Examkin

Soru

Zorluk: ZorVirajlar ve Dönen Silindirler

Eğim açısı θ\theta olan sürtünmeli eğimli bir viraja giren mm kütleli bir araç, rr yarıçaplı yatay dairesel yörüngede sabit vv çizgisel süratiyle dolanmaktadır. Tekerlekler ile yol yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı kk'dir.

Buna göre,
I. Aracın çizgisel sürati v=g⋅r⋅tan⁡θv = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\theta} olduğunda, yolun araca uyguladığı statik sürtünme kuvveti sıfırdır.
II. Aracın çizgisel sürati v>g⋅r⋅tan⁡θv > \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\theta} olduğunda, araca etki eden statik sürtünme kuvveti eğik düzlem yüzeyi boyunca aşağı (virajın iç merkezine doğru) yönelir.
III. Aracın kütlesi daha büyük olsaydı, virajı savrulmadan güvenle dönebileceği maksimum sürat sınırı azalırdı.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II öncüllerini içeren seçenek doğrudur.
İdeal sürat değerinde (v=g⋅r⋅tan⁡θv = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\theta}) hareket eden bir araç için normal kuvvetin yatay bileşeni merkezcil kuvveti tam olarak karşıladığından statik sürtünme kuvveti sıfır olur (I. ifade doğru). Bu sürat değeri aşıldığında araç virajın dışına savrulma eğiliminde olacağından, statik sürtünme kuvveti bu eğilimi engelleyecek yönde, yani viraj içine doğru (aşağı yönde) oluşur (II. ifade doğru). Güvenli dönülebilecek maksimum sürat limitinde kütleler sadeleştiği için limit sürat aracın kütlesine bağlı değildir (III. ifade yanlış). Dolayısıyla doğru cevap I ve II ifadelerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Aracın ideal hızında (v0=g⋅r⋅tan⁡θv_0 = \sqrt{g \cdot r \cdot \tan\theta}) hareket ettiği durum için kuvvet dengesi yazılır.
Normal kuvvetin yatay bileşeni (Nsin⁡θN \sin\theta) merkezcil kuvveti, düşey bileşeni (Ncos⁡θN \cos\theta) ise ağırlığı dengeler. Buradan tan⁡θ=v02g⋅r\tan\theta = \frac{v_0^2}{g \cdot r} elde edilir. Bu hızda sürtünmeye ihtiyaç duyulmaz ve sürtünme kuvveti sıfırdır. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Sürtünmesiz ideal durumda aracın dairesel yörüngede kalmasını sağlayan net kuvvet sadece normal kuvvetin yatay bileşenidir.
2
Süratin ideal hızdan büyük olduğu (v>v0v > v_0) durum incelenir.
Araç dışarıya (eğik düzlem boyunca yukarıya) savrulma eğilimi gösterir. Statik sürtünme kuvveti bu hareketi engellemek için eğik düzlem yüzeyi boyunca aşağıya (virajın içine doğru) yönelir. Dolayısıyla ikinci öncül doğrudur.
Statik sürtünme kuvveti her zaman cismin göreli kayma eğilimini engelleyecek yönde oluşur.
3
Maksimum güvenli sürat limitinin (vmaksv_{\text{maks}}) kütleye bağlılığı analiz edilir.
Düşey dengeden Ncos⁡θ−Fssin⁡θ−mg=0N \cos\theta - F_s \sin\theta - mg = 0 ve yatay dengeden Nsin⁡θ+Fscos⁡θ=mvmaks2rN \sin\theta + F_s \cos\theta = \frac{m v_{\text{maks}}^2}{r} yazılır. Limit durumda Fs=k⋅NF_s = k \cdot N yazılıp denklemler oranlandığında kütle (mm) terimleri sadeleşir ve vmaks=g⋅r(tan⁡θ+k1−ktan⁡θ)v_{\text{maks}} = \sqrt{g \cdot r \left( \frac{\tan\theta + k}{1 - k \tan\theta} \right)} elde edilir. Maksimum sürat kütleye bağlı değildir, bu nedenle üçüncü öncül yanlıştır.
Kütle hem merkezcil kuvvet ihtiyacını (m⋅am \cdot a) hem de normal kuvveti (ve dolayısıyla sürtünmeyi) aynı oranda etkilediğinden denklemlerde sadeleşir.

Anahtar Kavram

Sürtünmeli eğimli virajlarda dinamik denge ve limit hız analizleri

Alternatif Yöntem

Eğimli virajlarda limit durumlar için kuvvet vektörlerinin uç uca eklenerek net kuvvetin (merkezcil kuvvet) yatay yönde oluşturulmasıyla geometrik bir üçgen elde edilebilir. Bu üçgende trigonometrik bağıntılar kullanılarak kütle teriminin sadeleştiği doğrudan görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Virajlar ve Dönen Silindirler

Bu konudan daha fazla soru