Examkin

Soru

Zorluk: ZorPermütasyon

Bir restoranın vitrininde sergilenmek üzere 33 farklı çorba, 33 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı yan yana sıralanacaktır. Bu yemeklerin sıralanmasında;

* Çorbaların tamamının yan yana olması,
* Herhangi iki ana yemeğin yan yana gelmemesi

koşulları aranmaktadır. Buna göre, bu yemekler vitrinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

  1. A
    144
  2. B
    216
  3. 864Cevap
  4. D
    4320
  5. E
    5184

Cevap

Yemekler vitrinde 864 farklı şekilde sıralanabilir.
Çorbaların bir arada olduğu ve ana yemeklerin yan yana gelmediği durum sayısı, çorba bloğu ile tatlıların sıralanması olan 3!×3!=363! \times 3! = 36 ile ana yemeklerin yerleştirilebileceği boşlukların permütasyonu olan P(4,3)=24P(4,3) = 24 değerlerinin çarpılması sonucu 864864 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çorbaların yan yana olma koşulunu değerlendirmek amacıyla çorbaları tek bir nesne olarak gruplamak.
33 farklı çorba tek bir blok (C\c1C\c2C\c3)(Ç_1Ç_2Ç_3) haline getirilir. Bu blok ve 22 farklı tatlı ile birlikte sıralanacak toplam nesne sayısı 33 olur. Bu 33 nesne kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Yan yana bulunması zorunlu olan elemanlar tek bir eleman gibi düşünülerek genel dizilim hesaplanır.
2
Grup haline getirilen çorbaların kendi aralarındaki sıralanışını hesaplamak.
Blok içindeki 33 farklı çorba kendi arasında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Grup içindeki elemanlar birbirinden farklı olduğundan kendi aralarında yer değiştirebilirler.
3
Ana yemeklerin yan yana gelmemesi koşulunu sağlamak için boşlukları belirlemek ve yerleştirmek.
İlk iki adımda sıralanan 33 nesnenin arasında ve uçlarında toplam 44 boşluk (_Nesne1_Nesne2_Nesne3_\_ \text{Nesne}_1 \_ \text{Nesne}_2 \_ \text{Nesne}_3 \_) oluşur. 33 farklı ana yemek bu 44 boşluğa P(4,3)=4×3×2=24P(4, 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24 farklı şekilde yerleştirilir.
Belirli elemanların yan yana gelmemesi için diğer elemanların oluşturduğu boşluklara dağıtılması gerekir.
4
Elde edilen tüm durumları çarparak toplam sıralama sayısını bulmak.
Toplam sıralama sayısı 3!×3!×P(4,3)=6×6×24=8643! \times 3! \times P(4, 3) = 6 \times 6 \times 24 = 864 olarak hesaplanır.
Birbirine bağlı sıralama aşamaları çarpım yoluyla sayma kuralı gereğince çarpılır.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon ve nesnelerin yan yana gelmeme durumlarının boşluk yöntemiyle hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru