Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir ff fonksiyonunun yerel maksimum noktası A(6,12)A(6, 12), yerel minimum noktası ise B(−3,−6)B(-3, -6)'dır.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Cevap: 45 birim

Cevap

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık 45 birimdir.
Yerel maksimum noktası A(6,12)A(6,12) ve yerel minimum noktası B(−3,−6)B(-3,-6) olan ff fonksiyonuna uygulanan g(x)=2⋅f(x/3)g(x) = 2 \cdot f(x/3) dönüşümü, grafiği yatayda 3 kat ve dikeyde 2 kat esnetir. Bu dönüşüm sonucunda yeni yerel ekstremum noktaları A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) olur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık analitik düzlemde (18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=45\sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 45 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)=2⋅f(x3)g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right) fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun maksimum noktası olan A(6,12)A(6, 12) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktası A′(18,24)A'(18, 24) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun maksimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin 66 olması gerekir. Buradan x3=6  ⟹  x=18\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅12=242 \cdot 12 = 24 olur.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatlarını belirlemek için ff fonksiyonunun minimum noktası olan B(−3,−6)B(-3, -6) referans alınır.
g(x)g(x) fonksiyonunun yerel minimum noktası B′(−9,−12)B'(-9, -12) olarak bulunur.
g(x)g(x) fonksiyonunun minimum değere ulaşması için ff fonksiyonunun girdisinin −3-3 olması gerekir. Buradan x3=−3  ⟹  x=−9\frac{x}{3} = -3 \implies x = -9 elde edilir. Dikey esneme katsayısı 22 olduğundan ordinat değeri 2⋅(−6)=−122 \cdot (-6) = -12 olur.
3
Elde edilen A′(18,24)A'(18, 24) ve B′(−9,−12)B'(-9, -12) noktaları arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplanır.
Uzaklık 4545 birim olarak hesaplanır.
Uzaklık formülü ∣A′B′∣=(18−(−9))2+(24−(−12))2=272+362=9⋅32+42=9⋅5=45|A'B'| = \sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 9 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 9 \cdot 5 = 45 birimdir.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümlerinin koordinatlar üzerindeki etkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Bu konudan daha fazla soru