Examkin

Soru

Zorluk: KolayParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=2x2−ax+3y = 2x^2 - ax + 3 parabolü ile y=2x+1y = 2x + 1 doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, aa gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Doğru cevap 2'dir.
Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak kesim noktası denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. İki denklemi birbirine eşitlediğimizde elde ettiğimiz 2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(a+2)2−16=0\Delta = (a+2)^2 - 16 = 0 olmalıdır. Buradan (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 olup, a+2=4  ⟹  a=2a+2 = 4 \implies a = 2 veya a+2=−4  ⟹  a=−6a+2 = -4 \implies a = -6 bulunur. Pozitif değer istendiği için doğru cevap 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun ortak denklemini oluşturmak
2x2−(a+2)x+2=02x^2 - (a+2)x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
Parabol ve doğrunun kesişim ya da teğetlik noktalarını bulabilmek için denklemlerinin ortak çözülmesi gerekir.
2
Teğetlik şartını uygulamak
Δ=[−(a+2)]2−4⋅2⋅2=0\Delta = [-(a+2)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0 eşitliğinden (a+2)2=16(a+2)^2 = 16 elde edilir.
Bir doğru ile parabolün teğet olması, ortak denklemlerinin çift katlı köke sahip olması yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.
3
aa parametresinin alabileceği değerleri hesaplamak
a=2a = 2 veya a=−6a = -6 bulunur.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4 olduğundan a+2a+2 ifadesi bu sayılara eşitlenerek çözüme gidilir.
4
Koşula uygun değeri belirlemek
a=2a = 2 olarak seçilir.
Soruda aa sayısının alabileceği pozitif değer istendiği için negatif olan -6 elenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak denklemin diskriminantının sıfıra eşit olması
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru