Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−x−6)⋅(x−4)2x2−1≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 4)^2}{x^2 - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 7'dir.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler [−2,−1)[-2, -1), (1,3](1, 3] aralıkları ve ifadenin sıfıra eşit olduğu x=4x = 4 noktasıdır. Bu kümedeki tam sayılar −2,2,3-2, 2, 3 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
Payın kökleri: x2−x−6=(x−3)(x+2)=0  ⟹  x=3x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 ve x=−2x = -2. (x−4)2=0  ⟹  x=4(x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınırlarını belirlemek için tüm çarpanların kökleri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: −2<−1<1<3<4-2 < -1 < 1 < 3 < 4. Burada x=4x = 4 çift katlı köktür. x=−1x = -1 ve x=1x = 1 paydanın kökleri olduğundan tanımsızlık noktalarıdır ve çözüm kümesine dahil edilemezler.
İşaret değişimlerini doğru takip edebilmek için kökleri sayı doğrusundaki sırasına göre yerleştirmeliyiz.
3
Tablonun en sağındaki bölgenin işaretini belirleyelim ve sola doğru dolduralım.
x>4x > 4 için ifadedeki tüm çarpanların başkatsayıları pozitif olduğundan tablonun en sağı ++ ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (++). Sırasıyla diğer tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir: (3,4)(3, 4) aralığı ++, (1,3](1, 3] aralığı −-, (−1,1)(-1, 1) aralığı ++, [−2,−1)[-2, -1) aralığı −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı ++. Payda kökleri tanımsız olduğundan açık aralık, payın kökleri ise küçük eşitlik durumundan dolayı kapalı aralık olarak alınır.
Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretini belirleyerek eşitsizliğin yönünü sağlayan bölgeleri buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan (sıfırdan küçük veya eşit) aralıkları yazalım ve buradaki tam sayıları bulalım.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪(1,3]∪{4}[-2, -1) \cup (1, 3] \cup \{4\}. Bu kümedeki tam sayılar: −2,2,3,4-2, 2, 3, 4.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgelerdeki tam sayı çözümlerini listelemeliyiz.
5
Tam sayıların toplamını hesaplayalım.
(−2)+2+3+4=7(-2) + 2 + 3 + 4 = 7
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru