\tan(2x) - \cot(x) = 0 denkleminin (0, \pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin top… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\tan(2x) - \cot(x) = 0

denkleminin $(0, \pi)$ açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı $S$ radyandır.

Buna göre,

\frac{S}{\pi}

oranı kaçtır?

Cevap: 1.5

Köklerin toplamının

\pi

radyana oranı 1,5'tir.

Denklemin kökleri sinüs ve kosinüs dönüşümleriyle tam olarak incelendiğinde,

(0, \pi)

aralığında

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{2}

\frac{5\pi}{6}

olmak üzere 3 farklı gerçel kök bulunur. Bu köklerin toplamı

1,5\pi

radyandır. Dolayısıyla bu toplamın

\pi

değerine oranı 1,5'tir.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarını sinüs ve kosinüs oranları olarak yazın.

\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} - \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = 0

Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için temel fonksiyonlara dönüştürüyoruz.

Paydaları eşitleyerek ortak paydada yazın.

\frac{\sin(2x)\sin(x) - \cos(2x)\cos(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0

Rasyonel ifadenin sıfıra eşitliğini incelemek için pay ve paydayı belirlemek gerekir.

Pay kısmını eksi parantezine alıp kosinüsün toplam formülünü uygulayın.

-\frac{\cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0 \implies -\frac{\cos(3x)}{\cos(2x)\sin(x)} = 0

Trigonometrik toplam formülü sayesinde payı tek bir kosinüs fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.

İfadenin sıfır olması için payı sıfır yapan kökleri bulun.

\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}

Bir kesrin sıfır olması için payının sıfır olması gerekir.

(0, \pi)

aralığındaki

k

tamsayı değerleri için kökleri listeleyin ve tanımlılık kontrolü yapın.

k=0 \implies x_1 = \frac{\pi}{6}

k=1 \implies x_2 = \frac{\pi}{2}

k=2 \implies x_3 = \frac{5\pi}{6}

Bu değerlerin hiçbiri paydayı (yani

\cos(2x)\sin(x)

) sıfır yapmaz, dolayısıyla tanımlıdır.

Bulunan aday köklerin orijinal denklemdeki fonksiyonları tanımsız yapıp yapmadığı kontrol edilmelidir.

Bulunan köklerin toplamını hesaplayıp

\pi

değerine oranlayın.

S = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = 1,5\pi \implies \frac{S}{\pi} = 1,5

Soru kökündeki toplam oranını bulmak.

Trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulma ve tanımlılık kontrolü yapma.

Soru