Sürtünmesiz yatay düzlemde, k yay sabitine sahip esnek bir yayın ucuna bağlı m kütleli cis… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesiz yatay düzlemde, $k$ yay sabitine sahip esnek bir yayın ucuna bağlı $m$ kütleli cisim $x = \pm R$ noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır. Denge konumu $x = 0$ noktası olan bu sistemde;

* Cismin kinetik enerjisinin, yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisine eşit olduğu ilk andaki konumu $x_1$ ,
* Cismin ivmesinin büyüklüğünün, maksimum ivmesinin büyüklüğünün yarısına eşit olduğu ilk andaki konumu ise $x_2$

olarak tanımlanıyor.

Buna göre, cisim $x_1$ konumundan geçerken sahip olduğu süratin, $x_2$ konumundan geçerken sahip olduğu sürate oranı $\frac{v_1}{v_2}$ kaçtır?

A
$\sqrt{2}$
B
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\frac{\sqrt{6}}{3}$ Cevap
D
$\frac{\sqrt{6}}{2}$
E
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Cevap

Süratlerin oranı olan karekök altı bölü üç

Kinetik ve potansiyel enerjilerin eşitlendiği konumda, cismin kinetik enerjisi toplam enerjinin yarısı olur ve sürati maksimum süratin karekök ikiye bölümüne eşitlenir. İvmenin yarıya düştüğü konumda ise cisim genliğin yarısındadır (

R/2

). Bu noktada potansiyel enerji toplam enerjinin dörtte biri kadar olduğundan kinetik enerji toplam enerjinin dörtte üçü olur ve sürat maksimum süratin karekök üç bölü iki katına ulaşır. Bu iki değer oranlandığında karekök altı bölü üç sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

Basit harmonik harekette toplam enerjinin korunumu bağıntısını yazmak

E_T = E_k + E_p = \frac{1}{2} k R^2 = \frac{1}{2} m v_{max}^2

Sistem sürtünmesiz olduğundan mekanik enerji korunur ve herhangi bir andaki kinetik ile potansiyel enerjilerin toplamı maksimum kinetik enerjiye veya maksimum potansiyel enerjiye eşittir.

x_1

konumunda kinetik enerjinin potansiyel enerjiye eşit olması durumunu kullanarak bu konumdaki sürati bulmak

E_{k1} = E_{p1} \Rightarrow E_T = 2E_{k1} \Rightarrow E_{k1} = \frac{E_T}{2} \Rightarrow v_1 = \frac{v_{max}}{\sqrt{2}}

Kinetik enerji, süratin karesiyle doğru orantılıdır. Toplam enerjinin yarısına sahip olunan konumda sürat de maksimum süratin karekök ikiye bölümü kadar olur.

x_2

konumunda ivmenin maksimum ivmenin yarısına eşit olmasından yararlanarak konumu belirlemek

a_2 = \frac{a_{max}}{2} \Rightarrow \omega^2 x_2 = \frac{\omega^2 R}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{R}{2}

Basit harmonik harekette geri çağırıcı kuvvet ve ivme, denge konumuna olan uzaklıkla (uzanım) doğru orantılıdır. Bu nedenle ivme yarıya indiğinde cisim de genliğin yarısındadır.

x_2 = \frac{R}{2}

konumundaki sürati enerjinin korunumu ile hesaplamak

E_{p2} = \frac{1}{2} k x_2^2 = \frac{1}{2} k \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{E_T}{4} \Rightarrow E_{k2} = E_T - \frac{E_T}{4} = \frac{3}{4} E_T \Rightarrow v_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} v_{max}

Potansiyel enerji konumun karesiyle orantılı olduğundan genliğin yarısındaki potansiyel enerji toplam enerjinin dörtte biridir. Kalan enerji kinetik enerjiye eşit olup hızın karesini belirler.

Elde edilen

v_1

v_2

sürat değerlerini oranlamak

\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{v_{max}}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} v_{max}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

İstenen sürat oranını matematiksel olarak sadeleştirip rasyonel paydaya dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette toplam enerjinin korunumu ve ivme-uzanım-hız ilişkileri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru