Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Denklemler
sin⁡(2x)−sin⁡(x)=0\sin(2x) - \sin(x) = 0

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı köklerinin sayısı kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Farklı köklerin sayısı 3'tür.
Denklem çarpanlarına ayrıldığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} elde edilir. [0,π][0, \pi] aralığında sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 denklemini sağlayan kökler 00 ve π\pi iken, cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} denklemini sağlayan kök π3\frac{\pi}{3}'tür. Bu durumda toplam 3 farklı kök bulunur. Dolayısıyla 3 değerini gösteren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formülü kullanarak sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesini açın.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) olduğundan denklem 2sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)=02\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = 0 şekline gelir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alabilmek için aynı açı cinsinden trigonometrik ifadeler elde etmek gerekir.
2
Denklemi sin⁡(x)\sin(x) parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
sin⁡(x)(2cos⁡(x)−1)=0\sin(x)(2\cos(x) - 1) = 0 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek [0,π][0, \pi] aralığındaki kökleri bulun.
sin⁡(x)=0  ⟹  x=0\sin(x) = 0 \implies x = 0 veya x=πx = \pi olur. 2cos⁡(x)−1=0  ⟹  cos⁡(x)=12  ⟹  x=π32\cos(x) - 1 = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} olur.
Verilen [0,π][0, \pi] kapalı aralığında bu eşitlikleri sağlayan tüm gerçel sayıları belirlemek gerekir.
4
Kökleri birleştirip toplam farklı kök sayısını belirleyin.
Kökler kümesi {0,π3,π}\{0, \frac{\pi}{3}, \pi\} olup 3 farklı kök vardır.
Soruda bizden istenen [0,π][0, \pi] aralığındaki farklı köklerin sayısıdır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru