Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTekrarlı Permütasyon

Bir moleküler biyolog, laboratuvarda sentezleyeceği yapay bir DNA zinciri için 4 adet AA (Adenin), 3 adet TT (Timin) ve 2 adet GG (Guanin) nükleotidinin tamamını yan yana dizerek sarmallar oluşturacaktır.

Sentezlenecek bu sarmallar ile ilgili aşağıdaki koşullar bilinmektedir:
- Sarmalın iki ucunda (en başında ve en sonunda) yer alan nükleotidler aynı türdedir.
- Herhangi iki GG (Guanin) nükleotidi yan yana bulunmamaktadır.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı DNA sarmalı sentezlenebilir?

  1. A
    225
  2. 260Cevap
  3. C
    295
  4. D
    350
  5. E
    455

Cevap

Koşulları sağlayan 260 farklı DNA sarmalı sentezlenebilir.
Doğru cevap olan 260 değeri; uçların A-A (150 durum), T-T (75 durum) ve G-G (35 durum) olduğu tüm senaryoların ayrı ayrı analiz edilmesi ve G nükleotidlerinin yan yana gelmeyecek şekilde boşluklara yerleştirilerek kalan elemanların tekrarlı permütasyonla sıralanması sonucu elde edilen sayıların toplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sarmalın iki ucundaki nükleotidlerin aynı olması kısıtlamasına göre durum analizi yapılır.
Sarmalın uçları A-A, T-T veya G-G olmak üzere 3 farklı durum mevcuttur. Bu durumlar birbirlerinden ayrıktır.
Sarmalın en başında ve en sonunda aynı türden nükleotid yer almalıdır.
2
Uçların A-A olması durumu (A…AA \dots A) hesaplanır.
Başta ve sonda birer AA sabitlendiğinden, ortadaki 7 pozisyona yerleştirilmek üzere 2 adet AA, 3 adet TT ve 2 adet GG kalır. G'lerin yan yana gelmemesi için ortadaki 7 pozisyonun iç kısmında kalan ve uçlarla sınırlanan 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 farklı şekilde seçilir. Geriye kalan 5 pozisyona 2 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 5!2!3!=10\frac{5!}{2!3!} = 10 farklı şekilde dizilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×10=15015 \times 10 = 150 olur.
G'lerin yan yana gelmesini önlemek için boşluk seçimi yapılır ve kalan özdeş nükleotidler tekrarlı permütasyonla sıralanır.
3
Uçların T-T olması durumu (T…TT \dots T) hesaplanır.
Başta ve sonda birer TT sabitlendiğinden, geriye 4 adet AA, 1 adet TT ve 2 adet GG kalır. Benzer şekilde, G'lerin yan yana gelmeyeceği 6 boşluktan 2'si (62)=15\binom{6}{2} = 15 yolla seçilir. Kalan 5 pozisyona 4 adet AA ve 1 adet TT nükleotidi 5!4!1!=5\frac{5!}{4!1!} = 5 farklı şekilde yerleştirilir. Bu durum için toplam sıralama sayısı 15×5=7515 \times 5 = 75 olur.
G'lerin yan yana gelmemesi için boşluk yöntemi uygulanır ve kalan nükleotidler tekrarlı permütasyon formülüyle dizilir.
4
Uçların G-G olması durumu (G…GG \dots G) hesaplanır.
2 adet GG nükleotidinin ikisi de uçlarda sabitlendiği için sarmalın içinde başka GG kalmaz ve yan yana gelme ihtimalleri yoktur. Geriye kalan ortadaki 7 pozisyona 4 adet AA ve 3 adet TT nükleotidi 7!4!3!=35\frac{7!}{4!3!} = 35 farklı şekilde dizilir.
G'ler uçlarda sabitlendiğinden yan yana gelmeme koşulu doğrudan sağlanmış olur ve sadece kalan A ve T nükleotidleri sıralanır.
5
Tüm durumlardan elde edilen sıralama sayıları toplanır.
150+75+35=260150 + 75 + 35 = 260 bulunur.
Ayrık durumların toplamı, toplam olası sarmal sayısını verir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon, durum analizi ve elemanların yan yana gelmeme koşulunun gap (boşluk) yöntemiyle çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru