Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫0ln⁡2f(x) dx=4\int_{0}^{\ln 2} f(x) \, dx = 4
ve
∫12f(x) dx=10\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    5
  3. C
    8
  4. 10Cevap
  5. E
    14

Cevap

10
Doğru cevap, u=exu = e^x dönüşümü yapılarak sınırların güncellenmesiyle elde edilen ifadedir. x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=ln⁡2x = \ln 2 için u=2u = 2 sınırları elde edilir. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulamak için dönüşüm tanımlanır.
u=exu = e^x dönüşümü seçilir ve her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=ex dxdu = e^x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ex dxe^x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır: x=0  ⟹  u=e0=1x = 0 \implies u = e^0 = 1. Üst sınır: x=ln⁡2  ⟹  u=eln⁡2=2x = \ln 2 \implies u = e^{\ln 2} = 2.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre değiştirilmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen bilgi kullanılarak sonuç hesaplanır.
∫0ln⁡2ex⋅f(ex) dx=∫12f(u) du=10\int_{0}^{\ln 2} e^x \cdot f(e^x) \, dx = \int_{1}^{2} f(u) \, du = 10
Dönüşüm sonrasında integralin ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx ifadesine eşit olduğu görülür ve bu değer soruda 10 olarak verilmiştir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken hem diferansiyel ifadesinin hem de integral sınırlarının doğru bir şekilde güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru