Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(1)=7f(1) = 7
- f(π/2)=9f(\pi/2) = 9

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)⋅f′(sin⁡2x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \cdot f'(\sin^2 x) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    1010
  2. B
    77
  3. 55Cevap
  4. D
    99
  5. E
    52\frac{5}{2}

Cevap

Değeri 5 olan seçenektir.
Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak u=sin⁡2xu = \sin^2 x seçildiğinde du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx olur. İntegral sınırları x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=π/2x = \pi/2 için u=1u = 1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫01f′(u) du=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = f(1) - f(0) haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 7−2=57 - 2 = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme uygulamak için uygun bir dönüşüm seçilir.
u=sin⁡2xu = \sin^2 x dönüşümü yapılır.
İntegralin içindeki f′(sin⁡2x)f'(\sin^2 x) ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyelini dışarıdaki trigonometrik ifadeyle ilişkilendirmek için bu dönüşüm seçilir.
2
Seçilen dönüşümün diferansiyeli alınır.
du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2 \sin x \cos x \, dx elde edilir. Yarım açı formülünden bu ifade du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx şekline dönüşür.
İntegraldeki sin⁡(2x) dx\sin(2x) \, dx teriminin yerine dudu yazabilmek için diferansiyel hesabı tamamlanır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)=0x = 0 \implies u = \sin^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡2(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin^2(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.
∫01f′(u) du=[f(u)]01=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1} = f(1) - f(0)
Verilen değerler yerine yazıldığında:
7−2=57 - 2 = 5
sonucu elde edilir.
İntegral alma kuralları ve Analizin Temel Teoremi uygulanarak integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisinin kurulması ve sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru