\cos(3x) - \sin(x) = \sqrt{3}(\sin(3x) + \cos(x)) denkleminin [0, \pi] kapalı aralığındaki… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\cos(3x) - \sin(x) = \sqrt{3}(\sin(3x) + \cos(x))

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

Verilen denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı

\frac{13\pi}{6}

radyandır.

Denklemin her iki tarafı 2'ye bölünerek düzenlendiğinde kosinüs toplam ve fark formülleri elde edilir. Bu formüller yardımıyla denklem

\cos(3x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6})

biçimini alır. Kosinüsün genel çözüm formüllerinden

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel kökleri sırasıyla

\frac{3\pi}{4}

\frac{11\pi}{24}

\frac{23\pi}{24}

olarak bulunur. Bu köklerin toplamı da

\frac{13\pi}{6}

değerine eşittir.

Verilen denklemi düzenlemek ve her iki tarafı

2

'ye bölmek.

\frac{1}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x)

Katsayıları bilinen özel açıların trigonometrik değerleriyle eşleştirip toplam-fark formüllerini uygulayabilmek.

Toplam ve fark formüllerini uygulayarak her iki tarafı kosinüs cinsinden tek bir terim olarak ifade etmek.

\cos\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)

Denklemi

\cos(A) = \cos(B)

formuna getirerek standart çözüm adımlarına geçebilmek.

Kosinüs denkleminin genel çözüm formüllerini iki durum için yazmak.

Birinci durum:

3x + \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi

İkinci durum:

3x + \frac{\pi}{3} = -\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}

\cos(\theta) = \cos(\alpha)

denkleminin genel çözümünün

\theta = \alpha + 2k\pi

\theta = -\alpha + 2k\pi

olmasından dolayı.

Elde edilen genel çözümlerden

[0, \pi]

kapalı aralığında olan kökleri bulmak ve toplamak.

Birinci durumdan

x = \frac{3\pi}{4}

.
İkinci durumdan

x = \frac{11\pi}{24}

x = \frac{23\pi}{24}

.
Köklerin toplamı:

\frac{3\pi}{4} + \frac{11\pi}{24} + \frac{23\pi}{24} = \frac{13\pi}{6}

Belirtilen aralık sınırlarına uyan tüm farklı kökleri tam ve doğru olarak elde etmek.

Trigonometrik denklemleri toplam ve fark formülleri kullanarak sadeleştirme ve belirli bir aralıktaki köklerini bulma.

Soru