Examkin

Soru

Zorluk: KolayÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
x−3x2−5x≤0\frac{x - 3}{x^2 - 5x} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplam�� kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 7Cevap
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı 7'dir.
Verilen rasyonel ifadenin kökleri bulunup işaret tablosu incelendiğinde, eşitsizliği sağlayan aralıklar (-sonsuz, 0) ve [3, 5) olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 3 ve 4 olup, toplamları 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadenin pay ve paydasındaki çarpanların köklerini bulma
Payın kökü: x - 3 = 0 => x = 3. Paydanın kökleri: x^2 - 5x = x(x - 5) = 0 => x = 0 ve x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaları (kökleri) belirlemeliyiz.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosu oluşturma ve en sağdaki aralığın işaretini belirleme
Kökler: 0, 3, 5. En sağdaki aralık (5, sonsuz) için işaret (+) ile başlar.
En yüksek dereceli terimlerin katsayılarının çarpımının işareti (+) olduğu için en sağ aralık (+) ile başlar. Her tek katlı kökte işaret değişir.
3
İşaret tablosunu doldurma ve çözüm kümesini belirleme
Aralıkların işaretleri: (5, sonsuz) için (+), (3, 5) için (-), (0, 3) için (+), (-sonsuz, 0) için (-). Eşitsizlik küçük veya eşit 0 olduğundan çözüm kümesi: (-sonsuz, 0) U [3, 5) olur. Paydanın kökleri olan 0 ve 5 çözüm kümesine dahil edilmez, payın kökü olan 3 dahil edilir.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapacağından asla çözüm kümesine dahil edilmez.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleme ve toplama
Pozitif tam sayılar 3 ve 4'tür. Toplamları: 3 + 4 = 7.
Çözüm kümesinde yer alan ve sıfırdan büyük olan tam sayı değerlerini bulup toplarız.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin bulunması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru