Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Sürekli bir ff fonksiyonu için,
∫03f(x+2) dx=10\int_{0}^{3} f(x+2) \, dx = 10
∫29f(x) dx=24\int_{2}^{9} f(x) \, dx = 24
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    14
  2. B
    34
  3. C
    172\frac{17}{2}
  4. 72\frac{7}{2}Cevap
  5. E
    56

Cevap

I˙ntegralinindeg˘eri72olarakbulunur.İntegralinin değeri \frac{7}{2} olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer olan \frac{7}{2}, birinci integralde yapılan u = x+2 dönüşümüyle \int_{2}^{5} f(x) dx = 10 değeri bulunduktan sonra, aralık bölme özelliğiyle \int_{5}^{9} f(x) dx = 14 değerine ulaşılması ve son olarak hedeflenen integralde w = 4x+1 dönüşümü yapılarak elde edilen \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) dw ifadesinde değerin yerine yazılmasıyla doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x+2u = x+2 dönüşümü yapıldığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=0x = 0 için u=2u = 2 ve x=3x = 3 için u=5u = 5 elde edilir. Buradan, ∫25f(u) du=10\int_{2}^{5} f(u) \, du = 10 bulunur.
Verilen integral ifadesini sadeleştirmek ve sınırları f(x) fonksiyonunun tanım kümesine uygun hale getirmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.
2
Belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak diğer integral parçalanır.
∫29f(x) dx=∫25f(x) dx+∫59f(x) dx\int_{2}^{9} f(x) \, dx = \int_{2}^{5} f(x) \, dx + \int_{5}^{9} f(x) \, dx yazılabilir. Verilen değerler yerine yazıldığında; 24=10+∫59f(x) dx  ⟹  ∫59f(x) dx=1424 = 10 + \int_{5}^{9} f(x) \, dx \implies \int_{5}^{9} f(x) \, dx = 14 elde edilir.
[2,9][2, 9] aralığındaki integralin değerini ve elimizdeki [2,5][2, 5] aralığının değerini kullanarak [5,9][5, 9] aralığındaki integralin değerine ulaşmak hedeflenir.
3
İstenen integralde değişken değiştirme uygulanarak sonuca ulaşılır.
∫12f(4x+1) dx\int_{1}^{2} f(4x+1) \, dx integralinde w=4x+1w = 4x+1 dönüşümü yapılırsa dw=4 dx  ⟹  dx=14 dwdw = 4 \, dx \implies dx = \frac{1}{4} \, dw olur. Sınırlar güncellendiğinde; x=1x = 1 için w=5w = 5 ve x=2x = 2 için w=9w = 9 olur. İntegral şu hali alır: ∫59f(w)⋅14 dw=14∫59f(w) dw\int_{5}^{9} f(w) \cdot \frac{1}{4} \, dw = \frac{1}{4} \int_{5}^{9} f(w) \, dw. Bir önceki adımda bu integralin değerini 1414 bulmuştuk, dolayısıyla sonuç 14⋅14=72\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{7}{2} olur.
4x+14x+1 ifadesini tek bir değişkene indirgeyip sınırları elde ettiğimiz verilerle uyumlu hale getirerek integralin sayısal değerini hesaplamak amaçlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru