\frac{(x - 3) \cdot (x^2 - 4)}{(x^2 - 5x + 6) \cdot (x + 1)} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{(x - 3) \cdot (x^2 - 4)}{(x^2 - 5x + 6) \cdot (x + 1)} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük 4 farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

Eşitsizliği sağlayan en küçük 4 farklı pozitif tam sayının toplamı 16'dır.

Doğru seçenekte belirtilen değer, paydadaki tanımsızlık yapan

2

3

değerleri dışlanarak elde edilen

1, 4, 5, 6

sayılarının toplamı olan

16

sayısıdır.

Eşitsizlikteki ifadelerin pay ve paydasındaki çarpanları belirleyip tanımlılık kümesini (paydayı sıfır yapan değerleri) bulalım.

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydayı sıfır yapan değerler

x = 2

x = 3

x = -1

'dir. Dolayısıyla bu değerler çözüm kümesine dahil edilemez (

x \neq 2

x \neq 3

x \neq -1

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesinde yer alamaz.

Eşitsizliği sadeleştirerek daha basit bir biçimde yazalım.

x \neq 2

x \neq 3

koşulları altında, pay ve paydadaki ortak

(x-2)

(x-3)

terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik

\frac{x + 2}{x + 1} \geq 0

halini alır.

Ortak çarpanları sadeleştirmek işaret tablosunu basitleştirir, ancak sadeleştirilen payda köklerinin tanımsızlık koşulunu unutmamak gerekir.

Sadeleştirilmiş eşitsizlik için işaret tablosu oluşturup çözüm kümesini belirleyelim.

Kökler

x = -2

x = -1

'dir. İşaret tablosunda sağdan

+

ile başlanır. Çözüm kümesi

(-\infty, -2] \cup (-1, \infty)

olarak bulunur.

İşaret tablosundaki tek katlı köklerden geçerken işaret değişir ve sıfırdan büyük veya eşit olan artı işaretli bölgeler seçilir.

Tanımsızlık noktalarını çözüm kümesinden çıkararak pozitif tam sayı çözümlerini bulalım.

Çözüm kümesi

(-\infty, -2] \cup (-1, \infty) \setminus \{2, 3\}

olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar sırasıyla

1, 4, 5, 6, 7, \dots

şeklindedir. En küçük 4 farklı pozitif tam sayı

1, 4, 5

6

'dır. Toplamları ise

1 + 4 + 5 + 6 = 16

olarak hesaplanır.

Eşitsizliği sağlayan değerler arasından pozitif tam sayı olanları sırasıyla seçip toplamamız istenir.

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Sadeleştirme ve Payda Köklerinin Çözüm Kümesine Etkisi

Soru