f: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36\neşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, \int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx integralinin değeri kaçtır?

f: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{-3}^{3} (x^3 - 5… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f: [0, 9] \rightarrow \mathbb{R}

sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x + 3) f(x^2) \, dx = 36

eşitliği sağlanmaktadır.
Buna göre,

\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.

Verilen integral ifadesi lineerlik özelliğiyle parçalandığında, ilk terim tek fonksiyonun simetrik aralıktaki integrali olduğu için sıfır olur. İkinci terim ise çift fonksiyon simetrisinden dolayı

[0,3]

aralığındaki integralin iki katı olarak yazılıp integral değeri 6 olarak bulunur. İstenen integralde yapılan

u=\sqrt{x}

değişken değiştirmesi sonucunda integralin sınırları

[0,3]

aralığına gelir ve integral

2 \int_{0}^{3} f(u^2) du

biçimine dönüşerek 12 cevabına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

İntegrali doğrusal özelliklerini kullanarak iki parçaya ayırma

\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx + \int_{-3}^{3} 3 f(x^2) \, dx = 36

Belirli integralin lineerlik özelliği gereği, parantez içindeki toplam ve fark durumundaki ifadeler ayrı ayrı integraller olarak yazılabilir.

Tek fonksiyon özelliğini kullanarak ilk integralin değerini belirleme

\int_{-3}^{3} (x^3 - 5x) f(x^2) \, dx = 0

h(x) = (x^3 - 5x) f(x^2)

fonksiyonunda

h(-x) = -h(x)

sağlandığı için bu fonksiyon tektir. Simetrik

[-a, a]

aralığında sürekli bir tek fonksiyonun belirli integrali her zaman sıfırdır.

Çift fonksiyon simetri özelliğini kullanarak ikinci integralin sınırlarını daraltma

\int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6

g(x) = f(x^2)

fonksiyonunda

g(-x) = g(x)

olduğundan bu fonksiyon çifttir. Simetrik

[-3, 3]

aralığında çift fonksiyonun integrali,

[0, 3]

aralığındaki integralinin iki katına eşittir. Buradan

3 \cdot \left[ 2 \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx \right] = 36 \implies \int_{0}^{3} f(x^2) \, dx = 6

elde edilir.

Hesaplanması istenen integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) uygulama

\int_{0}^{9} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du

u = \sqrt{x}

dönüşümü yapıldığında

x = u^2

ve diferansiyel

dx = 2u \, du

olur. Alt sınır

x=0 \implies u=0

ve üst sınır

x=9 \implies u=3

olarak güncellenir. Değerler yerine yazıldığında integral

2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du

halini alır.

Elde edilen integral değerini yerine koyarak sonucu bulma

2 \int_{0}^{3} f(u^2) \, du = 2 \cdot 6 = 12

Anahtar Kavram

Belirli integralde tek-çift fonksiyon simetrisi ve değişken değiştirme yardımıyla sınırların güncellenmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru