Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
f(x)={∣x2−9∣x+3+a,x<−3x2−b∣x−1∣,x≥−3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 9|}{x + 3} + a, & x < -3 \\ x^2 - b|x - 1|, & x \ge -3 \end{cases}

biçiminde tanımlı ff fonksiyonunun x=−3x = -3 noktasında limiti olduğuna göre, a+4ba + 4b ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 15

Cevap

İstenen a+4ba + 4b toplamının değeri 15'tir.
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasında limitinin bulunması, bu noktadaki sağdan limitin (9−4b9 - 4b) soldan limite (a−6a - 6) eşit olmasını gerektirir. Bu eşitlik düzenlendiğinde a+4b=15a + 4b = 15 bağıntısına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasındaki soldan limitini hesaplamak için x<−3x < -3 kuralını uygulayalım.
lim⁡x→−3−f(x)=a−6\lim_{x \to -3^-} f(x) = a - 6
x<−3x < -3 iken x2>9x^2 > 9 olduğundan ∣x2−9∣=x2−9|x^2 - 9| = x^2 - 9 olarak dışarı çıkar. Bu durumda x2−9x+3+a=(x−3)(x+3)x+3+a=x−3+a\frac{x^2 - 9}{x + 3} + a = \frac{(x-3)(x+3)}{x+3} + a = x - 3 + a olur. Limit değeri ise −3−3+a=a−6-3 - 3 + a = a - 6 bulunur.
2
Fonksiyonun x=−3x = -3 noktasındaki sağdan limitini hesaplamak için x≥−3x \ge -3 kuralını uygulayalım.
lim⁡x→−3+f(x)=9−4b\lim_{x \to -3^+} f(x) = 9 - 4b
xx değeri −3-3'e sağdan yaklaşırken x−1x - 1 ifadesinin içi negatif olacağından (örneğin x=−2.9x = -2.9 için −3.9<0-3.9 < 0) ∣x−1∣=−(x−1)=1−x|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x olur. Fonksiyon bu bölgede x2−b(1−x)x^2 - b(1-x) biçimini alır ve x=−3x = -3 için limit 9−4b9 - 4b bulunur.
3
Limitin var olması için sağdan ve soldan limitleri birbirine eşitleyelim.
a+4b=15a + 4b = 15
Kritik noktada limitin varlığı lim⁡x→−3−f(x)=lim⁡x→−3+f(x)\lim_{x \to -3^-} f(x) = \lim_{x \to -3^+} f(x) eşitliğini gerektirir. Buradan a−6=9−4b  ⟹  a+4b=15a - 6 = 9 - 4b \implies a + 4b = 15 elde edilir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limiti incelenirken, sağdan ve soldan limitlerin ayrı ayrı hesaplanarak birbirine eşit olup olmadığının kontrol edilmesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru