Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Her aa gerçel sayısı için, f(x)=∣x2−a2∣x−af(x) = \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} kuralı ile tanımlı f:R∖{a}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{a\} \to \mathbb{R} fonksiyonunun x=ax = a noktasında limitinin olmadığını iddia eden bir önerme doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Önerme yanlıştır, çünkü a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x=0x = 0 noktasında limiti vardır ve bu limitin değeri 00'dır.
İddia yanlıştır çünkü a=0a = 0 durumunda f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} olur. x≠0x \neq 0 için x2x^2 daima pozitif olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleştirme yapıldığında f(x)=xf(x) = x fonksiyonu elde edilir ve bu fonksiyonun x→0x \to 0 iken limiti 00'dır. Yani limit mevcuttur. Bu karşıt örnek önermenin genel doğruluğunu bozar.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik nokta olan x=ax = a için sağdan ve soldan limit durumlarını incelemek üzere mutlak değerin işaret analizini yapalım.
x−ax - a ifadesinin işaretine bağlı olarak mutlak değerin dışına çıkma kuralları belirlenir.
Mutlak değer içeren fonksiyonların limitinde, mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
2
a≠0a \neq 0 olduğunu varsayarak sağdan ve soldan limitleri hesaplayalım.
lim⁡x→a+f(x)=∣2a∣\lim_{x \to a^+} f(x) = |2a| ve lim⁡x→a−f(x)=−∣2a∣\lim_{x \to a^-} f(x) = -|2a| elde edilir. a≠0a \neq 0 olduğundan bu limitler eşit değildir ve limit yoktur.
x→a+x \to a^+ için x−a>0x-a > 0 olduğundan ∣x−a∣=x−a|x-a| = x-a olur. x→a−x \to a^- için x−a<0x-a < 0 olduğundan ∣x−a∣=−(x−a)|x-a| = -(x-a) olur.
3
a=0a = 0 özel durumunu fonksiyonda yerine yazarak inceleyelim.
f(x)=∣x2∣xf(x) = \frac{|x^2|}{x} fonksiyonu elde edilir. Tüm gerçel sayılar için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan ∣x2∣=x2|x^2| = x^2 olur. Buradan x≠0x \neq 0 için f(x)=x2x=xf(x) = \frac{x^2}{x} = x bulunur.
a=0a = 0 durumunda mutlak değerin içindeki ifadenin derecesi paydadaki ifadenin derecesinden büyük olduğu için işaret değişimi sadeleşme sonrası limiti yok etmez.
4
a=0a = 0 durumunda fonksiyonun x→0x \to 0 iken limitini hesaplayalım.
lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0 olur. Limit değeri mevcut ve 00'a eşittir. Bu durum genel önermeyi çürütür.
En az bir aa gerçel sayısı (a=0a=0) için limit mevcut olduğundan, önermedeki 'her aa gerçel sayısı için limit yoktur' ifadesi yanlış olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren rasyonel fonksiyonlarda limitin varlığı ve sıfır bölü sıfır belirsizliğinde mutlak değer analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru