Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={x2−ax∣x−a∣,x<a2x−a2,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - ax}{|x - a|}, & x < a \\ 2x - a^2, & x \ge a \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Limitin var olması için sağ ve sol limitlerin eşitliğinden elde edilen pozitif gerçel sayı değeri 3'tür.
Fonksiyonun x = a noktasında limitinin olması için sol limit (-a) ile sağ limit (2a - a^2) eşit olmalıdır. Buradan a^2 - 3a = 0 elde edilir. a pozitif olduğundan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Limitin varlık koşulunu hatırlayarak sol limiti belirlemek için yaklaşım yönünü incelemek.
x, a'ya soldan yaklaşırken (x < a) x - a < 0 olur.
Sol limit hesaplanırken kritik noktanın solundaki değerler temel alınır.
2
Mutlak değerli ifadenin işaretini belirleyip belirsizliği gidermek.
|x - a| = -(x - a) olduğundan, sol limit değeri \lim_{x \to a^-} \frac{x(x-a)}{-(x-a)} = \lim_{x \to a^-} (-x) = -a olarak bulunur.
Sıfır bölü sıfır belirsizliğini gidermek için mutlak değer işareti dışına çıkarma kuralları uygulanır.
3
Sağ limiti hesaplamak.
\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (2x - a^2) = 2a - a^2 olarak bulunur.
Sağdan yaklaşırken x >= a aralığındaki fonksiyon kuralı kullanılır.
4
Limitin var olması için sağ ve sol limitleri eşitlemek ve oluşan denklemi çözmek.
-a = 2a - a^2 \implies a^2 - 3a = 0 \implies a(a - 3) = 0 denklemi elde edilir.
Bir noktada limitin olması için sağ ve sol limitler birbirine eşit olmalıdır.
5
Soruda verilen a'nın pozitif gerçel sayı olması koşulunu uygulamak.
a > 0 olduğundan a = 3 olarak bulunur.
a = 0 değeri pozitiflik koşulunu sağlamaz.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde sağ ve sol limitlerin eşitliği ve mutlak değerin işaret analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru