Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDeğişken Değiştirme Yöntemi

Diferansiyellenebilir bir f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu için f(1)=0f(1) = 0 ve f(2)=3f(2) = \sqrt{3} eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫ee2f(ln⁡x)⋅f′(ln⁡x)x1+f2(ln⁡x) dx\int_{e}^{e^2} \frac{f(\ln x) \cdot f'(\ln x)}{x \sqrt{1 + f^2(\ln x)}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1Cevap
  2. B
    2−1\sqrt{2} - 1
  3. C
    2
  4. D
    22−22\sqrt{2} - 2
  5. E
    3\sqrt{3}

Cevap

İntegralin değeri 1'dir.
İntegral sırasıyla u=ln⁡xu = \ln x ve t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) değişken değiştirmeleriyle çözülür. İlk adımda sınırlar [1,2][1, 2] aralığına, ikinci adımda ise [1,4][1, 4] aralığına güncellenir. Diferansiyel geçişinde oluşan yarım katsayısı ile integralin integrali olan 2t2\sqrt{t} terimi çarpıldığında t\sqrt{t} elde edilir. Sınırlar yerine yazıldığında doğru sonuç 1 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İlk değişken değiştirmeyi uygulayalım.
u=ln⁡xu = \ln x dönüşümü yapılırsa du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx olur.
İntegral içindeki ln⁡x\ln x ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyel terimini elde etmek için.
2
��lk dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡(e)=1x = e \implies u = \ln(e) = 1 ve üst sınır için x=e2  ⟹  u=ln⁡(e2)=2x = e^2 \implies u = \ln(e^2) = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegrali yeni değişken cinsinden yeniden yazalım.
İntegralimiz ∫12f(u)⋅f′(u)1+f2(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u) \cdot f'(u)}{\sqrt{1 + f^2(u)}} \, du şekline dönüşür.
Elde edilen tüm terimleri yerine koymak için.
4
İkinci değişken değiştirmeyi uygulayalım.
t=1+f2(u)t = 1 + f^2(u) dönüşümü yapılırsa, diferansiyel dt=2f(u)f′(u)du  ⟹  f(u)f′(u)du=12dtdt = 2f(u)f'(u)du \implies f(u)f'(u)du = \frac{1}{2} dt olur.
Kareköklü ifadeyi ve pay kısmını sadeleştirmek için.
5
İkinci dönüşüme göre integral sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için u=1  ⟹  t=1+f2(1)=1+02=1u = 1 \implies t = 1 + f^2(1) = 1 + 0^2 = 1 ve üst sınır için u=2  ⟹  t=1+f2(2)=1+(3)2=4u = 2 \implies t = 1 + f^2(2) = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4 olur.
Yeni değişken tt için sınırları belirlemek amacıyla.
6
İntegrali tt değişkenine göre hesaplayalım.
∫1412dtt=12∫14t−1/2dt=12[2t]14=[t]14=4−1=2−1=1\int_{1}^{4} \frac{\frac{1}{2} dt}{\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \left[ \sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 bulunur.
Belirli integralin değerini nihai olarak hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının her adımda doğru şekilde güncellenmesi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru