Sürekli bir f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu için \int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18 \int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{-2}^{0} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Sürekli bir f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu için \int_{-2}^{4} f(x) \, dx = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürekli bir

f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

fonksiyonu için

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 2

İstenen belirli integralin değeri 2 olarak bulunur.

Değişken değiştirme yöntemiyle integral sınırları güncellenerek

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değeri elde edilir. Ardından toplam aralık

[ -2, 4 ]

parçalanarak

[ -2, 0 ]

aralığındaki integral değeri 2 olarak bulunur.

\int_{1}^{3} f(2x-2) \, dx = 8

integralinde

u = 2x-2

dönüşümü uygulayalım.

\int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

elde edilir.

u = 2x-2

ise her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2 \, dx

yani

dx = \frac{du}{2}

olur. Sınırlar güncellendiğinde; alt sınır için

x = 1 \implies u = 0

, üst sınır için

x = 3 \implies u = 4

bulunur. Buradan integral

\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(u) \, du = 16

şeklinde yazılır. Belirli integralde değişken ismi sonucu değiştirmeyeceği için bu ifade

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

demektir.

Birinci denklemdeki

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx

integraline sınır parçalama özelliğini uygulayalım.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{4} f(x) \, dx

eşitliği elde edilir.

Belirli integralde integral sınırları

[a, b]

aralığındaki bir

c

noktasına göre parçalanabilir. Burada

[-2, 4]

aralığı

0

noktası kullanılarak parçalanmıştır.

Elde edilen değerleri denklemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.

\int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

bulunur.

\int_{-2}^{4} f(x) \, dx = 18

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16

değerleri denklemde yerine yazıldığında,

18 = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + 16 \implies \int_{-2}^{0} f(x) \, dx = 2

elde edilir.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru biçimde güncellenmesi ve belirli integralin aralık bölme özelliği.