Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorVirajlar ve Dönen Silindirler

Düşey eksen etrafında sabit ω\omega açısal süratiyle dönen içi boş bir koninin iç yüzeyinde bulunan mm kütleli bir K cismi, eksene göre rr yarıçaplı yörüngede koniye göre konumunu değiştirmeden düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Koninin yan yüzeyinin yatay düzlemle yaptığı açı θ\theta, cisim ile koni yüzeyi arasındaki statik sürtünme katsayısı ise kk'dir.

Buna göre;

I. k≥tan⁡θk \geq \tan\theta ise, koni dönmese bile K cismi aşağı doğru kaymaz.
II. k<tan⁡θk < \tan\theta ise, cismin aşağı kaymadan dönebilmesi için koninin açısal süratinin büyüklüğü ω≥gr(sin⁡θ−kcos⁡θcos⁡θ+ksin⁡θ)\omega \geq \sqrt{\frac{g}{r} \left( \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} \right)} şartını sağlamalıdır.
III. Cismin çembersel hareket yapmasını sağlayan net kuvvet (merkezcil kuvvet), koni yüzeyinin cisme uyguladığı normal kuvvetin yatay bileşeni ile statik sürtünme kuvvetinin yatay bileşeninin vektörel toplamıdır.

yargılarından hangileri doğrudur? (g: yer çekimi ivmesidir)

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamının doğru olduğunu belirten seçenek
Her üç öncülün de yer aldığı seçenek doğrudur. Koni dönmediğinde cismin kaymama şartı yatay düzlemle yapılan açının tanjantı ile statik sürtünme katsayısı arasındaki k≥tan⁡θk \geq \tan\theta ilişkisine bağlıdır. Cismin aşağı doğru kayma sınırında sürtünme kuvveti yukarı yönlü maksimum değerini alır ve bu durumdaki yatay-düşey kuvvet dengesinden minimum açısal sürat ifadesi elde edilir. Son olarak, düşey doğrultuda ivme sıfır olduğundan net kuvvet yatay doğrultudadır ve bu net kuvvet yüzey normal kuvveti ile sürtünme kuvvetinin yatay bileşenlerinin vektörel toplamına eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Koni dönmediğinde cismin statik dengede kalma şartını belirlemek.
Cisme etki eden yer çekimi kuvvetinin yüzeye paralel bileşeni mgsin⁡θmg \sin\theta, statik sürtünme kuvvetinin maksimum değeri ise fs,maks=kN=kmgcos⁡θf_{s,maks} = k N = k mg \cos\theta'dir. Cismin kaymaması için fs,maks≥mgsin⁡θf_{s,maks} \geq mg \sin\theta olmalıdır. Buradan kmgcos⁡θ≥mgsin⁡θ  ⟹  k≥tan⁡θk mg \cos\theta \geq mg \sin\theta \implies k \geq \tan\theta bulunur. Bu durum I. yargıyı doğrular.
Koni dönmediğinde sistemin eğik düzlemdeki bir blok gibi davrandığını göstererek statik denge sınırını bulmak.
2
Cismin aşağı kayma sınırındaki kuvvet dengesini yazmak.
Aşağı kayma sınırında sürtünme kuvveti koni yüzeyine paralel ve yukarı yönlüdür (fs=kNf_s = k N). Düşey dengeden Ncos⁡θ+fssin⁡θ=mg  ⟹  N(cos⁡θ+ksin⁡θ)=mgN \cos\theta + f_s \sin\theta = mg \implies N(\cos\theta + k \sin\theta) = mg elde edilir. Yatay doğrultudaki net kuvvet (merkezcil kuvvet) ise Nsin⁡θ−fscos⁡θ=mωmin2r  ⟹  N(sin⁡θ−kcos⁡θ)=mωmin2rN \sin\theta - f_s \cos\theta = m\omega_{min}^2 r \implies N(\sin\theta - k\cos\theta) = m\omega_{min}^2 r olur.
Cismin çembersel hareket yörüngesindeki yatay ve düşey kuvvet bileşenlerini belirlemek.
3
Kuvvet denklemlerini oranlayarak minimum açısal sürati çekmek.
Yatay kuvvet denklemini düşey kuvvet denklemine oranladığımızda: N(sin⁡θ−kcos⁡θ)N(cos⁡θ+ksin⁡θ)=mωmin2rmg  ⟹  sin⁡θ−kcos⁡θcos⁡θ+ksin⁡θ=ωmin2rg\frac{N(\sin\theta - k\cos\theta)}{N(\cos\theta + k\sin\theta)} = \frac{m\omega_{min}^2 r}{mg} \implies \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} = \frac{\omega_{min}^2 r}{g} elde edilir. Buradan ωmin=gr(sin⁡θ−kcos⁡θcos⁡θ+ksin⁡θ)\omega_{min} = \sqrt{\frac{g}{r} \left( \frac{\sin\theta - k\cos\theta}{\cos\theta + k\sin\theta} \right)} bulunur. Bu değerin altında cisim aşağı kayacağından ω≥ωmin\omega \geq \omega_{min} olmalıdır. Bu durum II. yargıyı doğrular.
Minimum limit açısal sürat değerini matematiksel olarak elde etmek.
4
Net kuvvetin (merkezcil kuvvetin) fiziksel kaynağını analiz etmek.
Cisim yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yaptığından düşey yöndeki net kuvvet sıfırdır (Fnet,y=0F_{net,y} = 0). Bu durumda cisme etki eden net kuvvet tamamen yatay doğrultudadır ve merkezcil kuvvettir. Yatay doğrultuda kuvvet oluşturan bileşenler ise normal kuvvetin yatay bileşeni (NxN_x) ile sürtünme kuvvetinin yatay bileşenidir (fs,xf_{s,x}). Net kuvvet bu iki bileşenin vektörel toplamıdır: F⃗net=N⃗x+f⃗s,x\vec{F}_{net} = \vec{N}_x + \vec{f}_{s,x}. Bu durum III. yargıyı doğrular.
Çembersel harekette net kuvvet tanımının doğruluğunu fiziksel yasalarla temellendirmek.

Anahtar Kavram

Dönen koni yüzeyinde sürtünmeli çembersel hareket ve limit durumlar

Alternatif Yöntem

Cismin üzerindeki kuvvetleri koni yüzeyine paralel ve dik bileşenler cinsinden yazıp eylemsiz referans sistemindeki hayali kuvvet dengesiyle çözmek mümkündür, fakat eylemli referans sisteminde doğrudan yatay ve düşey doğrultuda Newton'ın ikinci hareket yasasını uygulamak fiziksel olarak en doğru yöntemdir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Virajlar ve Dönen Silindirler

Bu konudan daha fazla soru