmak
2
Bilinen integral değerini yerine yazmak ve sabit terimin integralini almak
7+4k=197 + 4k = 19
∫abk dx=k(b−a)\int_{a}^{b} k \, dx = k(b-a) kuralını uygulamak ve verilen integral değerini yerine yerleştirmek
3
Elde edilen birinci dereceden denklemi çözmek
k=3k = 3
7+4k=197 + 4k = 19 denkleminde bilinmeyeni yalnız bırakarak çözüme ulaşmak

Anahtar Kavram

Belirli İntegralin Lineerlik Özelliği ve Sabit Fonksiyon İntegrali
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x)+f(2−x)=4f(x) + f(2-x) = 4
eşitliğini sağlamaktadır.
g(x)=∫0xf(t) dtg(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt
olmak üzere,
g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10
olduğunu göre, g(−2)g(-2) değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Belirli integral özellikleri ve değişken değiştirme yöntemi kullanılarak doğru değer 2 olarak bulunur.
Doğru değer olan 2, belirli integralin sınır değiştirme ve değişken değiştirme kurallarının [2,4][2, 4] aralığına uygulanıp, u=2−tu = 2-t dönüşümü yapıldıktan sonra elde edilen ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 eşitliği ve g(−2)=−∫−20f(t) dtg(-2) = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt tanımı birleştirilerek bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(2)g(2) integral değerini hesaplamak için verilen fonksiyonel denklem [0,2][0, 2] aralığında entegre edilir.
g(2)=4g(2) = 4
f(x)+f(2−x)=4  ⟹  ∫02(f(x)+f(2−x)) dx=∫024 dx=8f(x) + f(2-x) = 4 \implies \int_{0}^{2} (f(x) + f(2-x)) \, dx = \int_{0}^{2} 4 \, dx = 8 elde edilir. Sol taraftaki ikinci integralde u=2−xu = 2-x değişken değiştirmesi yapılırsa ∫02f(2−x) dx=∫02f(u) du\int_{0}^{2} f(2-x) \, dx = \int_{0}^{2} f(u) \, du olur. Böylece 2∫02f(x) dx=8  ⟹  g(2)=42 \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8 \implies g(2) = 4 bulunur.
2
Verilen g(4)−g(2)=10g(4) - g(2) = 10 bilgisi kullanılarak [2,4][2, 4] aralığındaki belirli integral değeri tespit edilir.
∫24f(t) dt=10\int_{2}^{4} f(t) \, dt = 10
g(4)−g(2)=∫04f(t) dt−∫02f(t) dt=∫24f(t) dtg(4) - g(2) = \int_{0}^{4} f(t) \, dt - \int_{0}^{2} f(t) \, dt = \int_{2}^{4} f(t) \, dt olduğundan bu değer doğrudan 1010 olarak bulunur.
3
∫24f(t) dt\int_{2}^{4} f(t) \, dt integralinde u=2−tu = 2-t değişken değiştirmesi yapılarak sınırların [−2,0][-2, 0] aralığına taşınması sağlanır.
∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2
u=2−t  ⟹  dt=−duu = 2-t \implies dt = -du olur. Sınırlar için: t=2  ⟹  u=0t = 2 \implies u = 0 ve t=4  ⟹  u=−2t = 4 \implies u = -2 olur. Buradan,
∫24f(t) dt=∫0−2f(2−u)(−du)=∫−20f(2−u) du\int_{2}^{4} f(t) \, dt = \int_{0}^{-2} f(2-u) (-du) = \int_{-2}^{0} f(2-u) \, du
elde edilir. f(2−u)=4−f(u)f(2-u) = 4 - f(u) eşitliği yerine yazıldığında:
∫−20(4−f(u)) du=10  ⟹  [4u]−20−∫−20f(u) du=10  ⟹  8−∫−20f(u) du=10  ⟹  ∫−20f(t) dt=−2\int_{-2}^{0} (4 - f(u)) \, du = 10 \implies \left[ 4u \right]_{-2}^{0} - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies 8 - \int_{-2}^{0} f(u) \, du = 10 \implies \int_{-2}^{0} f(t) \, dt = -2 bulunur.
4
g(−2)g(-2) değeri, integral sınırlarının yönü dikkate alınarak hesaplanır.
g(−2)=2g(-2) = 2
g(−2)=∫0−2f(t) dt=−∫−20f(t) dtg(-2) = \int_{0}^{-2} f(t) \, dt = -\int_{-2}^{0} f(t) \, dt olduğundan, bir önceki adımda bulunan −2-2 değeri yerine yazıldığında g(−2)=−(−2)=2g(-2) = -(-2) = 2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi, integral sınırlarının güncellenmesi ve fonksiyon simetrilerinin belirli integral üzerindeki etkileri.
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
∫15f(x) dx=12\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12
∫53f(x) dx=−4\int_{5}^{3} f(x) \, dx = -4

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫13(f(x)+2) dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Verilen belirli integrallerin sınır bölme özelliği kullanılarak ∫13f(x) dx=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 olarak elde edilir. İstenen integralde yer alan sabit 2 sayısının [1,3][1, 3] aralığındaki belirli integrali ise 2×(3−1)=42 \times (3 - 1) = 4 olur. Bu iki değer toplandığında doğru sonuç olan 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin sınır bölme özelliğini uygulayarak ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx integralini bulunuz.
∫13f(x) dx=∫15f(x) dx+∫53f(x) dx=12+(−4)=8\int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{3} f(x) \, dx = 12 + (-4) = 8
Belirli integralin sınır özellikleri gereği, herhangi bir sürekli fonksiyon için ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_{a}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx eşitliği geçerlidir.
2
Sorulan integral ifadesini doğrusal (lineer) özelliklerini kullanarak iki ayrı integral olarak yazınız.
∫13(f(x)+2) dx=∫13f(x) dx+∫132 dx\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 2 \, dx
İntegral işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
3
Sabit terimin belirli integralini hesaplayıp toplam değeri bulunuz.
∫132 dx=2⋅(3−1)=4\int_{1}^{3} 2 \, dx = 2 \cdot (3 - 1) = 4
∫13(f(x)+2) dx=8+4=12\int_{1}^{3} (f(x) + 2) \, dx = 8 + 4 = 12
Bir sabit cc sayısının [a,b][a, b] aralığındaki belirli integrali c(b−a)c(b - a) formülü ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralin sınır bölme özelliği ve doğrusal (lineer) özellikleri
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 15Soru →

Her x∈Rx \in \mathbb{R} için sürekli olan bir ff fonksiyonu,

f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.
∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

∫14f(x) dx\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.
Verilen f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 fonksiyonel eşitliğinin [0,3][0, 3] aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak ∫03f(x) dx+∫14f(x) dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 eşitliğine ulaşılır. Burada ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının [0,3][0, 3] aralığında belirli integralini alın.
∫03f(x) dx+∫03f(4−x) dx=∫036 dx=18\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18
Verilen belirli integral sınırları [0,3][0, 3] olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.
2
Sol taraftaki ikinci integralde u=4−xu = 4-x değişken değiştirmesini uygulayın.
du=−dxdu = -dx ve yeni sınırlar: x=0  ⟹  u=4x = 0 \implies u = 4, x=3  ⟹  u=1x = 3 \implies u = 1 olur.
İntegral sınırlarını hedeflediğimiz [1,4][1, 4] aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.
3
Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.
∫03f(4−x) dx=∫41f(u)(−du)=∫14f(u) du=∫14f(x) dx\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.
4
Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.
10+∫14f(x) dx=18  ⟹  ∫14f(x) dx=810 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8
Verilen ∫03f(x) dx=10\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →
Sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İntegralin değeri 3'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde belirli integralin sınır değiştirme özelliği kullanıldığında integral değeri değişmez. Taraf tarafa toplama yapılarak tek bir integral altında birleştirilen ifadenin değeri hesaplanır ve ikiye bölünerek aranan değer olan 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integral sınırlarını ve değişkeni dönüştürmek.
∫24f(x) dx=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir.
x=6−ux = 6-u değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=2x=2 için u=4u=4 ve x=4x=4 için u=2u=2 olur. Böylece ∫24f(x) dx=∫42f(6−u)(−du)=∫24f(6−u) du=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{4}^{2} f(6-u) (-du) = \int_{2}^{4} f(6-u) \, du = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx bulunur.
2
İki integral ifadesini taraf tarafa toplamak.
2∫24f(x) dx=∫24(f(x)+f(6−x)) dx2 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (f(x) + f(6-x)) \, dx elde edilir.
Soru kökündeki denklemi kullanabilmek amacıyla integralin doğrusal (lineer) özelliğinden faydalanarak iki özdeş integrali toplarız.
3
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29 ifadesini yerine yazarak integral değerini hesaplamak.
2∫24f(x) dx=62 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 ve buradan ∫24f(x) dx=3\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 bulunur.
Polinom integral alma kuralı uygulanarak [x3−9x2+29x]24=(64−144+116)−(8−36+58)=36−30=6[x^3 - 9x^2 + 29x]_2^4 = (64 - 144 + 116) - (8 - 36 + 58) = 36 - 30 = 6 hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların yansıması (değişken değiştirme) ve doğrusal toplama özellikleri.
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde sürekli bir ff fonksiyonu için
A=∫25f(x) dxA = \int_{2}^{5} f(x) \, dx
B=∫58f(x) dxB = \int_{5}^{8} f(x) \, dx
eşitlikleri veriliyor.
∫283f(x) dx=36\int_{2}^{8} 3f(x) \, dx = 36
ve A−B=4A - B = 4 olduğuna göre, AA değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Belirli integralin özelliklerini uygulayarak elde edilen denklem sistemi çözüldüğünde A değeri 8 olarak bulunur.
Verilen integral ifadesi dışarıdaki sabit çarpan sadeleştirilerek 12 olarak bulunur. Sınır parçalama özelliği ile bu değer A ve B integrallerinin toplamına eşitlenir (A+B=12A + B = 12). Soruda verilen A−B=4A - B = 4 bilgisiyle ortak çözüm yapıldığında A değeri 8 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin lineerlik özelliğini uygulayarak kat sayıyı integral dışına çıkarmak.
∫28f(x) dx=12\int_{2}^{8} f(x) \, dx = 12
İntegral içindeki sabit çarpan integralin dışına alınabilir: ∫k⋅f(x) dx=k∫f(x) dx\int k \cdot f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx.
2
İntegral sınırlarını parçalayarak A ve B cinsinden bir eşitlik kurmak.
A+B=12A + B = 12
[2,8][2, 8] aralığı 55 noktasından bölünerek ∫28f(x) dx=∫25f(x) dx+∫58f(x) dx\int_{2}^{8} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{8} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
3
Elde edilen A+B=12A + B = 12 ve soruda verilen A−B=4A - B = 4 denklemlerini ortak çözmek.
A=8A = 8
İki bilinmeyenli denklem sistemi taraf tarafa toplanarak B değişkeni yok edilir ve A bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde lineerlik (sabit çarpanı dışarı çıkarma) ve sınırların parçalanması özellikleri.
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve çift bir ff fonksiyonu, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(2−x)=f(x)f(2 - x) = f(x)
eşitliğini sağlamaktadır.
∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3
olduğuna göre,
∫210(x−2)f(x) dx+∫08xf(x+2) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx + \int_{0}^{8} x f(x + 2) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192

Cevap

İstenen toplamın değeri 192'dir.
Verilen çiftlik ve simetri özellikleri fonksiyonun periyodunun 2 olduğunu gösterir. Bu periyodiklik ve integralde sınır öteleme/değişken değiştirme özellikleri kullanılarak, istenen ifade 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx biçimine indirgenir. Bu integral de periyot uzunluğu olan 2 birimlik aralıklara bölünerek ve her aralıkta değişken değiştirme yapılarak hesaplandığında toplam alan 96 bulunur ve 2 katı alınarak 192 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun periyodikliğini belirleme
f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) eşitliği elde edilir, yani fonksiyonun periyodu 2'dir.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) eşitliğinde xx yerine −x-x yazılırsa f(2+x)=f(−x)f(2+x) = f(-x) elde edilir. ff çift fonksiyon olduğundan f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) olup, f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) bulunur.
2
∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx değerini hesaplama
∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
f(2−x)=f(x)f(2-x) = f(x) simetrisinden dolayı [0,2][0, 2] aralığı x=1x=1 doğrusuna göre simetriktir. Bu yüzden ∫01f(x) dx=∫12f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 3 olur. Toplam integral değeri 3+3=63 + 3 = 6 bulunur.
3
Birinci integralde değişken değiştirme yapma
∫210(x−2)f(x) dx=∫08uf(u+2) du=∫08xf(x) dx\int_{2}^{10} (x - 2) f(x) \, dx = \int_{0}^{8} u f(u+2) \, du = \int_{0}^{8} x f(x) \, dx elde edilir.
u=x−2u = x - 2 dönüşümü yapılırsa dx=dudx = du olur. Alt sınır x=2x=2 için u=0u=0, üst sınır x=10x=10 için u=8u=8 olur. f(u+2)=f(u)f(u+2) = f(u) periyodikliği kullanılarak integral basitleştirilir.
4
İki integrali birleştirme
İstenen toplam 2∫08xf(x) dx2 \int_{0}^{8} x f(x) \, dx ifadesine eşit olur.
İkinci integral ∫08xf(x+2) dx\int_{0}^{8} x f(x+2) \, dx olup f(x+2)=f(x)f(x+2) = f(x) olduğundan ∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx şeklindedir. İki integral aynı olduğundan katsayıları toplanır.
5
∫08xf(x) dx\int_{0}^{8} x f(x) \, dx integralini periyotlara bölme
∫08xf(x) dx=∑k=03(6+12k)\int_{0}^{8} x f(x) \, dx = \sum_{k=0}^{3} (6 + 12k) elde edilir.
[0,8][0, 8] aralığı [2k,2k+2][2k, 2k+2] şeklinde 4 periyoda bölünür. Her bir aralıkta x=t+2kx = t + 2k dönüşümü yapılırsa ∫2k2k+2xf(x) dx=∫02tf(t) dt+2k∫02f(t) dt\int_{2k}^{2k+2} x f(x) \, dx = \int_{0}^{2} t f(t) \, dt + 2k \int_{0}^{2} f(t) \, dt elde edilir. ∫02tf(t) dt\int_{0}^{2} t f(t) \, dt integralinde t=2−wt = 2 - w dönüşümü ile bu integralin ∫02f(t) dt=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 değerine eşit olduğu görülür. Buradan her bir periyottaki integral 6+12k6 + 12k olur.
6
Toplamı hesaplama ve nihai sonucu bulma
Toplam integral değeri 96, nihai yanıt ise 192 olarak bulunur.
k=0,1,2,3k=0, 1, 2, 3 değerleri için toplam 6+18+30+42=966 + 18 + 30 + 42 = 96 olur. İstenen değer bu integralin 2 katı olduğundan 2×96=1922 \times 96 = 192 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralin periyodiklik, simetri ve değişken değiştirme özellikleri
Soru 19Soru →
Tanım kümesindeki her xx gerçel sayısı için sürekli olan bir ff fonksiyonu,
f(x)+f(8−x)=(x−4)2+mf(x) + f(8-x) = (x-4)^2 + m
eşitliğini sağlamaktadır.
∫17f(x) dx=24\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 24
olduğuna göre, mm sabit sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İntegral özellikleri ve değişken değiştirme kuralları doğru uygulandığında, aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.
Verilen integral eşitliğinde her iki tarafın integrali alınıp sol tarafta değişken değiştirme (u=8−xu=8-x) yapıldığında sol kısım iki adet aynı integralin toplamına, yani 48'e eşit olur. Sağ taraftaki integraller hesaplandığında ise 18+6m18 + 6m elde edilir. Bu iki ifadenin eşitliğinden aranan sabit sayı 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin her iki tarafının 1'den 7'ye belirli integrali alınır.
∫17[f(x)+f(8−x)] dx=∫17[(x−4)2+m] dx\int_{1}^{7} [f(x) + f(8-x)] \, dx = \int_{1}^{7} \left[ (x-4)^2 + m \right] \, dx integralin lineerlik özelliği kullanılarak ∫17f(x) dx+∫17f(8−x) dx=∫17(x−4)2 dx+∫17m dx\int_{1}^{7} f(x) \, dx + \int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx + \int_{1}^{7} m \, dx şeklinde yazılır.
Eşitliğin her iki yanındaki fonksiyonların aynı sınırlar altındaki integral değerleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Sol taraftaki ikinci integralde değişken değiştirme uygulanır.
u=8−x  ⟹  du=−dxu = 8-x \implies du = -dx dönüşümü yapılır. Sınırlar: x=1  ⟹  u=7x = 1 \implies u = 7 ve x=7  ⟹  u=1x = 7 \implies u = 1 olur. Buradan, ∫17f(8−x) dx=∫71f(u) (−du)=∫17f(u) du=∫17f(x) dx\int_{1}^{7} f(8-x) \, dx = \int_{7}^{1} f(u) \, (-du) = \int_{1}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{7} f(x) \, dx elde edilir. Dolayısıyla sol taraf 2∫17f(x) dx=2×24=482 \int_{1}^{7} f(x) \, dx = 2 \times 24 = 48 olur.
Belirli integralde sınırların yer değiştirmesi integralin işaretini değiştirir ve bu sayede sol taraf bilinen integral türünden ifade edilir.
3
Sağ taraftaki integral terimleri ayrı ayrı hesaplanır.
∫17(x−4)2 dx\int_{1}^{7} (x-4)^2 \, dx integrali için t=x−4  ⟹  dt=dxt = x-4 \implies dt = dx dönüşümü yapılırsa sınırlar t=−3t = -3 ve t=3t = 3 olur. Buradan, ∫−33t2 dt=[t33]−33=9−(−9)=18\int_{-3}^{3} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-3}^{3} = 9 - (-9) = 18 bulunur. Sabit sayının integrali ise ∫17m dx=m⋅(7−1)=6m\int_{1}^{7} m \, dx = m \cdot (7 - 1) = 6m olur.
Sağ taraftaki fonksiyonların integralleri standart yöntemlerle ve sınır değerleri yerine yazılarak hesaplanır.
4
Elde edilen sonuçlar ana denklemde yerine yazılarak m sabit sayısı çözülür.
48=18+6m  ⟹  6m=30  ⟹  m=548 = 18 + 6m \implies 6m = 30 \implies m = 5
Sol ve sağ taraftan elde edilen sayısal ifadeler birbirine eşitlenerek bilinmeyen sabit değer yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme ve Sınırların Güncellenmesi

Alternatif Yöntem

İntegrali doğrudan simetri ekseni olan x=4x=4 noktasına göre kaydırarak da çözebiliriz. u=x−4u = x-4 dönüşümü yapıldığında integral sınırları [−3,3][-3, 3] aralığına taşınır. Bu durumda f(u+4)+f(4−u)=u2+mf(u+4) + f(4-u) = u^2 + m elde edilir. Bu eşitliği [−3,3][-3, 3] aralığında entegre ettiğimizde, tek ve çift fonksiyonların simetri özellikleri yardımıyla doğrudan çözüme ulaşabiliriz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, her x∈Rx \in \mathbb{R} için
f(x+3)=f(x)+2f(x + 3) = f(x) + 2
eşitliği sağlanmaktadır.
∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5
olduğuna göre,
∫17f(2x−1) dx\int_{1}^{7} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 32

Cevap

Aranan belirli integralin değeri 32 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 32 değeri, 2x−1=u2x-1 = u değişken değiştirmesiyle integralin sınırlarının 1 ve 13 olarak güncellenmesi, ardından aralığın f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 kuralı uyarınca boyu 3 olan alt aralıklara bölünerek [1,4][1, 4] aralığına indirgenmesi ve nihayetinde ∫14f(x) dx=∫03f(x) dx+2=7\int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} f(x) \, dx + 2 = 7 eşitliğinin kullanılmasıyla elde edilen sonucun 12\frac{1}{2} ile çarpılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi uygulanır.
2x−1=u2x - 1 = u dönüşümü yapıldığında 2 dx=du  ⟹  dx=12 du2 \, dx = du \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
��ntegrali temel f(u)f(u) fonksiyonunun integral kuralları cinsinden ifade edebilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)−1=1x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1 ve üst sınır için x=7  ⟹  u=2(7)−1=13x = 7 \implies u = 2(7) - 1 = 13 bulunur. Böylece integral 12∫113f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{13} f(u) \, du hâline gelir.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da o değişkene göre ayarlanması gerektiği için.
3
İntegral aralığı, fonksiyonun her 3 birimde bir kendini tekrarlayan yapısı göz önüne alınarak boyu 3 olan alt aralıklara bölünür.
∫113f(u) du=∫14f(u) du+∫47f(u) du+∫710f(u) du+∫1013f(u) du\int_{1}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(u) \, du + \int_{4}^{7} f(u) \, du + \int_{7}^{10} f(u) \, du + \int_{10}^{13} f(u) \, du yazılır.
Fonksiyonun f(x+3)=f(x)+2f(x+3) = f(x)+2 dikey öteleme özelliğini uygulayarak tüm aralıkları [1,4][1, 4] aralığına indirgemek için.
4
Her bir alt aralıktaki integral, f(t+3k)=f(t)+2kf(t+3k) = f(t) + 2k özelliği kullanılarak [1,4][1, 4] aralığındaki integral cinsinden yazılır.
∫47f(u) du=∫14f(t) dt+6\int_{4}^{7} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 6,
∫710f(u) du=∫14f(t) dt+12\int_{7}^{10} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 12,
∫1013f(u) du=∫14f(t) dt+18\int_{10}^{13} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(t) \, dt + 18 elde edilir. Bu terimler toplandığında 4∫14f(u) du+364 \int_{1}^{4} f(u) \, du + 36 toplamına ulaşılır.
Her 3 birimlik kaydırmada fonksiyonun değerinin dikeyde 2 birim artması sebebiyle integral değerinin de 2×3=62 \times 3 = 6 birim artmasından dolayı.
5
∫14f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du değeri, verilen ∫03f(x) dx=5\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla hesaplanır.
∫14f(u) du=∫13f(u) du+∫34f(u) du\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{3} f(u) \, du + \int_{3}^{4} f(u) \, du şeklinde yazılır. İkinci kısımda t=u−3t = u-3 dönüşümüyle ∫34f(u) du=∫01(f(t)+2) dt=∫01f(t) dt+2\int_{3}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{1} (f(t)+2) \, dt = \int_{0}^{1} f(t) \, dt + 2 bulunur. Dolayısıyla, ∫14f(u) du=∫03f(t) dt+2=5+2=7\int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{0}^{3} f(t) \, dt + 2 = 5 + 2 = 7 elde edilir.
Kaydırma özelliğini parçalı integraller üzerinde uygulayarak bilinmeyen bölgeyi bilinen [0,3][0,3] aralığına tamamlamak için.
6
Hesaplanan tüm değerler yerine yazılarak nihai integral sonucu bulunur.
∫113f(u) du=4(7)+36=64\int_{1}^{13} f(u) \, du = 4(7) + 36 = 64 olur. Yarısı alındığında aranan integral değeri 642=32\frac{64}{2} = 32 olarak bulunur.
1. adımda elde edilen 12\frac{1}{2} çarpanı ile toplam alan değerini çarparak nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık kaydırma/öteleme özellikleri
Sayfa 1 / 3Sonraki
Belirli İntegral ve Özellikleri Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin