Examkin

Trigonometrik Denklemler

40 soru

Tüm türler40Çoktan seçmeli20Doğru / Yanlış8Sayısal12
Soru 1Soru →
cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=sin⁡(2x)+1\frac{\cos(2x)}{\cos(x) - \sin(x)} = \sin(2x) + 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) aç��k aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π3\pi

Cevap

3π3\pi
Verilen denklemde pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) yarım açı formülüyle (cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x)) şeklinde yazılıp payda ile sadeleştirildiğinde denklem cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 durumuna gelir. Buradan elde edilen sin⁡(x)+cos⁡(x)=0\sin(x) + \cos(x) = 0 denkleminden x=3π4x = \frac{3\pi}{4} ve x=7π4x = \frac{7\pi}{4} kökleri, sin⁡(x)+cos⁡(x)=1\sin(x) + \cos(x) = 1 denkleminden ise (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü gelir. Köklerin tamamı paydayı sıfır yapmadığından geçerlidir ve toplamları 3π3\pi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamasını bulunuz.
cos⁡(x)−sin⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\cos(x) - \sin(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1
Rasyonel bir ifadede payda sıfıra eşit olamaz.
2
Pay kısmındaki yarım açı ifadesini açarak sadeleştirme yapınız.
(cos⁡(x)−sin⁡(x))(cos⁡(x)+sin⁡(x))cos⁡(x)−sin⁡(x)=cos⁡(x)+sin⁡(x)\frac{(\cos(x) - \sin(x))(\cos(x) + \sin(x))}{\cos(x) - \sin(x)} = \cos(x) + \sin(x)((\tan(x)
eq 1kısıtlamasıaltında) kısıtlaması altında)
cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılır.
3
Denklemin sağ tarafını çarpanlarına ayrılabilir forma getirerek denklemi yeniden yazınız.
cos⁡(x)+sin⁡(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\cos(x) + \sin(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2
sin⁡(2x)+1=2sin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡2(x)+cos⁡2(x)=(sin⁡(x)+cos⁡(x))2\sin(2x) + 1 = 2\sin(x)\cos(x) + \sin^2(x) + \cos^2(x) = (\sin(x) + \cos(x))^2 özdeşliği geçerlidir.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözümleri iki gruba ayırınız.
(sin⁡(x)+cos⁡(x))(sin⁡(x)+cos⁡(x)−1)=0(\sin(x) + \cos(x))( \sin(x) + \cos(x) - 1 ) = 0
Tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak çarpan parantezine alınır.
5
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=0  ⟹  tan⁡(x)=−1  ⟹  x1=3π4, x2=7π4\sin(x) + \cos(x) = 0 \implies \tan(x) = -1 \implies x_1 = \frac{3\pi}{4}, \ x_2 = \frac{7\pi}{4}
(0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında tanjantı −1-1 olan açılar belirlenir. Bu açılar tanım kümesi kısıtlamasını (tan⁡(x)≠1\tan(x) \neq 1) sağlar.
6
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulunuz.
sin⁡(x)+cos⁡(x)=1  ⟹  sin⁡(x+π4)=22  ⟹  x3=π2\sin(x) + \cos(x) = 1 \implies \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x_3 = \frac{\pi}{2}
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) aralığı için x=0x=0 ve x=2πx=2\pi sınır değerleri açık aralığa dahil olmadığından sadece x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü alınır.
7
Bulunan tüm geçerli köklerin toplamını hesaplayınız.
π2+3π4+7π4=3π\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = 3\pi
Denklemi sağlayan tüm farklı köklerin toplamı istenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler

Alternatif Yöntem

Denklem sadeleştirildikten sonra sin⁡(x)+cos⁡(x)=t\sin(x) + \cos(x) = t dönüşümü yapılarak t=t2t = t^2 ikinci dereceden denklemi elde edilebilir. Buradan t=0t=0 veya t=1t=1 değerleri için ayrı ayrı çözüme gidilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →
cos⁡(2x)1−tan⁡(x)=0\frac{\cos(2x)}{1 - \tan(x)} = 0 denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralı��ında 4 farklı gerçel kökü vardır.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydadaki 1−tan⁡(x)1 - \tan(x) ifadesini sıfır yaparak denklemi tanımsız kılar. Bu nedenle bu değerler kök olamaz ve denklemin verilen aralıktaki kök sayısı 4 değil, 2'dir.
İfade yanlıştır çünkü payı sıfır yapan x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=5π4x = \frac{5\pi}{4} değerleri paydayı sıfır yaparak denklemi tanımsız hale getirir. Bu nedenle denklemin (0,2π)(0, 2\pi) aralığında 4 değil, sadece 2 kökü vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olma şartlarını belirleyin.
Denklemin tanımlı olabilmesi için tan⁡(x)\tan(x) fonksiyonunun tanımlı olması (x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi) ve paydanın sıfırdan farklı olması (1−tan⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1  ⟹  x≠π4+kπ1 - \tan(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1 \implies x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi) gerekir.
Bir rasyonel ifadenin sıfıra eşit olması için payının sıfır olması gerekirken, paydasının sıfır olmaması ve tüm alt fonksiyonların tanımlı olması şarttır.
2
Payı sıfır yapan kök adaylarını bulun.
cos⁡(2x)=0  ⟹  2x=π2+kπ  ⟹  x=π4+kπ2\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} elde edilir. Bu genel çözümden (0,2π)(0, 2\pi) aralığına düşen kök adayları x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4}, x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4}, x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin değerinin sıfır olması, pay kısmının sıfıra eşit olmasıyla mümkündür.
3
Kök adaylarını tanım kümesi ve payda şartına göre kontrol edin.
x1=π4x_1 = \frac{\pi}{4} ve x3=5π4x_3 = \frac{5\pi}{4} değerleri için tan⁡(x)=1\tan(x) = 1 olduğundan payda 1−1=01 - 1 = 0 olur ve ifade tanımsız kalır. Diğer kök adayları x2=3π4x_2 = \frac{3\pi}{4} ve x4=7π4x_4 = \frac{7\pi}{4} için tan⁡(x)=−1\tan(x) = -1 olduğundan payda sıfırdan farklı (1−(−1)=2≠01 - (-1) = 2 \neq 0) olur. Dolayısıyla gerçel kökler yalnızca bu iki değerdir.
Bulunan kök adaylarının orijinal denklemde tanımsızlık yaratıp yaratmadığı denetlenmelidir.

Anahtar Kavram

Rasyonel trigonometrik denklemlerde payı sıfır yapan köklerin paydanın tanım kümesini ve sıfırdan farklı olma şartını bozup bozmadığının kontrol edilmesi.
Soru 3Soru →
tan⁡(2x)−cot⁡(x)=0\tan(2x) - \cot(x) = 0

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı SS radyandır.

Buna göre, Sπ\frac{S}{\pi} oranı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1.5

Cevap

Köklerin toplamının π\pi radyana oranı 1,5'tir.
Denklemin kökleri sinüs ve kosinüs dönüşümleriyle tam olarak incelendiğinde, (0,π)(0, \pi) aralığında π6\frac{\pi}{6}, π2\frac{\pi}{2} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olmak üzere 3 farklı gerçel kök bulunur. Bu köklerin toplamı 1,5π1,5\pi radyandır. Dolayısıyla bu toplamın π\pi değerine oranı 1,5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs oranları olarak yazın.
sin⁡(2x)cos⁡(2x)−cos⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için temel fonksiyonlara dönüştürüyoruz.
2
Paydaları eşitleyerek ortak paydada yazın.
sin⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(2x)cos⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0\frac{\sin(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Rasyonel ifadenin sıfıra eşitliğini incelemek için pay ve paydayı belirlemek gerekir.
3
Pay kısmını eksi parantezine alıp kosinüsün toplam formülünü uygulayın.
−cos⁡(2x)cos⁡(x)−sin⁡(2x)sin⁡(x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0  ⟹  −cos⁡(3x)cos⁡(2x)sin⁡(x)=0-\frac{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0 \implies -\frac{\cos(3x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0
Trigonometrik toplam formülü sayesinde payı tek bir kosinüs fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.
4
İfadenin sıfır olması için payı sıfır yapan kökleri bulun.
cos⁡(3x)=0  ⟹  3x=π2+kπ  ⟹  x=π6+kπ3\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}
Bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir.
5
(0,π)(0, \pi) aralığındaki kk tamsayı değerleri için kökleri listeleyin ve tanımlılık kontrolü yapın.
k=0  ⟹  x1=π6k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{6}
k=1  ⟹  x2=π2k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2}
k=2  ⟹  x3=5π6k=2 \implies x_3 = \frac{5\pi}{6}
Bu değerlerin hiçbiri paydayı (yani cos⁡(2x)sin⁡(x)\cos(2x)\sin(x)) sıfır yapmaz, dolayısıyla tanımlıdır.
Bulunan aday köklerin orijinal denklemdeki fonksiyonları tanımsız yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.
6
Bulunan köklerin toplamını hesaplayıp π\pi değerine oranlayın.
S=π6+π2+5π6=9π6=1,5π  ⟹  Sπ=1,5S = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = 1,5\pi \implies \frac{S}{\pi} = 1,5
Soru kökündeki toplam oranını bulmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulma ve tanımlılık kontrolü yapma.
Soru 4Soru →
sin⁡(x)+3cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) = 2\cos(3x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3π2\frac{3\pi}{2}

Cevap

Farklı gerçel köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır.
Denklemin sol tarafı toplam formülüyle basitleştirilip kosinüs cinsine çevrildikten sonra oluşan iki kök ailesinden belirtilen aralığa düşen üç adet kök elde edilir. Bu köklerin toplamı üç bölü iki pi değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafındaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazmak için 3\sqrt{3} yerine tan⁡(π3)=sin⁡(π3)cos⁡(π3)\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} yazılır.
sin⁡(x)+sin⁡(π3)cos⁡(π3)cos⁡(x)=2cos⁡(3x)\sin(x) + \frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}\cos(x) = 2\cos(3x)
Toplama formülünü kullanarak sol tarafı tek bir sinüs fonksiyonuna dönüştürmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Payda eşitlemesi yapılarak sol taraftaki pay kısmında sinüsün toplam formülü (sin⁡(a+b)\sin(a+b)) elde edilir.
sin⁡(x)cos⁡(π3)+cos⁡(x)sin⁡(π3)cos⁡(π3)=2cos⁡(3x)  ⟹  sin⁡(x+π3)12=2cos⁡(3x)\frac{\sin(x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos(x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = 2\cos(3x) \implies \frac{\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)}{\frac{1}{2}} = 2\cos(3x)
Trigonometrik toplam formüllerini uygulayarak denklemi basitleştirmek amaçlanır.
3
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki 12\frac{1}{2} ifadesi karşıya atılır ve her iki taraftaki katsayılar sadeleştirilir.
sin⁡(x+π3)=cos⁡(3x)\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos(3x)
Denklemi çözülebilir temel trigonometrik formata getirmek için katsayılardan arındırma yapılır.
4
Sinüs ifadesi kosinüs cinsinden yazılır.
cos⁡(π2−(x+π3))=cos⁡(3x)  ⟹  cos⁡(π6−x)=cos⁡(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos(3x) \implies \cos\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \cos(3x)
cos⁡(a)=cos⁡(b)\cos(a) = \cos(b) biçiminde bir denklem elde ederek standart çözüm kurallarını uygulayabilmek için iki taraf da kosinüs cinsine çevrilir.
5
Kosinüs denkleminin genel çözüm kuralları (cos⁡(α)=cos⁡(β)  ⟹  α=±β+2kπ\cos(\alpha) = \cos(\beta) \implies \alpha = \pm\beta + 2k\pi) kullanılarak iki farklı kök ailesi oluşturulur.
1. Durum: 3x=π6−x+2kπ  ⟹  4x=π6+2kπ  ⟹  x=π24+kπ23x = \frac{\pi}{6} - x + 2k\pi \implies 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}
2. Durum: 3x=−(π6−x)+2kπ  ⟹  2x=−π6+2kπ  ⟹  x=−π12+kπ3x = -\left(\frac{\pi}{6} - x\right) + 2k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{12} + k\pi
Kosinüs fonksiyonunun periyodik yapısına ve simetrisine göre tüm olası çözümleri bulmak hedeflenir.
6
(0,π)(0, \pi) açık aralığında yer alan kökleri belirlemek için her iki durumda kk tam sayı değerleri yerine yazılır.
1. Durumdan: k=0  ⟹  x1=π24k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{24}, k=1  ⟹  x2=13π24k=1 \implies x_2 = \frac{13\pi}{24}
2. Durumdan: k=1  ⟹  x3=11π12k=1 \implies x_3 = \frac{11\pi}{12}
Sadece belirtilen tanım aralığındaki gerçel kökleri süzmek amaçlanır.
7
Bulunan üç farklı kök toplanır.
Toplam=π24+13π24+22π24=36π24=3π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{24} + \frac{13\pi}{24} + \frac{22\pi}{24} = \frac{36\pi}{24} = \frac{3\pi}{2}
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde toplam-fark formüllerinin kullanılması ve kosinüs denkleminin periyodik çözüm kümelerinin bulunması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →
cos⁡(2x)sin⁡(x)−cos⁡(x)=sin⁡(x)−cos⁡(x)\frac{\cos(2x)}{\sin(x) - \cos(x)} = \sin(x) - \cos(x) denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 1'dir.
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek için paydanın sıfırdan farklı olması gerektiği koşulunu yazın.
sin⁡(x)−cos⁡(x)≠0  ⟹  tan⁡(x)≠1\sin(x) - \cos(x) \neq 0 \implies \tan(x) \neq 1. Bu durumda (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığında x≠π4x \neq \frac{\pi}{4} ve x≠5π4x \neq \frac{5\pi}{4} olmalıdır.
Paydayı sıfır yapan değerler denklemi tanımsız kılacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenleyin.
cos⁡(2x)=(sin⁡(x)−cos⁡(x))2  ⟹  cos⁡(2x)=sin⁡2(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)+cos⁡2(x)  ⟹  cos⁡(2x)=1−sin⁡(2x)\cos(2x) = (\sin(x) - \cos(x))^2 \implies \cos(2x) = \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) \implies \cos(2x) = 1 - \sin(2x) elde edilir.
İfadeyi daha sade bir biçimde yazıp bilinen trigonometrik özdeşliklerden yararlanmak için.
3
Elde edilen cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1\cos(2x) + \sin(2x) = 1 denklemini yarım açı formüllerini kullanarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡2(x)−sin⁡2(x)+2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡2(x)+cos⁡2(x)  ⟹  2sin⁡(x)cos⁡(x)−2sin⁡2(x)=0  ⟹  2sin⁡(x)(cos⁡(x)−sin⁡(x))=0\cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x) \implies 2\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) = 0 \implies 2\sin(x)(\cos(x) - \sin(x)) = 0 bulunur. Buradan sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)−sin⁡(x)=0\cos(x) - \sin(x) = 0 elde edilir.
Çarpanlara ayırma yöntemiyle kök adaylarını belirlemek için.
4
Aday kökleri (0,2π)(0, 2\pi) aralığında bulun ve tanımsızlık koşuluna göre kontrol edin.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=π\sin(x) = 0 \implies x = \pi (geçerli kök). cos⁡(x)−sin⁡(x)=0  ⟹  x=π4\cos(x) - \sin(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4} veya x=5π4x = \frac{5\pi}{4} (paydayı sıfır yaptığından geçersiz). Toplamda sadece 1 adet gerçel kök (x=πx = \pi) vardır.
Bulunan aday köklerin başlangıçtaki denklemi tanımlı yapıp yapmadığını doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çözümünde sadeleştirme adımlarında ortaya çıkan yalancı köklerin payda kontrolü ile elenmesi.
Soru 6Soru →
cos⁡(2x)=12\cos(2x) = \frac{1}{2} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denkleminin belirtilen aralıkta 2 farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki gerçel kökleri genel çözümlerden elde edilen π6\frac{\pi}{6} ve 5π6\frac{5\pi}{6} değerleridir. Bu aralıkta başka gerçel kök bulunmadığından toplam kök sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs denkleminin genel çözüm formülünü uygulama
2x=π3+2kπ2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi veya 2x=−π3+2kπ2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin genel çözümü θ=α+2kπ\theta = \alpha + 2k\pi veya θ=−α+2kπ\theta = -\alpha + 2k\pi bağıntıları ile belirlenir.
2
xx değişkenini yalnız bırakmak için bölme yapma
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi veya x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
Eşitliklerin her iki tarafını xx'in katsayısı olan 2 ile bölerek köklerin genel formülüne ulaşırız.
3
[0,π][0, \pi] aralığına uygun kökleri belirleme
x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} ve x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6}
x=π6+kπx = \frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=0k=0 için x1=π6x_1 = \frac{\pi}{6} aralığa dahildir. x=−π6+kπx = -\frac{\pi}{6} + k\pi formülünde k=1k=1 için x2=5π6x_2 = \frac{5\pi}{6} aralığa dahildir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması
Tahmini Süre:50s
Soru 7Soru →

sin⁡(2x)=cos⁡(x)\sin(2x) = \cos(x) denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığında kaç farklı kökü vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kök sayısı 3'tür.
Denklemin [0,π][0, \pi] aralığında cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 eşitliğini sağlayan x=π2x = \frac{\pi}{2} olmak üzere 1 kökü ve sin⁡(x)=12\sin(x) = \frac{1}{2} eşitliğini sağlayan x=π6x = \frac{\pi}{6} ile x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olmak üzere 2 kökü vardır. Bu köklerin hepsi birbirinden farklı olup toplam kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü uygulanır.
2sin⁡(x)cos⁡(x)=cos⁡(x)2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)
Sinüs yarım açı özdeşliği olan sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) eşitliği kullanılarak denklem düzenlenir.
2
İfade çarpanlarına ayrılır.
cos⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0
Sadeleştirme nedeniyle kök kaybetmemek için tüm terimler bir tarafa toplanıp ortak paranteze alınır.
3
Çarpanlar sıfıra eşitlenerek basit denklemler kurulur.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya 2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=122\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2}
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
4
[0,π][0, \pi] aralığındaki kökler bulunur.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve sin⁡(x)=12  ⟹  x=π6,5π6\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}
Fonksiyonların [0,π][0, \pi] aralığındaki değerleri incelenerek uygun açı değerleri belirlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde çarpanlara ayırma yöntemi ve belirli bir aralıktaki köklerin bulunması.
Soru 8Soru →

2sin⁡2(x)−sin⁡(x)=02\sin^2(x) - \sin(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı 4'tür.
Verilen denklem sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Buradan sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler [0,π][0, \pi] kapalı aralığında x=0x = 0 ve x=πx = \pi olarak bulunur. 2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=122\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kökler ise aynı aralıkta x=π6x = \frac{\pi}{6} ve x=5π6x = \frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu durumda denklemin belirtilen aralıkta 4 farklı kökü vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2sin⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0
Çarpım durumuna getirilen ifadelerde kök bulmak için her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir.
2
İlk çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi
Sinüs fonksiyonunu sıfır yapan ve [0,π][0, \pi] kapalı aralığında yer alan açılar belirlenir.
3
İkinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilgili kökleri bulun.
2sin⁡(x)−1=0  ⟹  sin⁡(x)=12  ⟹  x=π62\sin(x) - 1 = 0 \implies \sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} veya x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
Sinüs değeri 12\frac{1}{2} olan ve [0,π][0, \pi] kapalı aralığına (birinci ve ikinci bölgeye) düşen açılar belirlenir.
4
Bulunan tüm kökleri birleştirerek toplam kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π6,5π6,π}\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \pi\} olup eleman sayısı 4'tür.
Tüm kökler birbirinden farklı ve verilen aralıkta yer aldığı için toplam kök sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
sin⁡3(x)cos⁡(3x)+cos⁡3(x)sin⁡(3x)=38\sin^3(x)\cos(3x) + \cos^3(x)\sin(3x) = \frac{3}{8} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel köklerinin toplamı en sade biçimde aπb\frac{a\pi}{b} radyan olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki köklerinin toplamı olan en sade rasyonel çarpanlı ifade 3π2\frac{3\pi}{2} olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+ba + b değeri 5'tir.
Verilen denklem, cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) açılımları yerine yazılarak düzenlendiğinde sin⁡(4x)=1/2\sin(4x) = 1/2 denklemine indirgenir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] kısıtlaması altında 4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında bu denklemi sağlayan 4 farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. En sade biçimde yazıldığında a=3a=3 ve b=2b=2 olup toplamları 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kat açı formüllerini kullanarak cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) terimlerini açmak
Denklemin sol tarafı: sin⁡3(x)(4cos⁡3(x)−3cos⁡(x))+cos⁡3(x)(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))\sin^3(x)(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + \cos^3(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için temel açı ilişkilerini kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmek
3sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))3\sin(x)\cos(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))
Parantezler dağıtıldığında 4sin⁡3(x)cos⁡3(x)4\sin^3(x)\cos^3(x) terimleri birbirini götürür.
3
Yarım açı formülleriyle ifadeyi sin⁡(4x)\sin(4x) cinsinden yazmak
Sol taraf 34sin⁡(4x)\frac{3}{4}\sin(4x) ifadesine eşitlenir.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) bağıntıları ile ifade basitleştirilir.
4
34sin⁡(4x)=38\frac{3}{4}\sin(4x) = \frac{3}{8} temel trigonometrik denklemini çözmek
sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2}
Denklemin her iki tarafı 43\frac{4}{3} ile çarpılarak basit trigonometrik denklem elde edilir.
5
x∈[0,π]x \in [0, \pi] tanım aralığı için 4x4x açısının sınırlarını belirleyip kökleri bulmak
4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında kökler x1=π24x_1 = \frac{\pi}{24}, x2=5π24x_2 = \frac{5\pi}{24}, x3=13π24x_3 = \frac{13\pi}{24}, x4=17π24x_4 = \frac{17\pi}{24} olarak bulunur.
Tanım aralığına uygun tüm köklerin eksiksiz belirlenmesi şarttır.
6
Bulunan tüm kökleri toplayıp aπb\frac{a\pi}{b} formuna getirmek ve a+ba+b değerini hesaplamak
Kökler toplamı =3π2  ⟹  a=3,b=2  ⟹  a+b=5= \frac{3\pi}{2} \implies a=3, b=2 \implies a+b=5
Toplamın en sade rasyonel biçimi elde edilerek istenen katsayılar toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üç kat açı, yarım açı özdeşlikleri ve değişken değiştirme yöntemleriyle trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki köklerinin analizi.
Soru 10Soru →

cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamının 2π2\pi radyan olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki köklerinin toplamı 2π2\pi radyandır.
Denklemin [0,2π][0, 2\pi] aralığındaki kökleri 2π3\frac{2\pi}{3} ve 4π3\frac{4\pi}{3} radyandır. Bu değerlerin toplamı 2π2\pi radyan yaptığı için önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Kosinüs değeri −12-\frac{1}{2} olan açıların birim çember üzerinde hangi bölgelerde yer aldığını belirleme.
Kosinüs fonksiyonunun değeri birim çember üzerindeki noktaların xx-koordinatına karşılık gelir. xx-koordinatının negatif olduğu bölgeler ikinci ve üçüncü bölgelerdir.
Kosinüsün negatif olduğu açı aralıklarını doğru tespit edebilmek için bu adım gereklidir.
2
Kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan birinci bölgedeki referans açıyı bulma.
Birinci bölgede cos⁡(π3)=12\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} olduğundan referans açısı θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} radyandır.
Diğer bölgelerdeki açı değerlerini referans a��ı yardımıyla hesaplamak için bu adım gereklidir.
3
İkinci ve üçüncü bölgelerdeki kökleri hesaplama.
İkinci bölgedeki kök: x1=π−π3=2π3x_1 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} radyandır. Üçüncü bölgedeki kök: x2=π+π3=4π3x_2 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} radyandır.
Belirtilen aralıktaki tüm gerçel kökleri bulmak için bu adım gereklidir.
4
Bulunan köklerin toplamını hesaplama.
Köklerin toplamı: x1+x2=2π3+4π3=6π3=2πx_1 + x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi radyandır. Dolayısıyla ifade doğrudur.
Soruda verilen ifadenin doğruluğunu test etmek için köklerin toplamı hesaplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Kosinüs fonksiyonunun belirli bir aralıktaki köklerinin bulunması ve toplanması.

Alternatif Yöntem

Birim çember üzerinde x=−12x = -\frac{1}{2} dikey doğrusu çizilerek çemberi kestiği noktalar incelenebilir. İkinci ve üçüncü bölgedeki bu kesim noktalarının xx-eksenine göre simetrik olması nedeniyle, bu noktaları temsil eden açıların toplamının geometrik olarak 2π2\pi radyan olacağı doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 11Soru →
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=a⋅sin⁡(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = a \cdot \sin(2x)
denkleminin gerçel sayılar kümesinde en az bir kökünün bulunmasını sağlayan en küçük aa değerinin 12\frac{1}{2} olduğu ifadesi doğru mudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

En küçük pozitif gerçel a parametresinin 1/2 olduğu ifadesi doğrudur.
Denklem ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürüldüğünde, sinüs fonksiyonunun değer aralığı kısıtlaması göz önüne alınarak yapılan kök analizi sonucunda, denklemin en az bir gerçel kökünün bulunması için pozitif a parametresinin alabileceği en küçük değerin 1/2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)\sin^4(x) + \cos^4(x) ifadesini sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden ifade ediniz.
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))2−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1−12sin⁡2(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözülebilir cebirsel bir yapıya dönüştürmek.
2
u=sin⁡(2x)u = \sin(2x) dönüşümü yaparak denklemi uu değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düzenleyiniz ve uu için sınırları belirleyiniz.
1−12u2=au  ⟹  u2+2au−2=01 - \frac{1}{2}u^2 = a u \implies u^2 + 2au - 2 = 0 ve x∈Rx \in \mathbb{R} olduğundan −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır.
Trigonometrik denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek ve tanım kümesi kısıtlamas��nı belirlemek.
3
u2+2au−2=0u^2 + 2au - 2 = 0 denkleminin köklerinin çarpımını ve işaretlerini inceleyiniz.
Kökler çarpımı u1⋅u2=−2u_1 \cdot u_2 = -2'dir. Bu durum köklerin zıt işaretli olduğunu ve mutlak değerce çarpımlarının 22 olduğunu gösterir. Dolayısıyla, köklerin ikisi birden [−1,1][-1, 1] aralığında yer alamaz. Denklemin gerçel kökünün olması için köklerden sadece birinin bu aralıkta olması yeterlidir.
Zıt işaretli köklerin hangi koşullarda [−1,1][-1, 1] aralığına düşebileceğini analiz etmek.
4
Pozitif kök olan u2=−a+a2+2u_2 = -a + \sqrt{a^2 + 2} değerinin 0<u2≤10 < u_2 \le 1 aralığında olması koşulunu çözünüz.
−a+a2+2≤1  ⟹  a2+2≤a+1-a + \sqrt{a^2 + 2} \le 1 \implies \sqrt{a^2 + 2} \le a + 1. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤a2+2a+1  ⟹  2a≥1  ⟹  a≥12a^2 + 2 \le a^2 + 2a + 1 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge \frac{1}{2} bulunur.
Pozitif kökün sinüs sınır değerini aşmaması için gereken parametre aralığını belirlemek.
5
Negatif kök olan u1=−a−a2+2u_1 = -a - \sqrt{a^2 + 2} değerinin −1≤u1<0-1 \le u_1 < 0 aralığında olması koşulunu çözünüz ve sonuçları birleştiriniz.
−1≤−a−a2+2  ⟹  a2+2≤1−a-1 \le -a - \sqrt{a^2 + 2} \implies \sqrt{a^2 + 2} \le 1 - a. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤1−2a+a2  ⟹  2a≤−1  ⟹  a≤−12a^2 + 2 \le 1 - 2a + a^2 \implies 2a \le -1 \implies a \le -\frac{1}{2} bulunur. Soruda aa pozitif gerçel sayı olarak verildiğinden a≥12a \ge \frac{1}{2} koşulu geçerlidir. Dolayısıyla en küçük aa değeri 12\frac{1}{2}'dir.
Tüm olası çözümleri birleştirerek pozitif aa parametresi için en küçük değeri kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülmesi ve köklerin tanım kümesi sınırlarına göre analiz edilmesi
Soru 12Soru →
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+2cos⁡(2x)=0\sin(3x) + \cos(3x) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 denkleminin [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13π2\frac{13\pi}{2}

Cevap

Tüm köklerin toplamı olan 13π2\frac{13\pi}{2} ifadesi
Denklemin çözümü için yapılan dönüşümler sonucunda [0,2π][0, 2\pi] aralığında toplam 6 adet farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 13π2\frac{13\pi}{2} değerine eşit olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı açı formülünü kullanarak sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\sin(3x) + \cos(3x) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarız.
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=2(12sin⁡(3x)+12cos⁡(3x))=2sin⁡(3x+π4)\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki iki terimi tek bir terime indirgeyerek cos⁡(2x)\cos(2x) ile karşılaştırılabilir hale getirmek için.
2
Elde edilen bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarız ve sadeleştirme yaparız.
2sin⁡(3x+π4)+2cos⁡(2x)=0  ⟹  sin⁡(3x+π4)=−cos⁡(2x)\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \implies \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos(2x) elde edilir.
Denklemi çözebilmek adına ortak çarpan olan 2\sqrt{2} teriminden kurtulmak ve fonksiyonları yalnız bırakmak için.
3
−cos⁡(2x)-\cos(2x) ifadesini sinüs cinsine dönüştürürüz.
−cos⁡(2x)=sin⁡(2x−π2)-\cos(2x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) özdeşliğini kullanarak denklem sin⁡(3x+π4)=sin⁡(2x−π2)\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) formuna getirilir.
Denklemin her iki yanını da aynı trigonometrik fonksiyon (sinüs) cinsinden ifade edip genel çözüm kurallarını uygulayabilmek için.
4
Sinüs fonksiyonunun genel çözüm kuralını (A=B+2kπA = B + 2k\pi veya A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi) uygularız.
1. Durum: 3x+π4=2x−π2+2kπ  ⟹  x=−3π4+2kπ3x + \frac{\pi}{4} = 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi
2. Durum: 3x+π4=π−(2x−π2)+2kπ  ⟹  5x=5π4+2kπ  ⟹  x=π4+2kπ53x + \frac{\pi}{4} = \pi - \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{5} (k∈Zk \in \mathbb{Z}) elde edilir.
Trigonometrik denklemin tüm olası kök ailelerini belirlemek için.
5
Her iki çözüm ailesinden [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığına düşen kökleri tek tek belirleriz.
1. Durumdan: k=1k = 1 için x=5π4x = \frac{5\pi}{4} bulunur.
2. Durumdan:
- k=0  ⟹  x=π4k = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}
- k=1  ⟹  x=13π20k = 1 \implies x = \frac{13\pi}{20}
- k=2  ⟹  x=21π20k = 2 \implies x = \frac{21\pi}{20}
- k=3  ⟹  x=29π20k = 3 \implies x = \frac{29\pi}{20}
- k=4  ⟹  x=37π20k = 4 \implies x = \frac{37\pi}{20} bulunur.
Toplamda 6 adet benzersiz kök elde edilir: {π4,13π20,21π20,5π4,29π20,37π20}\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{13\pi}{20}, \frac{21\pi}{20}, \frac{5\pi}{4}, \frac{29\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}\right\}.
Belirlenen aralıktaki tüm gerçel kökleri saptamak için.
6
Bulunan tüm köklerin toplamını hesaplarız.
Toplam=5π20+13π20+21π20+25π20+29π20+37π20=130π20=13π2\text{Toplam} = \frac{5\pi}{20} + \frac{13\pi}{20} + \frac{21\pi}{20} + \frac{25\pi}{20} + \frac{29\pi}{20} + \frac{37\pi}{20} = \frac{130\pi}{20} = \frac{13\pi}{2} olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yardımcı açı dönüşümü ve yarım açı formülleri kullanılarak çözülmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 13Soru →
sin⁡(2x)−sin⁡(x)=0\sin(2x) - \sin(x) = 0

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Farklı köklerin sayısı 3'tür.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} elde edilir. [0,π][0, \pi] aralığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler 00 ve π\pi iken, cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kök π3\frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda toplam 3 farklı kök bulunur. Dolayısıyla 3 değerini gösteren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) olduğundan denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0 şekline gelir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için aynı açı cinsinden trigonometrik ifadeler elde etmek gerekir.
2
Denklemi sin⁡(x)\sin(x) parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi olur. 2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=12  ⟹  x=π32\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} olur.
Verilen [0,π][0, \pi] kapalı aralığında bu eşitlikleri sağlayan tüm gerçel sayıları belirlemek gerekir.
4
Kökleri birleştirip toplam farklı kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π3,π}\{0, \frac{\pi}{3}, \pi\} olup 3 farklı kök vardır.
Soruda bizden istenen [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı köklerin sayısıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Soru 14Soru →
2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=02\cos^2(x) - \cos(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π6\frac{5\pi}{6}

Cevap

Köklerin toplamı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
Verilen denklem cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alındığında cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} olur. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitlikleri sağlayan kökler sırasıyla π2\frac{\pi}{2} ve π3\frac{\pi}{3} radyandır. Bu köklerin toplamı ise 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0
Denklemin köklerini kayıpsız bulmak için sadeleştirme yapmak yerine çarpanlara ayırma yöntemi kullanılmalıdır.
2
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyin.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}
Bir çarpım işleminin sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Elde edilen denklemlerin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve cos⁡(x)=12  ⟹  x=π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}
[0,π][0, \pi] aralığında kosinüs değeri sıfır olan tek açı π2\frac{\pi}{2}, kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan tek açı ise π3\frac{\pi}{3} radyandır.
4
Bulunan kökleri toplayarak nihai sonuca ulaşın.
π2+π3=5π6\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
Soruda [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlara Ayırma Yöntemiyle Çözümü
Soru 15Soru →
cos⁡2(x)+cos⁡2(2x)+cos⁡2(3x)=1\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5π2\frac{5\pi}{2}

Cevap

Köklerin toplamı olan 5π2\frac{5\pi}{2} ifadesi
Denklemin derece düşürme ve toplam-çarpım formülleriyle çözümü sonucunda [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı kökleri π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4}, π2\frac{\pi}{2}, 3π4\frac{3\pi}{4} ve 5π6\frac{5\pi}{6} olarak bulunur. Bu köklerin toplamı 5π2\frac{5\pi}{2}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Derece düşürme formüllerini uygulamak.
cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

cos⁡2(3x)=1+cos⁡(6x)2\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}
Derecesi 2 olan terimleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için birinci dereceden kosinüs ifadelerine dönüştürüyoruz.
2
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine koyup sadeleştirmek.
1+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)+1+cos⁡(6x)2=1\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 1

1+cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=11 + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 1

cos⁡(6x)+cos⁡(2x)2+cos⁡2(2x)=0\frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 0
Denklemin her iki tarafındaki 1 sayıları sadeleşir ve denklem daha yalın bir hale gelir.
3
Kosinüs toplam-çarpım formülünü uygulamak.
cos⁡(6x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(4x)cos⁡(2x)\cos(6x) + \cos(2x) = 2\cos(4x)\cos(2x)

Denklemde yerine koyulduğunda:

cos⁡(4x)cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)=0\cos(4x)\cos(2x) + \cos^2(2x) = 0
Toplam durumundaki kosinüs terimlerini ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla çarpım biçimine dönüştürüyoruz.
4
Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak.
cos⁡(2x)(cos⁡(4x)+cos⁡(2x))=0\cos(2x)(\cos(4x) + \cos(2x)) = 0

cos⁡(4x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(3x)cos⁡(x)\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)

yazılarak nihai denklem:

2cos⁡(x)cos⁡(2x)cos⁡(3x)=02\cos(x)\cos(2x)\cos(3x) = 0
Denklemin sol tarafını tamamen çarpım biçimine getirerek her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip kökleri bulmayı kolaylaştırıyoruz.
5
[0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki kökleri bulmak.
1) cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

2) cos⁡(2x)=0  ⟹  x=π4,3π4\cos(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}

3) cos⁡(3x)=0  ⟹  x=π6,π2,5π6\cos(3x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}
Çarpanların sıfır olduğu değerleri [0,π][0, \pi] tanım aralığında hesaplıyoruz.
6
Kökleri listeleyip toplamak.
Farklı köklerin kümesi: {π6,π4,π2,3π4,5π6}\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Köklerin toplamı:

Toplam=π6+π4+π2+3π4+5π6=5π2\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}
x=π2x = \frac{\pi}{2} kökü iki farklı grupta da çıktığı için yalnızca bir kez toplanmalıdır. Bulunan farklı köklerin toplamını hesaplıyoruz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin derece düşürme, toplam-çarpım formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü; belirli bir aralıktaki farklı köklerin tespiti.
Soru 16Soru →
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(x)\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11π9\frac{11\pi}{9}

Cevap

11π9\frac{11\pi}{9}
Doğru cevap olan 11π9\frac{11\pi}{9} değeri, verilen denklemin sol tarafının sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) biçimine getirilmesiyle bulunur. Bu denklemin genel çözümlerinden [0,π][0, \pi] aralığına uygun olan farklı gerçel kökler π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3} olarak elde edilir. Bu değerlerin toplamı 11π9\frac{11\pi}{9} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafını doğrusal kombinasyon özelliğini kullanarak tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edelim.
sin⁡(2x+π6)=cos⁡(x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x)
Eşitliğin sol tarafı 22 parantezine alındığında, 2(32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x))=2sin⁡(2x+π6)2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) elde edilir. Her iki taraf 22'ye bölünerek denklem sadeleştirilir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs ifadesini tümler açı ilişkisini kullanarak sinüs cinsinden yazalım.
sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) özdeşliği sayesinde denklem çözülebilir sinüs eşitliği formuna getirilir.
3
Sinüs denkleminin çözüm kurallarını uygulayarak iki farklı genel çözüm durumunu belirleyelim.
Birinci durum: x=π9+2kπ3x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
İkinci durum: x=π3+2kπx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(A)=sin⁡(B)\sin(A) = \sin(B) denkleminin genel çözümü A=B+2kπA = B + 2k\pi ve A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi durumlarından oluşur.
4
Genel çözümlerde kk yerine tam sayı değerleri vererek [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel kökleri bulalım ve toplayalım.
Kökler: π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3}
Toplam: π9+7π9+3π9=11π9\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}
Bulunan genel çözümlerden sadece verilen [0,π][0, \pi] aralığına düşen değerler belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde doğrusal kombinasyonların dönüşümü ve belirli bir aralıktaki köklerin periyodik olarak bulunması.
Soru 17Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=1\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kπk\pi radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.
sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.
Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.
2
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.
Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.
Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.
3
cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.
2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.
cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.
4
Kökleri toplayıp k değerini elde edin.
Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.
Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması
Soru 18Soru →
cos⁡(3x)cos⁡(x)=2sin⁡(x)\frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 2\sin(x)

denkleminin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: π\pi

Cevap

Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı π\pi radyandır.
Denklemin (0,π)(0, \pi) açık aralığında tanımlı ve geçerli olan iki kökü vardır. Bu kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} değerleridir. Bu iki kökün toplamı π10+9π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \pi radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi içler dışlar çarpımı yaparak düzenlemek ve tanımsızlık şartını belirlemek.
cos⁡(3x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\cos(3x) = 2\sin(x)\cos(x) elde edilir. Burada sağ tarafta yarım açı formülü uygulanırsa denklem cos⁡(3x)=sin⁡(2x)\cos(3x) = \sin(2x) biçimine dönüşür. Ancak başlangıçtaki rasyonel ifadede payda sıfırdan farklı olmak zorunda olduğundan, cos⁡(x)≠0\cos(x) \neq 0 yani x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z}) olmalıdır.
Denklemi standart trigonometrik denklem çözme formuna getirmek ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden elemek için.
2
Kosinüs ve sinüs ifadelerini aynı cinsten yazarak genel çözüm formüllerini oluşturmak.
cos⁡(3x)=cos⁡(π2−2x)\cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) olarak yazılır. Buradan iki farklı genel çözüm durumu ortaya çıkar:

1. Durum:
3x=(π2−2x)+2kπ  ⟹  5x=π2+2kπ  ⟹  x=π10+2kπ53x = \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}

2. Durum:
3x=−(π2−2x)+2kπ  ⟹  3x=−π2+2x+2kπ  ⟹  x=−π2+2kπ3x = -\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + 2k\pi \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2x + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi
Kosinüs denklemlerinin genel çözüm kurallarını uygulayarak tüm olası kökleri içeren formüllere ulaşmak için.
3
Genel çözümlerden (0,π)(0, \pi) açık aralığına düşen kökleri bulmak ve geçerliliğini denetlemek.
1. Durum için:
- k=0  ⟹  x1=π10k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x1)≠0\cos(x_1) \neq 0 şartını sağlar.)
- k=1  ⟹  x2=5π10=π2k=1 \implies x_2 = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2} (Aralıktadır ancak başlangıçtaki denklemin paydasını sıfır yaptığı için geçersizdir.)
- k=2  ⟹  x3=9π10k=2 \implies x_3 = \frac{9\pi}{10} (Aralıktadır ve cos⁡(x3)≠0\cos(x_3) \neq 0 şartını sağlar.)
- Diğer kk değerleri için kökler (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır.

2. Durum için:
- k=1  ⟹  x=3π2k=1 \implies x = \frac{3\pi}{2} değeri (0,π)(0, \pi) aralığının dışındadır ve bu durumdan aralığa uyan geçerli bir kök elde edilmez.
Belirtilen sınırlı aralıktaki kökleri tespit etmek ve paydanın sıfır olma durumunu inceleyerek hatalı kökleri ayıklamak için.
4
Bulunan geçerli köklerin toplamını hesaplamak.
Geçerli kökler π10\frac{\pi}{10} ve 9π10\frac{9\pi}{10} olarak bulunmuştur. Toplamları:
π10+9π10=10π10=π\frac{\pi}{10} + \frac{9\pi}{10} = \frac{10\pi}{10} = \pi radyandır.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemler ve Çözüm Kümelerinde Tanımsızlık Kontrolü
Soru 19Soru →
cos⁡(2x)−1sin⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\cos(2x) - 1}{\sin(x)} = \tan(x) denkleminin (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2π2\pi

Cevap

2π2\pi
Denklemin sadeleştirilmesi ve tanım kümesi kısıtlamalarının (paydaları sıfır yapan değerlerin elenmesi) uygulanmasıyla gerçel köklerin iki adet olduğu ve bunların 120 ve 240 derecelere karşılık gelen kökler olduğu bulunur. Bu köklerin toplamı olan değer doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesi kısıtlamalarını belirlemek.
sin⁡(x)≠0⇒x≠π\sin(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pi ve cos⁡(x)≠0⇒x≠π2\cos(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} (Verilen (0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığı için).
Orijinal denklemdeki paydaların sıfır olmaması gerekir.
2
cos⁡(2x)−1\cos(2x) - 1 ifadesine yarım açı formülü uygulamak.
cos⁡(2x)−1=(1−2sin⁡2(x))−1=−2sin⁡2(x)\cos(2x) - 1 = (1 - 2\sin^2(x)) - 1 = -2\sin^2(x)
İfadeyi sadeleştirmek ve tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek.
3
Yarım açı sonucunu denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
−2sin⁡2(x)sin⁡(x)=tan⁡(x)⇒−2sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{-2\sin^2(x)}{\sin(x)} = \tan(x) \Rightarrow -2\sin(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} (sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğu için).
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirmek.
4
Elde edilen denklemi çözerek temel trigonometrik denkleme ulaşmak.
−2sin⁡(x)cos⁡(x)=sin⁡(x)⇒sin⁡(x)(2cos⁡(x)+1)=0-2\sin(x)\cos(x) = \sin(x) \Rightarrow \sin(x)(2\cos(x) + 1) = 0. sin⁡(x)≠0\sin(x) \neq 0 olduğundan cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} bulunur.
Denklemin tüm terimlerini bir tarafa toplayıp çarpanlarına ayırmak.
5
cos⁡(x)=−12\cos(x) = -\frac{1}{2} denkleminin verilen aralıktaki köklerini bulup toplamak.
x1=2π3x_1 = \frac{2\pi}{3} ve x2=4π3x_2 = \frac{4\pi}{3}. Toplam: 2π3+4π3=2π\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi.
(0,3π2)(0, \frac{3\pi}{2}) aralığında kosinüsü −1/2-1/2 olan açıları belirlemek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri, sadeleştirme kuralları ve tanım kümesi kısıtlamalarının uygulanması.
Soru 20Soru →
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Denklemin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.
Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde 4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten 4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0 denklemine ulaşılır. Buradan cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 veya cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 olmalıdır. cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0 durumundan [0,π][0, \pi] aralığında x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} kökleri elde edilir ve bu kökler başlangıçtaki ifadenin paydalarını sıfır yapmaz. Ancak cos⁡(2x)=1\cos(2x) = 1 durumundan elde edilen x=0x = 0 ve x=πx = \pi kökleri sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 yaparak paydayı sıfır yaptığından tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden aralıktaki farklı köklerin sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Payları eşitleyerek sol tarafı tek bir kesir olarak yazın ve pay/payda kısımlarında trigonometrik özdeşlikleri uygulayın.
sin⁡(4x)sin⁡(2x)2=4cos⁡2(2x)\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = 4\cos^2(2x)
Sol taraftaki iki rasyonel ifadeyi tek bir terim haline getirmek ve sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini yarım açı formülüyle açarak sadeleştirme yapın.
4cos⁡(2x)=4cos⁡2(2x)4\cos(2x) = 4\cos^2(2x) (Burada sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olmalıdır)
İfadeyi daha basit bir trigonometrik denklem formuna dönüştürmek için.
3
Denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.
4cos⁡(2x)(cos⁡(2x)−1)=04\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0
Çarpanların her birini sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını bulmak için.
4
Bulunan kök adaylarının tanım kümesine uygunluğunu denetleyin ve [0,π][0, \pi] aralığındaki kök sayısını belirleyin.
x=π4x = \frac{\pi}{4} ve x=3π4x = \frac{3\pi}{4} geçerli köklerdir. x=0x = 0 ve x=πx = \pi ise paydayı sıfır yaptığından elenir. Toplam kök sayısı 2'dir.
Rasyonel ifadeler içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan değerlerin kök olamayacağını kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü
Tahmini Süre:2m 30s
Sayfa 1 / 2Sonraki