\frac{\cos(2x)}{\sin(x) - \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) denkleminin (0, 2\pi) açık aralığın… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\cos(2x)}{\sin(x) - \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x)

denkleminin

(0, 2\pi)

açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 1'dir.

Cevap: Cevap

Verilen önerme doğrudur.

Tanım kümesini belirlemek için paydanın sıfırdan farklı olması gerektiği koşulunu yazın.

\sin(x) - \cos(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1

. Bu durumda

(0, 2\pi)

açık aralığında

x \neq \frac{\pi}{4}

x \neq \frac{5\pi}{4}

olmalıdır.

Paydayı sıfır yapan değerler denklemi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.

İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenleyin.

\cos(2x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 \implies \cos(2x) = \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) \implies \cos(2x) = 1 - \sin(2x)

elde edilir.

İfadeyi daha sade bir biçimde yazıp bilinen trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.

Elde edilen

\cos(2x) + \sin(2x) = 1

denklemini yarım açı formüllerini kullanarak çarpanlarına ayırın.

\cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) \implies 2\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) = 0 \implies 2\sin(x)(\cos(x) - \sin(x)) = 0

bulunur. Buradan

\sin(x) = 0

veya

\cos(x) - \sin(x) = 0

elde edilir.

Çarpanlara ayırma yöntemiyle kök adaylarını belirlemek için.

Aday kökleri

(0, 2\pi)

aralığında bulun ve tanımsızlık koşuluna göre kontrol edin.

\sin(x) = 0 \implies x = \pi

(geçerli kök).

\cos(x) - \sin(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}

veya

x = \frac{5\pi}{4}

(paydayı sıfır yaptığından geçersiz). Toplamda sadece 1 adet gerçel kök (

x = \pi

) vardır.

Bulunan aday köklerin başlangıçtaki denklemi tanımlı yapıp yapmadığını doğrulamak için.

Trigonometrik denklemlerin çözümünde sadeleştirme adımlarında ortaya çıkan yalancı köklerin payda kontrolü ile elenmesi.

Soru