Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir belediye, başlattığı çevre temizliği ve geri dönüşüm projesinin ilk ayında 160160 ton plastik atık toplamıştır. Proje kapsamında her ay toplanan plastik atık miktarı, bir önceki aya göre sabit bir oranda artmıştır.

Bu proje kapsamında ilk 33 ayda toplanan toplam plastik atık miktarı 760760 ton olduğuna göre, projenin 55. ayında toplanan plastik atık miktarı kaç tondur?

  1. A
    540
  2. B
    1215
  3. 810Cevap
  4. D
    520
  5. E
    166

Cevap

810 ton
Geri dönüşüm projesinde toplanan plastik atık miktarı geometrik bir dizi oluşturmaktadır. İlk ay toplanan miktar a1=160a_1 = 160 ve ilk üç ayda toplanan toplam miktar S3=a1(1+r+r2)=760S_3 = a_1(1 + r + r^2) = 760 olarak veriliyor. Buradan 1+r+r2=4,751 + r + r^2 = 4,75 elde edilir. Bu ikinci dereceden denklem çözüldüğünde, ortak çarpanın pozitif olması gerektiğinden (r>0r > 0) ortak çarpan r=1,5r = 1,5 bulunur. Projenin 5. ayında toplanan miktar ise a5=a1⋅r4=160⋅(1,5)4=810a_5 = a_1 \cdot r^4 = 160 \cdot (1,5)^4 = 810 ton olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk ay toplanan atık miktarını ve ilk 3 ayın toplamını veren denklemi yazın.
a1=160a_1 = 160 ve S3=a1+a2+a3=760S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 760 ton
Toplanan atık miktarı geometrik dizi oluşturduğu için terimleri ortak çarpan rr cinsinden ifade etmeliyiz.
2
Ortak çarpan rr değerini bulmak için denklemi çözün.
160(1+r+r2)=760  ⟹  1+r+r2=4,75  ⟹  4r2+4r−15=0160(1 + r + r^2) = 760 \implies 1 + r + r^2 = 4,75 \implies 4r^2 + 4r - 15 = 0 denkleminden r=1,5r = 1,5 bulunur.
Atık miktarı sürekli arttığı için ortak çarpan pozitif (r>0r > 0) olmalıdır.
3
Projenin 5. ayında toplanan atık miktarını hesaplayın.
a5=a1⋅r4=160⋅(1,5)4=810a_5 = a_1 \cdot r^4 = 160 \cdot (1,5)^4 = 810 ton
Geometrik dizinin genel terim formülü an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olduğundan, 5. terim için n=5n=5 yazılır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizilerin gerçek hayat problemlerine uygulanması ve geometrik dizi toplam formülü.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bu konudan daha fazla soru