f(x) = \log_{x-4}(18 + 7x - x^2) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x) fonksiyonunun en… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{x-4}(18 + 7x - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 21'dir.

Doğru cevap olan 21 değeri; logaritmanın içinin pozitif olması (

-2 < x < 9

), tabanının pozitif olması (

x > 4

) ve tabanının 1'den farklı olması (

x \neq 5

) koşullarının kesişim kümesi olan

(4, 9) \setminus \{5\}

aralığındaki tam sayıların (

6, 7, 8

) toplamıdır.

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için argümanın (logaritmanın içinin) pozitif olması gerekir. Bu doğrultuda

18 + 7x - x^2 > 0

eşitsizliği çözülür.

Eşitsizlik

- (x^2 - 7x - 18) > 0 \implies (x-9)(x+2) < 0

biçiminde çarpanlarına ayrılır. Kökler

x = -2

x = 9

olup, başkatsayı negatif olduğundan aralık

-2 < x < 9

olarak bulunur.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesinde argümanın pozitif gerçel sayı olması zorunludur.

Logaritmanın tabanının pozitif olması gerektiğinden

x - 4 > 0

eşitsizliği çözülür.

x > 4

elde edilir.

Logaritma tabanı her zaman pozitif bir sayı olmalıdır.

Logaritmanın tabanının 1'den farklı olması gerektiğinden

x - 4 \neq 1

koşulu incelenir.

x \neq 5

elde edilir.

Logaritma tabanı 1 olamaz.

Elde edilen üç koşulun kesişimi alınarak fonksiyonun en geniş tanım kümesi belirlenir.

-2 < x < 9

x > 4

koşulları birleştirildiğinde

4 < x < 9

elde edilir.

x \neq 5

koşulu da eklendiğinde en geniş tanım kümesi

(4, 9) \setminus \{5\}

olur. Bu kümedeki tam sayılar

6, 7, 8

olup, toplamları

6 + 7 + 8 = 21

bulunur.

Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için tüm kısıtlamaların aynı anda sağlanması gerekir.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralları

Tahmini Süre:2m 0s

Soru