Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Harmonik Harekette Enerji Dönüşümleri

Sürtünmesiz bir ortamda, tavana asılı esnek ve kütlesi önemsiz bir yayın ucuna mm kütleli bir cisim asılarak dengeye gelmesi sağlanıyor. Bu durumda yayın x0x_0 kadar uzadığı gözleniyor. Daha sonra cisim düşey doğrultuda, denge konumundan itibaren 2x02x_0 genliğiyle basit harmonik hareket yapacak şekilde salınıma bırakılıyor. Cismin hareketi sırasında ulaşabildiği en alt nokta yer çekimi potansiyel enerjisi için referans seviyesi (Eyer=0E_{\text{yer}} = 0) kabul ediliyor. Buna göre, cisim denge konumundan aşağı doğru x0x_0 kadar uzaktaki bir noktadan geçerken; yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi (EyayE_{\text{yay}}), cismin kinetik enerjisi (EkinE_{\text{kin}}) ve cismin yer çekimi potansiyel enerjisi (EyerE_{\text{yer}}) arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    Eyay>Eyer>EkinE_{\text{yay}} > E_{\text{yer}} > E_{\text{kin}}
  2. Eyay>Ekin>EyerE_{\text{yay}} > E_{\text{kin}} > E_{\text{yer}}Cevap
  3. C
    Ekin>Eyay>EyerE_{\text{kin}} > E_{\text{yay}} > E_{\text{yer}}
  4. D
    Ekin>Eyer>EyayE_{\text{kin}} > E_{\text{yer}} > E_{\text{yay}}
  5. E
    Eyer>Eyay>EkinE_{\text{yer}} > E_{\text{yay}} > E_{\text{kin}}

Cevap

Yay potansiyel enerjisinin kinetik enerjiden, kinetik enerjinin de yer çekimi potansiyel enerjisinden büyük olduğu ilişki doğrudur.
Denge konumundaki kuvvet dengesinden mg=kx0mg = k x_0 bağıntısına ulaşılır. En alt nokta referans alındığında, denge konumunun x0x_0 altındaki konumun yüksekliği h=x0h = x_0 olduğundan yer çekimi potansiyel enerjisi Eyer=mgx0=kx02E_{\text{yer}} = mgx_0 = kx_0^2 olur. Bu konumda yaydaki toplam uzama 2x02x_0 olduğundan esneklik potansiyel enerjisi Eyay=12k(2x0)2=2kx02E_{\text{yay}} = \frac{1}{2}k(2x_0)^2 = 2kx_0^2 olarak hesaplanır. En alt noktada (y=−2x0y = -2x_0) toplam enerji Etoplam=12k(3x0)2=4.5kx02E_{\text{toplam}} = \frac{1}{2}k(3x_0)^2 = 4.5kx_0^2 olduğundan ve mekanik enerji korunduğundan, kinetik enerji Ekin=4.5kx02−(2kx02+kx02)=1.5kx02E_{\text{kin}} = 4.5kx_0^2 - (2kx_0^2 + kx_0^2) = 1.5kx_0^2 bulunur. Bu değerler kıyaslandığında yay potansiyel enerjisinin kinetik enerjiden, onun da yer çekimi potansiyel enerjisinden büyük olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Denge konumundaki kuvvet dengesini yazarak kütle ve yay sabiti ilişkisini belirleme.
mg=kx0mg = k x_0 eşitliği elde edilir.
Denge konumunda cisim üzerindeki net kuvvet sıfırdır. Cismin ağırlığı (mgmg), yaya etki eden geri çağırıcı kuvvete (kx0k x_0) eşittir.
2
En alt noktayı referans (Eyer=0E_{\text{yer}} = 0) kabul edip, cismin denge konumundan aşağı doğru x0x_0 uzaklıktaki yüksekliğini ve yer çekimi potansiyel enerjisini hesaplama.
Yükseklik h=x0h = x_0 ve yer çekimi potansiyel enerjisi Eyer=mgx0=kx02E_{\text{yer}} = mgx_0 = k x_0^2 olur.
Genlik 2x02x_0 olduğundan, denge konumu referans seviyesinden 2x02x_0 yüksekliktedir. Denge konumunun x0x_0 kadar altında bulunan cismin referans seviyesine yüksekliği h=2x0−x0=x0h = 2x_0 - x_0 = x_0 olur.
3
Söz konusu konumda yaydaki toplam uzamayı bulup esneklik potansiyel enerjisini hesaplama.
Yaydaki toplam uzama 2x02x_0 ve esneklik potansiyel enerjisi Eyay=12k(2x0)2=2kx02E_{\text{yay}} = \frac{1}{2} k (2x_0)^2 = 2 k x_0^2 olur.
Yay denge konumunda zaten x0x_0 kadar uzamıştır. Cisim denge konumundan aşağı doğru x0x_0 kadar daha gittiğinde toplam uzama x0+x0=2x0x_0 + x_0 = 2x_0 olur.
4
Sistemin toplam mekanik enerjisini belirleyip enerji korunumu yardımıyla kinetik enerjiyi hesaplama.
Etoplam=4.5kx02E_{\text{toplam}} = 4.5 k x_0^2 ve kinetik enerji Ekin=1.5kx02E_{\text{kin}} = 1.5 k x_0^2 olarak bulunur.
En alt noktada (h=0h = 0, toplam uzama 3x03x_0, hız sıfır) sistemin toplam mekanik enerjisi Etoplam=12k(3x0)2=4.5kx02E_{\text{toplam}} = \frac{1}{2} k (3x_0)^2 = 4.5 k x_0^2 olur. Enerji korunumundan: Etoplam=Eyay+Eyer+Ekin⇒4.5kx02=2kx02+1kx02+Ekin⇒Ekin=1.5kx02E_{\text{toplam}} = E_{\text{yay}} + E_{\text{yer}} + E_{\text{kin}} \Rightarrow 4.5 k x_0^2 = 2 k x_0^2 + 1 k x_0^2 + E_{\text{kin}} \Rightarrow E_{\text{kin}} = 1.5 k x_0^2 elde edilir.
5
Hesaplanan enerji değerlerini birbiriyle karşılaştırma.
Eyay(2.0kx02)>Ekin(1.5kx02)>Eyer(1.0kx02)E_{\text{yay}} (2.0 k x_0^2) > E_{\text{kin}} (1.5 k x_0^2) > E_{\text{yer}} (1.0 k x_0^2) sıralaması bulunur.
Elde edilen katsayılar (2>1.5>12 > 1.5 > 1) karşılaştırılarak doğru s��ralama doğrulanır.

Anahtar Kavram

Düşey doğrultuda basit harmonik hareket yapan yay sarkaçlarında esneklik potansiyel enerjisi, yer çekimi potansiyel enerjisi ve kinetik enerji dönüş��mleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Harmonik Harekette Enerji Dönüşümleri

Bu konudan daha fazla soru