Examkin

İkinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

120 soru

Tüm türler120Çoktan seçmeli50Doğru / Yanlış15Sayısal53Eşleştirme2
Soru 1Soru →
x2+y2=xy+7x^2 + y^2 = xy + 7
x+y=xy+1x + y = xy + 1

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçel sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Verilen denklem sistemi x+y=Sx+y=S ve xy=Pxy=P dönüşümleriyle çözüldüğünde, sistemin gerçel sayılardaki çözümlerinden elde edilen x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği değerler sırasıyla 10 ve 5 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken dönüşümü yapılması ve sistemin basitleştirilmesi
x2+y2=S2−2Px^2 + y^2 = S^2 - 2P yazarak denklem sistemi şu şekle dönüştürülür:
1) S2−3P=7S^2 - 3P = 7
2) S−P=1S - P = 1
Sistemdeki simetrik ifadeleri S=x+yS = x+y ve P=xyP = xy cinsinden yazarak çözüm derecesini düşürmek.
2
Tek değişkene bağlı ikinci dereceden denklemin oluşturulması ve çözülmesi
P=S−1P = S - 1 ifadesi birinci denklemde yerine yazıldığında S2−3(S−1)=7  ⟹  S2−3S−4=0S^2 - 3(S - 1) = 7 \implies S^2 - 3S - 4 = 0 elde edilir. Bu denklem çarpanlarına ayrıldığında (S−4)(S+1)=0(S-4)(S+1) = 0 olup S=4S = 4 veya S=−1S = -1 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini tek bilinmeyenli ikinci dereceden denklem biçimine getirip kökleri bulmak.
3
Her bir durum için gerçel çözümlerin varlığının kontrol edilmesi ve istenen toplamın hesaplanması
S=4S = 4 için P=3P = 3 olur. t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=16−6=10x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 16 - 6 = 10 değerini verir.
S=−1S = -1 için P=−2P = -2 olur. t2+t−2=0t^2 + t - 2 = 0 denkleminin kökleri gerçeldir ve x2+y2=S2−2P=1−2(−2)=5x^2 + y^2 = S^2 - 2P = 1 - 2(-2) = 5 değerini verir.
Farklı değerlerin toplamı 10+5=1510 + 5 = 15 olarak hesaplanır.
Köklerin gerçel sayı olup olmadığını kontrol etmek ve x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin alabileceği farklı değerleri toplayarak nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde değişken değiştirme yöntemiyle simetrik toplam ve çarpım değerlerinin bulunması.
Soru 2Soru →
x2−2xy=3xx^2 - 2xy = 3x
2x−3y=32x - 3y = 3
denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -7

Cevap

Elde edilen farklı x+yx + y değerlerinin toplamı −7-7 olur.
Denklem sistemindeki birinci denklem çarpanlarına ayrıldığında x(x−2y−3)=0x(x - 2y - 3) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin sağlanması için x=0x = 0 veya x=2y+3x = 2y + 3 olmalıdır. x=0x = 0 için ikinci denklemden y=−1y = -1 bulunur ve bu durumda x+y=−1x + y = -1 olur. x=2y+3x = 2y + 3 için ikinci denklemden y=−3y = -3 ve x=−3x = -3 bulunur ve bu durumda x+y=−6x + y = -6 olur. Farklı x+yx + y değerlerinin toplamı ise (−1)+(−6)=−7(-1) + (-6) = -7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklem tüm terimler sol tarafta toplanarak ortak paranteze alınır.
x2−2xy−3x=0  ⟹  x(x−2y−3)=0x^2 - 2xy - 3x = 0 \implies x(x - 2y - 3) = 0
İki bilinmeyenli denklem sistemini daha basit doğrusal çarpanlara ayırmak için.
2
Birinci çarpan olan x=0x = 0 durumu ikinci denklemde yerine yazılır.
2(0)−3y=3  ⟹  −3y=3  ⟹  y=−12(0) - 3y = 3 \implies -3y = 3 \implies y = -1 bulunur. Buradan birinci çözüm (0,−1)(0, -1) olur.
Birinci çarpanın sıfır olma durumuna karşılık gelen y değerini bulmak için.
3
İkinci çarpan olan x−2y−3=0  ⟹  x=2y+3x - 2y - 3 = 0 \implies x = 2y + 3 ifadesi ikinci denklemde yerine yazılır.
2(2y+3)−3y=3  ⟹  4y+6−3y=3  ⟹  y=−32(2y + 3) - 3y = 3 \implies 4y + 6 - 3y = 3 \implies y = -3 bulunur. Buradan x=2(−3)+3=−3x = 2(-3) + 3 = -3 elde edilerek ikinci çözüm (−3,−3)(-3, -3) olur.
İkinci çarpanın sıfır olma durumuna karşılık gelen ortak çözümü bulmak için.
4
Elde edilen çözüm ikilileri için x+yx + y değerleri hesaplanır ve toplanır.
(0,−1)(0, -1) için x+y=−1x + y = -1 ve (−3,−3)(-3, -3) için x+y=−6x + y = -6 olur. Bu değerlerin toplamı (−1)+(−6)=−7(-1) + (-6) = -7 olarak hesaplanır.
Soru kökünde istenen farklı x+yx+y değerlerinin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma ve çarpanlara ayırma yöntemleriyle ortak çözümü.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−4)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 4)^2(x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−3x−10≤0x^2 - 3x - 10 \le 0
eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam say��larının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

E��itsizlik sistemini sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Eşitsizlik sisteminin her iki bileşeni ayrı ayrı çözüldüğünde; ilk eşitsizlikten [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} aralığı, ikinci eşitsizlikten ise [−2,5][-2, 5] aralığı elde edilir. Bu iki kümenin kesişimi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} kümesini verir. Bu kümedeki tam sayılar olan -1, 0, 1 ve 4 değerlerinin toplamı 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci rasyonel eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosuna göre çözüm aralığını belirleme.
Çözüm aralığı [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} olarak elde edilir.
Rasyonel ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeleri saptamak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırıp köklerini saptama ve çözüm aralığını bulma.
Çözüm aralığı [−2,5][-2, 5] olarak bulunur.
İkinci ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeyi saptamak.
3
Bulunan iki çözüm kümesinin kesişimini alma.
Ortak çözüm kümesi [−1,2)∪{4}[-1, 2) \cup \{4\} şeklinde belirlenir.
Sistemdeki her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerleri bulmak.
4
Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
Toplama işlemi: (−1)+0+1+4=4(-1) + 0 + 1 + 4 = 4 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değerini hesaplamak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden eşitsizlik sistemlerinde rasyonel ifadelerin çift katlı kök analizi, payda köklerinin hariç tutulması ve ortak çözüm kümesinin bulunması.
Soru 4Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
x2−4x−3≤0 \frac{x^2 - 4}{x - 3} \le 0
(x+1)2x2−5x≥0 \frac{(x + 1)^2}{x^2 - 5x} \ge 0
eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sistemini sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -5

Cevap

Sistemi sağlayan en büyük iki negatif tam sayının toplamı -5'tir.
Her iki eşitsizliğin işaret tablosu oluşturulup ortak çözüm kümesi incelendiğinde, ortak aralığın (-\infty, -2] olduğu görülür. Bu aralıktaki en büyük iki negatif tam sayı -2 ve -3 olduğundan toplamları -5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerinin bulunması ve işaret incelemesinin yapılması.
Çözüm kümesi: (-\infty, -2] \cup [2, 3)
Sistemin ilk parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek amacıyla kökler bulunup tabloya yerleştirilir.
2
İkinci eşitsizliğin köklerinin bulunması, çift katlı kök ��zelliğine dikkat edilerek işaret incelemesinin yapılması.
Çözüm kümesi: (-\infty, 0) \cup (5, \infty)
Sistemin ikinci parçasını sağlayan gerçel sayı aralığını belirlemek için payın çift katlı kökü (x = -1) ve paydanın tek katlı kökleri (x = 0, x = 5) incelenir.
3
Elde edilen iki ��özüm kümesinin kesişim kümesinin bulunması.
Ortakc\co¨zu¨mku¨mesi:(−∞,−2]Ortak çözüm kümesi: (-\infty, -2]
Eşitsizlik sisteminin çözümü, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan x değerlerinin ortak kümesidir.
4
Ortak çözüm kümesindeki en büyük iki negatif tam sayının belirlenip toplanması.
-5
Ortak çözüm kümesindeki negatif tam sayılar -2, -3, -4, ... şeklindedir. En büyük iki tanesi olan -2 ve -3'ün toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Soru 5Soru →
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
x2−3x≤a(x−3)x^2 - 3x \le a(x - 3)
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre;
I. a=3a = 3 ise eşitsizliğin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
II. a>3a > 3 ise eşitsizliği sağlayan en küçük xx tam sayısı 3'tür.
III. a=0a = 0 ise eşitsizliği sağlayan 4 farklı xx tam sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, II ve III

Cevap

I, II ve III öncüllerinin tamamı doğrudur.
Doğru cevap tüm öncüllerin doğru olduğu seçenektir. Çarpanlarına ayrılmış hali (x-3)(x-a) <= 0 olan eşitsizlikte: a=3 için çift katlı kök oluşur ve çözüm kümesi tek elemanlıdır; a > 3 için çözüm aralığı [3, a] olup en küçük tam sayı 3'tür; a=0 için çözüm aralığı [0, 3] olup bu aralıkta 4 farklı tam sayı vardır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği standart form olan f(x) <= 0 biçimine getirmek için tüm terimleri sol tarafta toplayalım.
x2−3x−a(x−3)≤0  ⟹  x(x−3)−a(x−3)≤0  ⟹  (x−3)(x−a)≤0x^2 - 3x - a(x - 3) \le 0 \implies x(x-3) - a(x-3) \le 0 \implies (x-3)(x-a) \le 0 elde edilir.
İkinci dereceden eşitsizliklerin işaret incelemesi yapılabilmesi için öncelikle çarpanlarına ayrılması ve köklerinin bulunması gerekir.
2
I. öncülü inceleyelim: a = 3 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−3)≤0  ⟹  (x−3)2≤0(x-3)(x-3) \le 0 \implies (x-3)^2 \le 0 olur. Bir gerçel sayının karesi negatif olamayacağından, bu eşitsizliği sağlayan tek değer x=3x = 3'tür. Çözüm kümesi {3} olup tek elemanlıdır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
Çift katlı köklerde ifadenin işareti kökten geçerken değişmez ve sıfıra eşitlik durumu tek noktada sağlanır.
3
II. öncülü inceleyelim: a > 3 durumunu ele alalım.
Eşitsizliğin kökleri 3 ve a olup, a > 3 olduğundan kökler tablosu oluşturulduğunda çözüm kümesi [3, a] kapalı aralığı olur. Bu aralıktaki en küçük tam sayı değeri 3'tür. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.
Baş katsayısı pozitif olan ikinci dereceden bir ifadenin kökleri arasında negatif değerler aldığı bilinmektedir.
4
III. öncülü inceleyelim: a = 0 durumunu ele alalım.
(x−3)(x−0)≤0  ⟹  x(x−3)≤0(x-3)(x-0) \le 0 \implies x(x-3) \le 0 olur. Kökler 0 ve 3 olup, çözüm kümesi [0, 3] kapalı aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0, 1, 2, 3 olmak üzere 4 tanedir. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.
Kapalı aralıktaki tam sayıların adedi, sınır değerlerin dahil olduğu duruma göre sayılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılması, köklerinin bulunması, parametreye göre işaret tablosunun oluşturulması ve çift katlı kök analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →
2x2−3xy+y2=0x2−xy−y2=−5\begin{aligned} 2x^2 - 3xy + y^2 &= 0 \\ x^2 - xy - y^2 &= -5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Denklem sistemini sağlayan gerçek sayı ikilileri için x2+y2x^2 + y^2 toplamının alabileceği en büyük de��er 10'dur.
Sistemdeki ilk denklemin çarpanlarına ayrılmasıyla elde edilen y=xy = x ilişkisi ikinci denklemde yerine yazıldığında x2=5x^2 = 5 elde edilir. Bu durum koordinatların karesinin toplamını 5+5=105 + 5 = 10 yapar. Diğer durum olan y=2xy = 2x ilişkisinden ise x2+y2=5x^2 + y^2 = 5 değeri elde edilir. Dolayısıyla en büyük değer 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi çarpanlarına ayırma
(2x−y)(x−y)=0(2x - y)(x - y) = 0 denkleminden y=2xy = 2x ve y=xy = x eşitlikleri elde edilir.
İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinde homojen olan denklem çarpanlarına ayrılarak değişkenler arasında doğrusal ilişkiler kurulur.
2
Birinci durumun (y=2xy = 2x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−2x2−4x2=−5⇒−5x2=−5⇒x=±1x^2 - 2x^2 - 4x^2 = -5 \Rightarrow -5x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm 1 ve buna bağlı olarak (1,2)(1, 2), (−1,−2)(-1, -2) çözümleri elde edilir.
Elde edilen birinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak ortak çözümleri bulmak.
3
İkinci durumun (y=xy = x) ikinci denklemde yerine yazılması
x2−x2−x2=−5⇒−x2=−5⇒x=±5x^2 - x^2 - x^2 = -5 \Rightarrow -x^2 = -5 \Rightarrow x = \pm\sqrt{5} ve buna bağlı olarak (5,5)(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (−5,−5)(-\sqrt{5}, -\sqrt{5}) çözümleri elde edilir.
Elde edilen ikinci doğrusal ilişkiyi sistemin diğer denkleminde yerine yazarak diğer ortak çözümleri bulmak.
4
Maksimum değeri bulmak için elde edilen çözümlerin değerlendirilmesi
y=2xy = 2x durumundan gelen çözümler için x2+y2=5x^2 + y^2 = 5, y=xy = x durumundan gelen çözümler için ise x2+y2=10x^2 + y^2 = 10 bulunur. En büyük değer 10 olarak belirlenir.
Bulunan tüm gerçek sayı çözümleri için hedeflenen ifadenin değerini hesaplayıp en büyüğünü seçmek.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri
Soru 7Soru →
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−2)(x2−9)x−2≤0\frac{(x - 2)(x^2 - 9)}{x - 2} \le 0
x2−3x−4<0x^2 - 3x - 4 < 0
eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}

Cevap

(−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}
Birinci eşitsizlikte x−2x-2 ifadesinin paydada yer alması nedeniyle x≠2x \neq 2 olmalıdır. Bu koşul altında sadeleştirme yapıldığında x2−9≤0  ⟹  x∈[−3,3]x^2 - 9 \le 0 \implies x \in [-3, 3] bulunur, yani ilk eşitsizliğin çözüm kümesi [−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\} olur. İkinci eşitsizlik ise (x−4)(x+1)<0  ⟹  x∈(−1,4)(x-4)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 4) aralığını verir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi (−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme
[−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\}
Payda sıfır olamayacağından x≠2x \neq 2 olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki x−2x - 2 ifadeleri sadeleştirildiğinde x2−9≤0x^2 - 9 \le 0 elde edilir, bunun da çözüm kümesi [−3,3][-3, 3] aralığıdır. Tanımsızlık noktası olan 22 çıkarıldığında çözüm kümesi [−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\} olur.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme
(−1,4)(-1, 4)
x2−3x−4<0x^2 - 3x - 4 < 0 eşitsizliği çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+1)<0(x - 4)(x + 1) < 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri x=−1x = -1 ve x=4x = 4 olup, işaret incelemesiyle çözüm aralığı (−1,4)(-1, 4) olarak bulunur.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini bulma
(−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan gerçel sayıları bulmak için elde edilen iki çözüm kümesinin kesişim kümesi alınır: ([−3,3]∖{2})∩(−1,4)=(−1,3]∖{2}([-3, 3] \setminus \{2\}) \cap (-1, 4) = (-1, 3] \setminus \{2\}.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin çözüm kümeleri ayrı ayrı bulunur ve bu kümelerin kesişim kümesi sistemin çözüm kümesi olarak belirlenir. Paydayı sıfır yapan değerler ve çift katlı kök özellikleri işaret tablosunda doğru şekilde temsil edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →
x−y=1x - y = 1
x2+y2=13x^2 + y^2 = 13

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçek sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Denklem sistemini sağlayan x + y toplamının alabileceği en büyük değer 5'tir.
Denklem sisteminden elde edilen kökler (3, 2) ve (-2, -3) gerçek sayı ikilileridir. Bu ikililerin elemanları toplamı sırasıyla 5 ve -5 olup, alabileceği en büyük değer 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemde x değişkenini y cinsinden yalnız bırakın.
x=y+1x = y + 1
Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine yazarak tek bilinmeyenli bir denklem elde etmek.
2
Elde edilen x değerini ikinci denklemde yerine yazarak y değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
(y+1)2+y2=13⇒2y2+2y−12=0⇒y2+y−6=0(y + 1)^2 + y^2 = 13 \Rightarrow 2y^2 + 2y - 12 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 6 = 0
Tek bilinmeyenli denklemin köklerini bulmak.
3
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak y değerlerini hesaplayın.
(y+3)(y−2)=0⇒y=−3(y + 3)(y - 2) = 0 \Rightarrow y = -3 veya y=2y = 2
y bilinmeyeninin alabileceği gerçek sayı değerlerini belirlemek.
4
Bulunan y değerlerine karşılık gelen x değerlerini bulun.
y=2y = 2 için x=3x = 3 ve y=−3y = -3 için x=−2x = -2
Sistemi sağlayan (x, y) sıralı ikililerini belirlemek.
5
Her iki sıralı ikili için x + y toplamını hesaplayıp en büyük olanı seçin.
3+2=53 + 2 = 5 ve −2+(−3)=−5-2 + (-3) = -5 olup en büyük değer 5'tir.
Soruda istenen en büyük toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin yerine koyma yöntemiyle çözülmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
(x−3)⋅(x2−4)(x2−5x+6)⋅(x+1)≥0 \frac{(x - 3) \cdot (x^2 - 4)}{(x^2 - 5x + 6) \cdot (x + 1)} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük 4 farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük 4 farklı pozitif tam sayının toplamı 16'dır.
Doğru seçenekte belirtilen değer, paydadaki tanımsızlık yapan 22 ve 33 değerleri dışlanarak elde edilen 1,4,5,61, 4, 5, 6 sayılarının toplamı olan 1616 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadelerin pay ve paydasındaki çarpanları belirleyip tanımlılık kümesini (paydayı sıfır yapan değerleri) bulalım.
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) ve x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Paydayı sıfır yapan değerler x=2x = 2, x=3x = 3 ve x=−1x = -1'dir. Dolayısıyla bu değerler çözüm kümesine dahil edilemez (x≠2x \neq 2, x≠3x \neq 3, x≠−1x \neq -1).
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılacağından çözüm kümesinde yer alamaz.
2
Eşitsizliği sadeleştirerek daha basit bir biçimde yazalım.
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3 koşulları altında, pay ve paydadaki ortak (x−2)(x-2) ve (x−3)(x-3) terimleri sadeleştirilerek eşitsizlik x+2x+1≥0\frac{x + 2}{x + 1} \geq 0 halini alır.
Ortak çarpanları sadeleştirmek işaret tablosunu basitleştirir, ancak sadeleştirilen payda köklerinin tanımsızlık koşulunu unutmamak gerekir.
3
Sadeleştirilmiş eşitsizlik için işaret tablosu oluşturup çözüm kümesini belirleyelim.
Kökler x=−2x = -2 ve x=−1x = -1'dir. İşaret tablosunda sağdan ++ ile başlanır. Çözüm kümesi (−∞,−2]∪(−1,∞)(-\infty, -2] \cup (-1, \infty) olarak bulunur.
İşaret tablosundaki tek katlı köklerden geçerken işaret değişir ve sıfırdan büyük veya eşit olan artı işaretli bölgeler seçilir.
4
Tanımsızlık noktalarını çözüm kümesinden çıkararak pozitif tam sayı çözümlerini bulalım.
Çözüm kümesi (−∞,−2]∪(−1,∞)∖{2,3}(-\infty, -2] \cup (-1, \infty) \setminus \{2, 3\} olur. Bu kümedeki pozitif tam sayılar sırasıyla 1,4,5,6,7,…1, 4, 5, 6, 7, \dots şeklindedir. En küçük 4 farklı pozitif tam sayı 1,4,51, 4, 5 ve 66'dır. Toplamları ise 1+4+5+6=161 + 4 + 5 + 6 = 16 olarak hesaplanır.
Eşitsizliği sağlayan değerler arasından pozitif tam sayı olanları sırasıyla seçip toplamamız istenir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Sadeleştirme ve Payda Köklerinin Çözüm Kümesine Etkisi
Soru 10Soru →
x−3x2−5x≤0\frac{x - 3}{x^2 - 5x} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplam�� kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif x tam sayılarının toplamı 7'dir.
Verilen rasyonel ifadenin kökleri bulunup işaret tablosu incelendiğinde, eşitsizliği sağlayan aralıklar (-sonsuz, 0) ve [3, 5) olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 3 ve 4 olup, toplamları 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ifadenin pay ve paydasındaki çarpanların köklerini bulma
Payın kökü: x - 3 = 0 => x = 3. Paydanın kökleri: x^2 - 5x = x(x - 5) = 0 => x = 0 ve x = 5.
Eşitsizlik tablosunu oluşturmak için kritik noktaları (kökleri) belirlemeliyiz.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosu oluşturma ve en sağdaki aralığın işaretini belirleme
Kökler: 0, 3, 5. En sağdaki aralık (5, sonsuz) için işaret (+) ile başlar.
En yüksek dereceli terimlerin katsayılarının çarpımının işareti (+) olduğu için en sağ aralık (+) ile başlar. Her tek katlı kökte işaret değişir.
3
İşaret tablosunu doldurma ve çözüm kümesini belirleme
Aralıkların işaretleri: (5, sonsuz) için (+), (3, 5) için (-), (0, 3) için (+), (-sonsuz, 0) için (-). Eşitsizlik küçük veya eşit 0 olduğundan çözüm kümesi: (-sonsuz, 0) U [3, 5) olur. Paydanın kökleri olan 0 ve 5 çözüm kümesine dahil edilmez, payın kökü olan 3 dahil edilir.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız yapacağından asla çözüm kümesine dahil edilmez.
4
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayıları belirleme ve toplama
Pozitif tam sayılar 3 ve 4'tür. Toplamları: 3 + 4 = 7.
Çözüm kümesinde yer alan ve sıfırdan büyük olan tam sayı değerlerini bulup toplarız.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin bulunması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →
x−3x+2≤0\frac{x - 3}{x + 2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 5'tir.
Verilen eşitsizlikte payın kökü x=3x = 3, paydanın kökü ise x=−2x = -2 değeridir. Eşitsizliğin işaret tablosu yapıldığında (−2,3](-2, 3] aralığında ifadenin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu görülür. Paydanın kökü olan −2-2 değeri paydayı sıfır yaparak ifadeyi tanımsız kıldığından açık aralıkla sınırlandırılır; payın kökü olan 33 ise sıfıra eşitliği sağladığı için kapalı aralıkla dahil edilir. Bu aralıkta yer alan tam sayılar −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup toplamları 5 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın sıfıra eşitlenerek köklerinin bulunması
Payın kökü x=3x = 3, paydanın kökü x=−2x = -2 olarak elde edilir.
Eşitsizliğin işaret değişim sınırlarını belirlemek amacıyla kritik noktalar saptan��r.
2
İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralığının belirlenmesi
İşaretler sırasıyla (3,∞)(3, \infty) için ++, (−2,3)(-2, 3) için −- ve (−∞,−2)(-\infty, -2) için ++ şeklindedir. İstenen bölge (−2,3](-2, 3] aralığıdır.
İfadenin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri saptamak için işaret incelemesi yapılır.
3
Belirlenen aralıktaki tam sayıların toplanması
−1+0+1+2+3=5-1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 sonucu bulunur.
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde payda kökünün çözüm kümesine dahil edilmemesi ve işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 12Soru →
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x2−4x−3f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 3}
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−2)⋅f(x+1)≤0f(x - 2) \cdot f(x + 1) \leq 0
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı −1-1 olarak bulunur.
Yapılan fonksiyon dönüşümleri ve işaret tablosu analizi sonucunda, paydanın tanımsızlık noktaları hariç tutulup eşitsizliği negatif yapan tüm tam sayıların toplanmasıyla doğru cevaba ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x−2)f(x - 2) ve f(x+1)f(x + 1) fonksiyonlarının kurallarını belirleyin.
f(x−2)=(x−2)2−4x−2−3=x2−4xx−5=x(x−4)x−5f(x-2) = \frac{(x-2)^2-4}{x-2-3} = \frac{x^2-4x}{x-5} = \frac{x(x-4)}{x-5} ve f(x+1)=(x+1)2−4x+1−3=x2+2x−3x−2=(x+3)(x−1)x−2f(x+1) = \frac{(x+1)^2-4}{x+1-3} = \frac{x^2+2x-3}{x-2} = \frac{(x+3)(x-1)}{x-2}
Eşitsizlikte yer alan fonksiyonların xx cinsinden açık kurallarını bulmak için.
2
Eşitsizlikteki iki ifadeyi çarparak tek bir rasyonel eşitsizlik elde edin.
x(x−4)(x+3)(x−1)(x−5)(x−2)≤0\frac{x(x-4)(x+3)(x-1)}{(x-5)(x-2)} \leq 0
Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin işaret incelemesini tek bir tablo üzerinde yapabilmek için.
3
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret tablosunu oluşturun.
Pay��n kökleri: −3,0,1,4-3, 0, 1, 4. Paydanın kökleri: 2,52, 5. Köklerin sıralaması: −3<0<1<2<4<5-3 < 0 < 1 < 2 < 4 < 5. İşaret tablosunda en sağ aralık (+)(+) ile başlar ve her tek katlı kökte işaret değişir: (5,∞)→(+)(5, \infty) \rightarrow (+), (4,5)→(−)(4, 5) \rightarrow (-), (2,4]→(+)(2, 4] \rightarrow (+), (1,2)→(−)(1, 2) \rightarrow (-), [0,1]→(+)[0, 1] \rightarrow (+), [−3,0]→(−)[-3, 0] \rightarrow (-), (−∞,−3]→(+)(-\infty, -3] \rightarrow (+).
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan aralıkları doğru bir şekilde tespit etmek için.
4
Çözüm kümesindeki tam sayılar�� listeleyin ve toplayın.
Çözüm kümesi [−3,0]∪[1,2)∪[4,5)[-3, 0] \cup [1, 2) \cup [4, 5) aralıklarından oluşur. Bu aralıklardaki tam sayılar: −3,−2,−1,0,1,4-3, -2, -1, 0, 1, 4. Bu sayıların toplam�� ise (−3)+(−2)+(−1)+0+1+4=−1(-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 4 = -1 olur.
Bizden istenen sağlayan tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi, fonksiyon ötelemelerinde köklerin doğru kaydırılması ve işaret tablosu analizi.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 13Soru →
(x2−4x)⋅(x−3)2x2−2x−15≤0 \frac{(x^2 - 4x) \cdot (x - 3)^2}{x^2 - 2x - 15} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

E��itsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 4'tür.
Çözüm kümesi doğru biçimde belirlendiğinde eşitsizliği sağlayan tam sayıların −2,−1,0,3-2, -1, 0, 3 ve 44 olduğu görülür. Bu sayıların toplamı 44 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların kökleri bulunur ve köklerin türleri belirlenir.
Payın kökleri: x(x−4)=0⇒x=0x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0 ve x=4x = 4 (tek katlı kökler), (x−3)2=0⇒x=3(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−2x−15=(x−5)(x+3)=0⇒x=5x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 5 ve x=−3x = -3 (tek katlı kökler).
İşaret tablosunun sınırlarını belirlemek ve çift katlı köklerin davranışını tespit etmek amacıyla her bir çarpan sıfıra eşitlenir.
2
Bulunan kökler sayı doğrusu sırasına göre dizilerek işaret tablosu oluşturulur.
Kök sıralaması: −3<0<3<4<5-3 < 0 < 3 < 4 < 5. En sağdaki aralık olan (5,∞)(5, \infty) aralığında ifadenin işareti ++ ile başlar. İşaretler tek katlı köklerde değişirken, çift katlı kök olan 33 değerinde değişmeden korunur. Tablo:
- (5,∞)→+(5, \infty) \rightarrow +
- (4,5)→−(4, 5) \rightarrow -
- (3,4)→+(3, 4) \rightarrow +
- (0,3)→+(0, 3) \rightarrow +
- (−3,0)→−(-3, 0) \rightarrow -
- (−∞,−3)→+(-\infty, -3) \rightarrow +
Değişken aralıklarına göre tüm ifadenin işaret değişimlerini incelemek için işaret tablosu yöntemi uygulanır.
3
Eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenerek çözüm kümesi yazılır.
Eşitsizlik ≤0\leq 0 ko��ulunu aradığından negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumu nedeniyle payın kökleri (0,3,40, 3, 4) çözüm kümesine dahil edilirken, paydayı sıfır yapan kökler (−3,5-3, 5) hariç tutulur. Çözüm kümesi: C\cK=(−3,0]∪{3}∪[4,5)ÇK = (-3, 0] \cup \{3\} \cup [4, 5) olarak elde edilir.
Payı sıfır yapan kökler eşitsizliği sağlar ancak paydanın kökleri ifadeyi tanımsız yaptığı için her zaman çözüm kümesinden çıkarılmalıdır.
4
Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Çözüm kümesindeki tam sayılar: −2,−1,0,3,4-2, -1, 0, 3, 4 değerleridir. Bu sayıların toplamı: (−2)+(−1)+0+3+4=4(-2) + (-1) + 0 + 3 + 4 = 4 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamına ulaşılması amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde pay ve payda köklerinin ayrı ayrı bulunması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve payda köklerinin çözüm kümesine dahil edilmemesi kuralları.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 14Soru →
f(x)=(x−2)2⋅(x−1)⋅(x−5)(x−2)⋅(x−3)f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)}

olmak üzere,

f(x)≤0f(x) \leq 0

eşitsizliğini sa��layan xx pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için öncelikle paydayı sıfır yapan değerlerin (x=2x = 2 ve x=3x = 3) çözüm kümesinde yer alamayacağı belirlenir. Ardından pay ve paydadaki ortak (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştirilerek elde edilen ifade için işaret tablosu oluşturulur. Tabloda negatif olan bölgeler ve payı sıfır yapan değerler [1,2)∪(3,5][1, 2) \cup (3, 5] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar olan 1, 4 ve 5 toplandığında 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfır olma durumunun belirlenmesi
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Ortak çarpanların sadeleştirilmesi ve yeni eşitsizliğin yazılması
x≠2x \neq 2 olmak üzere, (x−2)(x−1)(x−5)x−3≤0\frac{(x-2)(x-1)(x-5)}{x-3} \leq 0
İşaret incelemesini kolaylaştırmak amacıyla ortak çarpanlar sadeleştirilir, ancak başlangıçtaki tanımsızlık koşulu (x≠2x \neq 2) saklı tutulur.
3
Yeni ifadenin köklerinin bulunması ve işaret tablosunun oluşturulması
Kökler: x=1x = 1, x=2x = 2, x=5x = 5 (payın kökleri) ve x=3x = 3 (paydanın kökü). İşaret tablosunda sağdan sola doğru işaretler: (5,∞)→+(5, \infty) \rightarrow +, (3,5)→−(3, 5) \rightarrow -, (2,3)→+(2, 3) \rightarrow +, (1,2)→−(1, 2) \rightarrow -, (−∞,1)→+(-\infty, 1) \rightarrow +
Köklerin her biri tek katlı olduğundan, tablodaki her kökten geçildiğinde işaret değişir. Baş katsayıların çarpımı pozitif olduğundan en sağdan artı (+) işareti ile başlanır.
4
Çözüm kümesinin belirlenmesi ve pozitif tam sayıların toplanması
Çözüm Kümesi: [1,2)∪(3,5][1, 2) \cup (3, 5]. Pozitif tam sayılar: 1,4,51, 4, 5. Toplam: 1+4+5=101 + 4 + 5 = 10.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olması istendiğinden negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumundan ötürü payın kökleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri kümeden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Payda Köklerinin Hariç Tutulması ve Sadeleştirmede Tanım Kümesinin Korunması
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 15Soru →
x−2x2−4≥0\frac{x - 2}{x^2 - 4} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 4'tür.
Doğru seçenekte sunulan çözümde, ifadenin paydasını sıfır yapan x = 2 değeri çözüm kümesinden doğru bir şekilde çıkarılmış ve en küçük iki pozitif tam sayı 1 ile 3 olarak seçilip doğru toplam olan 4 elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydadaki ifadeyi çarpanlarına ayırın ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.
x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) olup, paydanın sıfır olmaması için x≠2x \neq 2 ve x≠−2x \neq -2 olmalıdır.
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.
x−2(x−2)(x+2)≥0⇒1x+2≥0\frac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{x + 2} \geq 0 (burada x≠2x \neq 2 koşulu saklı tutulur).
Ortak çarpanların sadeleştirilmesi işlemi kolaylaştırır ancak sadeleşen terimin kökünün tanımsızlık yarattığı unutulmamalıdır.
3
Sadeleşmiş eşitsizliğin çözüm kümesini bulun.
1x+2≥0⇒x+2>0⇒x>−2\frac{1}{x + 2} \geq 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2. Dolayısıyla çözüm kümesi (−2,∞)∖{2}(-2, \infty) \setminus \{2\} olur.
Pay pozitif bir sabit olduğundan, kesrin sonucunun sıfırdan büyük veya eşit olması için paydanın pozitif olması gerekir.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı pozitif tam sayıyı belirleyin ve toplayın.
Pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3,4,… }\{1, 2, 3, 4, \dots\} şeklindedir. x≠2x \neq 2 olduğundan bu kümedeki en küçük iki değer 11 ve 33 olur. Toplamları ise 1+3=41 + 3 = 4 olarak bulunur.
İstenen koşula uygun en küçük değerleri bulup toplamı hesaplamak için tanımsızlık noktası olan 2 elenmelidir.

Anahtar Kavram

Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilmez ve sadeleştirme yapılırken bu köklerin tanımsızlık oluşturduğu unutulmamalıdır.
Soru 16Soru →

Analitik düzlemde y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 ve y>x−1y > x - 1 eşitsizlik sisteminin ortak çözüm bölgesinde bulunan, koordinatları tam sayı olan tüm noktalar koordinat düzleminin birinci bölgesindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı tüm noktalar birinci bölgededir.
Verilen eşitsizlik sisteminin ortak çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı noktaların tamamı birinci bölgede yer alır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlik sınırlarını belirleyen parabol ve doğrunun kesim noktalarını bulunuz.
−x2+4x−1=x−1  ⟹  x2−3x=0  ⟹  x=0-x^2 + 4x - 1 = x - 1 \implies x^2 - 3x = 0 \implies x = 0 ve x=3x = 3 apsisli noktalarda kesişirler.
Ortak çözüm bölgesinin hangi xx aralığında yer aldığını belirlemek için sınırların kesim noktaları bulunmalıdır.
2
Ortak çözüm bölgesini tanımlayan eşitsizlik şartlarını analiz ederek xx aralığını belirleyiniz.
y≤−x2+4x−1y \leq -x^2 + 4x - 1 (parabolün alt bölgesi) ve y>x−1y > x - 1 (doğrunun üst bölgesi, doğrunun kendisi hariç) olduğundan, bu şartların ikisini de sağlayan bölge x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığındadır.
Parabolün kollarının aşağı doğru olması ve x∈(0,3)x \in (0, 3) aralığında parabolün doğrudan daha büyük değerler alması nedeniyle ortak bölge bu aralıkta sınırlanır.
3
Bu aralıktaki tam sayı xx değerlerine karşılık gelen tam sayı yy değerlerini bulunuz.
x=1x = 1 için 0<y≤2  ⟹  y∈{1,2}0 < y \leq 2 \implies y \in \{1, 2\} olup noktalar (1,1)(1,1) ve (1,2)(1,2)'dir. x=2x = 2 için 1<y≤3  ⟹  y∈{2,3}1 < y \leq 3 \implies y \in \{2, 3\} olup noktalar (2,2)(2,2) ve (2,3)(2,3)'tür.
xx bir tam sayı iken eşitsizlik sistemini sağlayan ve ordinatı (yy) de tam sayı olan tüm noktaları listelemek gerekir.
4
Bulunan noktaların koordinat düzlemindeki bölgelerini kontrol ediniz.
Bulunan tüm noktaların ((1,1),(1,2),(2,2),(2,3)(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)) hem apsisleri hem de ordinatları pozitif olduğu için tamamı birinci bölgededir.
Koordinat düzleminde her iki bileşeni de pozitif olan noktalar 1. bölgede yer alır.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde ortak çözüm bölgesinin bulunması ve bu bölgedeki noktaların analizi.
Soru 17Soru →
(x2−x−6)⋅(x−4)2x2−1≤0 \frac{(x^2 - x - 6) \cdot (x - 4)^2}{x^2 - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 7'dir.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu bölgeler [−2,−1)[-2, -1), (1,3](1, 3] aralıkları ve ifadenin sıfıra eşit olduğu x=4x = 4 noktasıdır. Bu kümedeki tam sayılar −2,2,3-2, 2, 3 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini bulalım.
Payın kökleri: x2−x−6=(x−3)(x+2)=0  ⟹  x=3x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \implies x = 3 ve x=−2x = -2. (x−4)2=0  ⟹  x=4(x - 4)^2 = 0 \implies x = 4 (çift katlı kök). Paydanın kökleri: x2−1=0  ⟹  x=1x^2 - 1 = 0 \implies x = 1 ve x=−1x = -1.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınırlarını belirlemek için tüm çarpanların kökleri hesaplanmalıdır.
2
Bulunan kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlayalım.
Köklerin sıralaması: −2<−1<1<3<4-2 < -1 < 1 < 3 < 4. Burada x=4x = 4 çift katlı köktür. x=−1x = -1 ve x=1x = 1 paydanın kökleri olduğundan tanımsızlık noktalarıdır ve çözüm kümesine dahil edilemezler.
İşaret değişimlerini doğru takip edebilmek için kökleri sayı doğrusundaki sırasına göre yerleştirmeliyiz.
3
Tablonun en sağındaki bölgenin işaretini belirleyelim ve sola doğru dolduralım.
x>4x > 4 için ifadedeki tüm çarpanların başkatsayıları pozitif olduğundan tablonun en sağı ++ ile başlar. x=4x = 4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez (++). Sırasıyla diğer tek katlı köklerden geçerken işaret değiştirilir: (3,4)(3, 4) aralığı ++, (1,3](1, 3] aralığı −-, (−1,1)(-1, 1) aralığı ++, [−2,−1)[-2, -1) aralığı −-, (−∞,−2)(-\infty, -2) aralığı ++. Payda kökleri tanımsız olduğundan açık aralık, payın kökleri ise küçük eşitlik durumundan dolayı kapalı aralık olarak alınır.
Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretini belirleyerek eşitsizliğin yönünü sağlayan bölgeleri buluruz.
4
Eşitsizliği sağlayan (sıfırdan küçük veya eşit) aralıkları yazalım ve buradaki tam sayıları bulalım.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪(1,3]∪{4}[-2, -1) \cup (1, 3] \cup \{4\}. Bu kümedeki tam sayılar: −2,2,3,4-2, 2, 3, 4.
Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgelerdeki tam sayı çözümlerini listelemeliyiz.
5
Tam sayıların toplamını hesaplayalım.
(−2)+2+3+4=7(-2) + 2 + 3 + 4 = 7
Soru bizden eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını istemektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümesi ve İşaret Tablosu
Soru 18Soru →
x2−2xy+y2−3x+3y=4x+2y=5\begin{aligned} x^2 - 2xy + y^2 - 3x + 3y &= 4 \\ x + 2y &= 5 \end{aligned}

denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Denklem sistemini sağlayan (x,y)(x, y) gerçel sayı ikilileri için x+yx + y toplamının alabileceği tam sayı değeri 3'tür.
Sistemdeki birinci denklem (x−y−4)(x−y+1)=0(x-y-4)(x-y+1)=0 olarak çarpanlarına ayrılır. Bu doğrusal çarpanlar ikinci denklem olan x+2y=5x+2y=5 ile ayrı ayrı ortak çözüldüğünde koordinatları tam sayı olan tek çözüm (1,2)(1, 2) ikilisi olur ve bu ikilinin koordinatları toplamı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci denklemi (x−y)(x-y) ifadesine bağlı olarak düzenleyelim.
(x−y)2−3(x−y)−4=0(x-y)^2 - 3(x-y) - 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde u=x−yu = x-y dönüşümü yapılırsa u2−3u−4=0u^2 - 3u - 4 = 0 olur. Çarpanlarına ayırdığımızda (u−4)(u+1)=0(u-4)(u+1) = 0 elde edilir. Buradan x−y=4x-y = 4 veya x−y=−1x-y = -1 bulunur.
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak xx ve yy arasındaki doğrusal ilişkileri tespit etmek için.
2
Elde edilen doğrusal ilişkileri x+2y=5x + 2y = 5 denklemi ile ortak çözelim.
Birinci durum: x−y=4⇒x=y+4x - y = 4 \Rightarrow x = y + 4. İkinci denklemde yerine yazarsak (y+4)+2y=5⇒3y=1⇒y=1/3(y+4) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 1 \Rightarrow y = 1/3 ve x=13/3x = 13/3 olur.
İkinci durum: x−y=−1⇒x=y−1x - y = -1 \Rightarrow x = y - 1. İkinci denklemde yerine yazarsak (y−1)+2y=5⇒3y=6⇒y=2(y-1) + 2y = 5 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 ve x=1x = 1 olur.
Sistemin gerçel sayı çözümlerini (x,y)(x, y) ikilileri olarak elde etmek için.
3
Her iki durum için x+yx + y toplamlarını hesaplayalım ve tam sayı olan değeri belirleyelim.
Birinci durumdan: x+y=13/3+1/3=14/3x + y = 13/3 + 1/3 = 14/3
İkinci durumdan: x+y=1+2=3x + y = 1 + 2 = 3 elde edilir. Bu değerlerden tam sayı olanı 3'tür.
Soruda istenen koşulu sağlayan tam sayı değerini belirlemek için.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Soru 19Soru →

Analitik düzlemde, y≥x2−4y \geq x^2 - 4 ve y<−x+2y < -x + 2 eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatlarının her ikisi de tam sayı olan tam 2020 farklı nokta bulunur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Eşitsizlik sisteminin belirttiği ortak bölgede koordinatları tam sayı olan tam 20 farklı nokta bulunduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin ortak bölgesinde kalan tam sayı koordinatlı noktaların sayısı, sınırların kesişim noktaları ve dahil olma durumları dikkate alınarak tek tek hesaplandığında tam olarak 20 adet olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin kesişim noktalarını belirleme
x2−4=−x+2  ⟹  x2+x−6=0  ⟹  (x+3)(x−2)=0x^2 - 4 = -x + 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 denkleminden kesişim noktalarının apsisleri x=−3x = -3 ve x=2x = 2 olarak bulunur.
Eşitsizlik sisteminin belirttiği bölgenin hangi xx aralığında yer aldığını bulmak için sınırların kesişim noktalarını tespit etmemiz gerekir.
2
Eşitsizlik sınırlarının dahil olma durumlarını analiz etme
y≥x2−4y \geq x^2 - 4 eşitsizliğinde sınır parabolü bölgeye dahildir. y<−x+2y < -x + 2 eşitsizliğinde ise sınır doğrusu bölgeye dahil değildir.
Tam sayı koordinatlı noktaları sayarken sınır çizgileri üzerindeki noktaların dahil olup olmadığını doğru belirlemek gerekir.
3
Apsis değerlerine göre tam sayı olan ordinat değerlerini hesaplama
xx değişkeninin alabileceği tam sayı değerleri için x2−4≤y<−x+2x^2 - 4 \leq y < -x + 2 aralığındaki tam sayı yy değerleri şu şekildedir:
- x=−2x = -2 için 0≤y<4  ⟹  y∈{0,1,2,3}0 \leq y < 4 \implies y \in \{0, 1, 2, 3\} (44 nokta)
- x=−1x = -1 için −3≤y<3  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0,1,2}-3 \leq y < 3 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} (66 nokta)
- x=0x = 0 için −4≤y<2  ⟹  y∈{−4,−3,−2,−1,0,1}-4 \leq y < 2 \implies y \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1\} (66 nokta)
- x=1x = 1 için −3≤y<1  ⟹  y∈{−3,−2,−1,0}-3 \leq y < 1 \implies y \in \{-3, -2, -1, 0\} (44 nokta)
Her bir xx tam sayı değeri için sınır koşullarını sağlayan yy tam sayılarının adedini bulmak gerekir.
4
Toplam nokta sayısını hesaplama
Toplam nokta sayısı 4+6+6+4=204 + 6 + 6 + 4 = 20 olarak bulunur.
Bulunan tüm durumların toplamını alarak bölgedeki toplam tam sayı nokta sayısına ulaşırız.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi ve sınır çizgilerinin dahil olma kuralları
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Analitik düzlemde, y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 ve y−x>1y - x > 1 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki tam sayı koordinatlı (x,y)(x, y) noktalarından, koordinatları toplamı asal sayı olanların sayısı 8'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen eşitsizlik sistemini sağlayan ve koordinatları toplamı asal sayı olan tam sayı koordinatlı nokta sayısı 8 olduğundan bu önerme doğrudur.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgedeki tam sayı koordinatlı noktalar listelenip koordinatları toplamı kontrol edildiğinde, asal sayı toplamı veren tam olarak 8 farklı nokta elde edilmektedir. Bu nedenle önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sınır eğrilerinin kesim noktalarını bularak xx değişkeninin alabileceği tam sayı aralığını belirleyin.
−x2+4x+5=x+1  ⟹  x2−3x−4=0  ⟹  (x−4)(x+1)=0-x^2 + 4x + 5 = x + 1 \implies x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 denkleminden kesim noktalarının apsisleri x=−1x = -1 ve x=4x = 4 olarak bulunur. Dolayısıyla ortak bölgedeki noktalar için apsis değerleri −1≤x≤4-1 \le x \le 4 aralığında olmalıdır.
Eşitsizlik sisteminin sağlandığı bölgenin s��nırlarını belirlemek ve bu bölgedeki tam sayıları sınırlandırmak için kesim noktaları tespit edilir.
2
Sınırların dahil olma durumlarını analiz edin.
y≤−x2+4x+5y \le -x^2 + 4x + 5 eşitsizliğinde eşitlik sembolü (≤\le) olduğundan parabol üzerindeki noktalar bölgeye dahildir. y>x+1y > x + 1 eşitsizliğinde ise büyüktür (>>) sembolü olduğundan doğru üzerindeki noktalar bölgeye dahil değildir.
Hangi sınır noktalarının çözüm kümesine dahil edileceğini doğru şekilde ayırt etmek için sınırların dahil olma durumları belirlenir.
3
Belirlenen xx tam sayı değerleri için eşitsizlik sistemini sağlayan yy tam sayı değerlerini tek tek bulun.
x=−1x = -1 için: 0<y≤00 < y \le 0 (Çözüm yok)
x=0x = 0 için: 1<y≤5  ⟹  y∈{2,3,4,5}1 < y \le 5 \implies y \in \{2, 3, 4, 5\}
x=1x = 1 için: 2<y≤8  ⟹  y∈{3,4,5,6,7,8}2 < y \le 8 \implies y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}
x=2x = 2 için: 3<y≤9  ⟹  y∈{4,5,6,7,8,9}3 < y \le 9 \implies y \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}
x=3x = 3 için: 4<y≤8  ⟹  y∈{5,6,7,8}4 < y \le 8 \implies y \in \{5, 6, 7, 8\}
x=4x = 4 için: 5<y≤55 < y \le 5 (Çözüm yok)
Bölge içindeki tüm tam sayı koordinatlı aday noktaları listelemek için apsis değerlerine göre ordinat aralıkları incelenir.
4
Bulunan noktaların koordinatları toplamını (x+yx+y) hesaplayıp asal sayı olanları seçin.
x=0x = 0 için: 0+2=20+2=2 (asal), 0+3=30+3=3 (asal), 0+4=40+4=4, 0+5=50+5=5 (asal)   ⟹  \implies (0,2),(0,3),(0,5)(0,2), (0,3), (0,5) (3 nokta)
x=1x = 1 için: 1+3=41+3=4, 1+4=51+4=5 (asal), 1+5=61+5=6, 1+6=71+6=7 (asal), 1+7=81+7=8, 1+8=91+8=9   ⟹  \implies (1,4),(1,6)(1,4), (1,6) (2 nokta)
x=2x = 2 için: 2+4=62+4=6, 2+5=72+5=7 (asal), 2+6=82+6=8, 2+7=92+7=9, 2+8=102+8=10, 2+9=112+9=11 (asal)   ⟹  \implies (2,5),(2,9)(2,5), (2,9) (2 nokta)
x=3x = 3 için: 3+5=83+5=8, 3+6=93+6=9, 3+7=103+7=10, 3+8=113+8=11 (asal)   ⟹  \implies (3,8)(3,8) (1 nokta)
Toplamda 8 adet nokta elde edilir.
Önermede belirtilen koordinatları toplamının asal sayı olması koşulunu sağlayan noktaların sayısını bulmak için tüm aday noktalar test edilir.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinin analitik düzlemde gösterimi, sınır eğrilerinin (parabol ve doğru) dahil olma durumları ve bölge içindeki tam sayı koordinatlı noktaların analizi.
Sayfa 1 / 6Sonraki