Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−4x+3∣x−3+2x+k,x<3x2−2x+1,x≥3f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 4x + 3|}{x - 3} + 2x + k, & x < 3 \\ x^2 - 2x + 1, & x \ge 3 \end{cases}

fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için k=0k = 0 olmalıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Verilen parçalı fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sağ limiti 44 ve sol limiti 4+k4+k olup, limitin var olabilmesi için bu iki değerin eşit olması (k=0k = 0) gerekmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
x=3x = 3 noktasındaki sağ limiti hesaplayın.
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(x2−2x+1)=32−2(3)+1=4\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 2x + 1) = 3^2 - 2(3) + 1 = 4
x→3+x \to 3^+ iken x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun alt dalı kullanılır.
2
x→3−x \to 3^- için mutlak değerli terimin işaretini belirleyin ve sadeleştirin.
x<3x < 3 ve xx değeri 33'e yeterince yakınken (örneğin 1<x<31 < x < 3 aralığında) x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) çarpımında (x−3)<0(x-3) < 0 ve (x−1)>0(x-1) > 0 olduğundan ifade negatif değerler alır. Bu nedenle ∣x2−4x+3∣=−(x2−4x+3)=−(x−3)(x−1)|x^2 - 4x + 3| = -(x^2 - 4x + 3) = -(x-3)(x-1) olarak dışarı çıkar. Buradan rasyonel ifade −(x−3)(x−1)x−3=−(x−1)=1−x\frac{-(x-3)(x-1)}{x-3} = -(x-1) = 1-x şeklinde sadeleşir.
0/00/0 belirsizliğini ortadan kaldırmak için mutlak değer dışına ç��karma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
3
x=3x = 3 noktasındaki sol limiti hesaplayın.
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(1−x+2x+k)=lim⁡x→3−(x+1+k)=3+1+k=4+k\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (1 - x + 2x + k) = \lim_{x \to 3^-} (x + 1 + k) = 3 + 1 + k = 4 + k
Sadeleşmiş fonksiyon ifadesinde limit değeri yerine yazılarak sol limit hesaplanır.
4
Sağ ve sol limitleri eşitleyerek kk değerini bulun.
4+k=4  ⟹  k=04 + k = 4 \implies k = 0
Kritik noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitini hesaplarken kritik noktalarda sağdan ve soldan limitler ayrı ayrı incelenmelidir. Mutlak değer içeren ifadelerde limit noktasına yaklaşırken ifadenin işareti belirlenerek mutlak değer dışına çıkarma işlemi yapılmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru